2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 教案.doc

1 第八章第八章 解析几何解析几何 第一节第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心素养素养 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核心素养核心素养 3掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式点斜式、两点式及一般式)，了解，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角直线的倾斜角 直线的斜率直线的斜率 定定 义义 当直线当直线 l 与与 x 轴相交时，我们取轴相交时，我们取 x 轴轴作为基准，作为基准， x 轴正向与直线轴正向与直线 l 向上向上方向方向之间所成的角之间所成的角 叫做直线叫做直线 l 的的倾斜倾斜角角当直线当直线 l 与与 x 轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 0 当直线当直线 l 的倾斜角的倾斜角 2时，其倾斜角时，其倾斜角 的正切值的正切值 tan 叫做这条直线的斜率，叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母斜率通常用小写字母 k 表示，即表示，即 ktan_；经过两点；经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为的直线的斜率公式为 kP1P2y2y1x2x1 区区 别别 直线直线 l 垂直于垂直于 x 轴时， 直线轴时， 直线 l 的倾斜角的倾斜角是是 90 ；倾斜角的取值；倾斜角的取值范围为范围为0，) 直线直线 l 垂直于垂直于 x 轴时， 直线轴时， 直线 l 的斜率的斜率不存不存在在；斜率；斜率 k 的取值范围为的取值范围为 R 联联 系系 (1)当直线不垂直于当直线不垂直于 x 轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系； (2)当直线当直线 l 的倾斜角的倾斜角 0，2时，时， 越大， 直线越大， 直线 l 的斜率越大； 当的斜率越大； 当 2， 时，时， 越大，直线越大，直线 l 的斜率越大的斜率越大 2 2直线方程的五种形式直线方程的五种形式 形式形式 几何条件几何条件 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜式 过一点过一点(x0，y0)，斜率，斜率 k yy0k(xx0) 与与 x 轴不垂直的直线轴不垂直的直线 斜截式斜截式 纵截距纵截距 b，斜率，斜率 k ykxb 与与 x 轴不垂直的直线轴不垂直的直线 两点式两点式 过两点过两点(x1，y1)，(x2，y2) yy1y2y1xx1x2x1 与与 x 轴、轴、y 轴均不垂直的轴均不垂直的直线直线 截距式截距式 横截距横截距 a，纵截距，纵截距 b xayb1 不含垂直于坐标轴和过不含垂直于坐标轴和过原点的直线原点的直线 一般式一般式 AxByC0，A2B20 平面直角坐标系内所有平面直角坐标系内所有直线直线 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(求倾斜角求倾斜角)直线直线 3xya0 的倾斜角为的倾斜角为( ) A.6 B.3 C.56 D.23 答案答案：B 2(点斜式方程点斜式方程)经过点经过点 P0(2，3)，倾斜角为，倾斜角为 45 的直线方程为的直线方程为( ) Axy10 Bxy10 Cxy50 Dxy50 解析：解析：选选 D 由点斜式得直线方程为由点斜式得直线方程为 y(3)tan 45 (x2)x2，即，即 xy50. 3(斜截式方程斜截式方程)倾斜角为倾斜角为 135 ，在，在 y 轴上的截距为轴上的截距为1 的直线方程是的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 答案答案：D 4(直线的斜率直线的斜率)过点过点 M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率等于的直线的斜率等于 1，则，则 m 的值为的值为_ 答案：答案：1 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视倾斜角的范围忽视倾斜角的范围)直线直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是( ) A. 0，4 B. 34， C. 0，4 2， D. 4，2 34， 解析解析：选选 B 由直线方程可得该直线的斜率为由直线方程可得该直线的斜率为1a21，又又11a210，所以倾斜角的所以倾斜角的 3 取值范围是取值范围是 34， . 2(忽视斜率公式中忽视斜率公式中 x1x2)已知经过两点已知经过两点 A(m22，m23)，B(3mm2，2m)的直线的直线 l 的的倾斜角为倾斜角为 135 ，则，则 m 的值为的值为_ 答案：答案：43 3(忽视截距为忽视截距为 0 的情况的情况)过点过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_ 解析：解析：若直线过原点，则若直线过原点，则 k43， 所以所以 y43x，即，即 4x3y0. 若直线不过原点设若直线不过原点设xaya1，即，即 xya. 则则 a3(4)1，所以直线的方程为，所以直线的方程为 xy10. 答案：答案：4x3y0 或或 xy10 考点一考点一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 典例典例 (1)直线直线 2xcos y30 6，3的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是( ) A. 6，3 B. 4，3 C. 4，2 D. 4，23 (2)(2021 年年 1 月新高月新高考八省联考卷考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2， 则该正方形的， 则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为两条邻边所在直线的斜率分别为_，_. 解析解析 (1)直线直线 2xcos y30 的斜率的斜率 k2cos ， 因为因为 6，3，所以，所以12cos 32， 因此因此 k2 cos 1， 3 设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为 ，则有，则有 tan 1， 3 又又 0，)，所以，所以 4，3， 即倾斜角的取值范围是即倾斜角的取值范围是 4，3. (2)设一条边所在直线的倾斜角为设一条边所在直线的倾斜角为 ，由，由 tan 42，解得，解得 tan 13，所以正方形两条邻，所以正方形两条邻 4 边所在直线的斜率分别为边所在直线的斜率分别为13，3. 答案答案 (1)B (2)13 3 方法技巧方法技巧 1求倾斜角的取值范围的一般步骤求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率求出斜率 ktan 的取值范围的取值范围 (2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围求倾斜角时要注意斜率的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在是否存在 2斜率取值范围的斜率取值范围的 2 种求法种求法 数形数形 结合法结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定单调性确定 函数函数 图象法图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 针对训练针对训练 1(2021 湖南八校联考湖南八校联考)“a1 或或a0，解得，解得 a0. a1 是直线是直线 axy10 的倾斜角大于的倾斜角大于4的充分不必要条件的充分不必要条件 2(多选多选)如图，直线如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项正确的是，则下列选项正确的是( ) Ak1k3k2 Bk3k2k1 C132 D32k30，k1230，且，且 1为钝角，故选为钝角，故选 A、D. 考点二考点二 求直线的方程求直线的方程 典例典例 求适合下列条件的直线方程：求适合下列条件的直线方程： (1)经过点经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；，且在两坐标轴上的截距相等； 5 (2)经过点经过点 A(1，3)，倾斜角等于直线，倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的的倾斜角的 2 倍；倍； (3)经过点经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 解解 (1)设直线设直线 l 在在 x 轴，轴，y 轴上的截距均为轴上的截距均为 a， 若若 a0，即，即 l 过点过点(0,0)和和(4,1)， 所以所以 l 的方程为的方程为 y14x，即，即 x4y0. 若若 a0，设，设 l 的方程为的方程为xaya1， 因为因为 l 过点过点(4,1)，所以，所以4a1a1， 所以所以 a5，所以，所以 l 的方程为的方程为 xy50. 综上可知，所求直线的方程为综上可知，所求直线的方程为 x4y0 或或 xy50. (2)由已知设直线由已知设直线 y3x 的倾斜角为的倾斜角为 ，则所求，则所求直线的倾斜角为直线的倾斜角为 2. 因为因为 tan 3，所以，所以 tan 22tan 1tan234. 又直线经过点又直线经过点 A(1，3)， 因此所求直线方程为因此所求直线方程为 y334(x1)， 即即 3x4y150. (3)由题意可知，所求直线的斜率为由题意可知，所求直线的斜率为 1. 又过点又过点(3,4)，由点斜式得，由点斜式得 y4 (x3) 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 xy10 或或 xy70. 方法技巧方法技巧 求解直线方程的求解直线方程的 2 种方法种方法 直接法直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程线方程 待定待定 系数法系数法 设所求直线方程的某种形式；设所求直线方程的某种形式； 由条件建立所求参数的方程由条件建立所求参数的方程(组组)； 解这个方程解这个方程(组组)求出参数；求出参数； 把参数的值代入所设直线方程把参数的值代入所设直线方程 针对训练针对训练 1一条直线经过点一条直线经过点 A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求此直线的方程，求此直线的方程 解：解：设所求直线的方程为设所求直线的方程为xayb1. A(2,2)在直线上，在直线上，2a2b1. 又又直线与坐标轴围成的三角形面积为直线与坐标轴围成的三角形面积为 1， 6 12|a| |b|1. 由由可得可得(1) ab1，ab2或或(2) ab1，ab2. 由由(1)解得解得 a2，b1或或 a1，b2.方程组方程组(2)无解无解 故所求的直线方程为故所求的直线方程为x2y11 或或x1y21，即，即 x2y20 或或 2xy20 为所求直线为所求直线的方程的方程 2已知已知ABC 的三个顶点分别为的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：，求： (1)BC 边所在直线的方程；边所在直线的方程； (2)BC 边上中线边上中线 AD 所在直线的方程；所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线边的垂直平分线 DE 的方程的方程 解：解：(1)因为直线因为直线 BC 经过经过 B(2,1)和和 C(2,3)两点，两点， 由两点式得由两点式得 BC 的方程为的方程为y131x222，即，即 x2y40. (2)设设 BC 边的中点边的中点 D 的坐标为的坐标为(x，y)， 则则 x2220，y1322. BC 边的中线边的中线 AD 过过 A(3,0)，D(0,2)两点，两点， 由截距式得由截距式得 AD 所在直线方程为所在直线方程为x3y21， 即即 2x3y60. (3)由由(1)知直线知直线 BC 的斜率的斜率 k112， 则直线则直线 BC 的垂直平分线的垂直平分线 DE 的斜率的斜率 k22. 由由(2)知点知点 D 的坐标为的坐标为(0,2) 可求出直线的点斜式方程为可求出直线的点斜式方程为 y22(x0)， 即即 2xy20. 考点三考点三 直线方程的综合应用直线方程的综合应用 典例典例 直线直线 l 过点过点 P(1,4)，分别交，分别交 x 轴的正半轴和轴的正半轴和 y 轴的正半轴于轴的正半轴于 A，B 两点，两点，O 为坐标为坐标原点，当原点，当|OA|OB|最小时，求最小时，求 l 的方程的方程 解解 法一：法一：依题意，依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，的斜率存在，且斜率为负， 设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k， 则直线则直线 l 的方程为的方程为 y4k(x1)(k0) 令令 y0，可得，可得 A 14k，0 ； 7 令令 x0，可得，可得 B(0,4k) |OA|OB| 14k(4k)5 k4k 5 k4k549. 当且仅当当且仅当k4k且且 k0，b0)，则直线，则直线 l 的方的方程为程为xayb1. 直线直线 l 过点过点 P(1,4)，1a4b1， |OA|OB|ab(ab) 1a4b 5ba4ab52 ba4ab9， 当且仅当当且仅当ba4ab，即，即 a3，b6时时“”成立成立 |OA|OB|取最小值，取最小值，此时此时 l 的方程为的方程为x3y61，即，即 2xy60. 方法技巧方法技巧 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值求解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解或基本不等式求解 针对训练针对训练 已知直线已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线证明：直线 l 过定过定点；点； (2)若直线不经过第四象限，求若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；的取值范围； (3)若直线若直线 l 交交 x 轴负半轴于轴负半轴于 A，交，交 y 轴正半轴于轴正半轴于 B，AOB 的面积为的面积为 S(O 为坐标原点为坐标原点)，求，求S 的最小值并求此时直线的最小值并求此时直线 l 的方程的方程 解：解：(1)证明：直线证明：直线 l 的方程可化为的方程可化为 k(x2)(1y)0， 8 令令 x20，1y0，解得解得 x2，y1. 无论无论 k 取何值，直线总经过定点取何值，直线总经过定点(2,1) (2)由方程知，当由方程知，当 k0 时直线在时直线在 x 轴轴上的截距为上的截距为12kk，在，在 y 轴上的截距为轴上的截距为 12k，要使直，要使直线不经过第四象限，则必须有线不经过第四象限，则必须有 12kk2，12k1，解得解得 k0； 当当 k0 时，直线为时，直线为 y1，符合题意，符合题意， 故故 k 的取值范围是的取值范围是0，) (3)由题意可知由题意可知 k0，再由，再由 l 的方程，的方程， 得得 A 12kk，0 ，B(0,12k) 依题意得依题意得 12kk0，12k0，解得解得 k0. S12 |OA| |OB|12 12kk |12k| 12 12k 2k12 4k1k4 12(224)4， “”成立的成立的条件是条件是 k0 且且 4k1k，即，即 k12， Smin4，此时直线，此时直线 l 的方程为的方程为 x2y40. 创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 妙用直线的斜率解题妙用直线的斜率解题 应用应用(一一) 比较大小比较大小 例例 1 已知函数已知函数 f(x)log2(x1)，且，且 abc0，则，则f a a，f b b，f c c的大小关系为的大小关系为_ 解析解析 作出函数作出函数 f(x)log2(x1)的大致图象，如图所示，可知当的大致图象，如图所示，可知当 x0时，曲线上各点与原点连线的斜率随时，曲线上各点与原点连线的斜率随 x 的增大而减小，因为的增大而减小，因为 abc0， 所以所以f a af b bf c c. 答案答案 f a af b bf c c 9 名师微点名师微点 有关有关f x x的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题 应用应用(二二) 求解点共线问题求解点共线问题 例例 2 已知已知 A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(1，b)四点共线，则四点共线，则 a_，b_. 解析解析 因为因为 A，B，C，D 四点共线，所以直线四点共线，所以直线 AB，AC，AD 的斜率相等，又因为的斜率相等，又因为 kAB2，kAC71a1，kADb111，所以，所以 26a1b12.所以所以 a4，b3. 答案答案 4 3 名师微点名师微点 若直线若直线 AB，AC 的斜率相等，则的斜率相等，则 A，B，C 三点共线，反过来，若三点共线，反过来，若 A，B，C 三点共线，则三点共线，则直线直线 AB，AC 的斜率相等或都不存在的斜率相等或都不存在 应用应用(三三) 求求参数的取值范围参数的取值范围 例例 3 已知线段已知线段 PQ 两端点的坐标分别为两端点的坐标分别为 P(1,1)和和 Q(2,2)，若直线，若直线 l：xmym0 与线与线段段 PQ 有交点，求实数有交点，求实数 m 的取值范围的取值范围 解解 如图所示，直线如图所示，直线 l：xmym0 过定点过定点 A(0，1)，当，当 m0时，时， kQA32， kPA2， kl1m.结合图象知， 若直线结合图象知， 若直线 l 与与 PQ 有交点，有交点，应满足应满足1m2 或或1m32.解得解得 0m12或或23m0；当；当 m0 时，时，直线直线 l 的方程为的方程为 x0，与线段，与线段 PQ 有交点所以实数有交点所以实数 m 的取值范围的取值范围为为 23，12. 名师微点名师微点 当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大的增大而增大 应用应用(四四) 求函数的最值求函数的最值 例例 4 已知实数已知实数 x，y 满足满足 yx22x2(1x1)，试求，试求y3x2的最大值和最小值的最大值和最小值 解解 如图， 作出如图， 作出 yx22x2(1x1)的图象的图象(曲线段曲线段 AB)， 则， 则y3x2表表示定点示定点 P(2， ， 3)和曲线段和曲线段 AB 上任一点上任一点(x， y)的连线的斜率的连线的斜率 k， 连接， 连接 PA，PB，则，则 kPAkkPB. 易得易得 A(1,1)，B(1,5)， 10 所以所以 kPA1 3 1 2 43， kPB5 3 1 2 8， 所以所以43k8，故，故y3x2的最大值是的最大值是 8，最小值是，最小值是43. 名师微点名师微点 巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用代数的方法求解代数的方法求解 应用应用(五五) 证明不等式证明不等式 例例 5 已知已知 0a0.求证：求证：apbpab. 证明证明 设设 A(b，a)，因为，因为 0a0，所以设点，所以设点 P(p，p)在第三象限，且在直线在第三象限，且在直线 yx 上上 因为因为 kOAab，kPAapbp，由图可知，由图可知 kPAkOA， 所以所以apbpab. 名师微点名师微点 观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构.apbpa p b p 的几何意义就是点的几何意义就是点(b，a)与点与点(p，p)的连线的斜率，的连线的斜率，ab可看成可看成(b，a)与原点与原点 O(0,0)的连线的斜率的连线的斜率 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1直线直线 l 的方程为的方程为 3x3y10，则直线，则直线 l 的倾斜角为的倾斜角为( ) A150 B120 C60 D30 解析：解析：选选 A 由直线由直线 l 的方程为的方程为 3x3y10 可得直线可得直线 l 的斜率为的斜率为 k33，设直线，设直线 l 的的倾斜角为倾斜角为 (0 180 )，则，则 tan 33，所以，所以 150 .故选故选 A. 11 2过点过点 A(0,2)且倾斜角的正弦值是且倾斜角的正弦值是35的直线方程为的直线方程为( ) A3x5y100 B3x4y80 C3x4y100 D3x4y80 或或 3x4y80 解析：解析：选选 D 设所求直线的倾斜角为设所求直线的倾斜角为 ，则，则 sin 35，tan 34，所求直线方程为所求直线方程为 y34x2，即为，即为 3x4y80 或或 3x4y80.故选故选 D. 3 在同一平面直角坐标系中， 直线 在同一平面直角坐标系中， 直线 l1： axyb0 和直线和直线 l2： bxya0 有可能是有可能是( ) 解析：解析： 选选 B 由题意由题意 l1： yaxb， l2： ybxa， 当， 当 a0， b0 时， 时， a0， b0.选项选项 B 符合符合 4已知直线已知直线 l 的斜率为的斜率为 3，在，在 y 轴上的截距为另一条直线轴上的截距为另一条直线 x2y40 的斜率的倒数，则的斜率的倒数，则直线直线 l 的方程为的方程为( ) Ay 3x2 By 3x2 Cy 3x12 Dy 3x2 解析：解析：选选 A 直线直线 x2y40 的斜率为的斜率为12， 直线直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2， 直线直线 l 的方程为的方程为 y 3x2，故选，故选 A. 5已知直线已知直线 l 经过经过 A(2,1)，B(1，m2)两点两点(mR)，那么直线，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是( ) A0，) B. 0，4 2， C. 0，4 D. 4，2 2， 解析：解析：选选 B 直线直线 l 的斜率的斜率 k1m2211m2，因为，因为 mR，所以，所以 k(，1，所以直线，所以直线的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 0，4 2， . 12 6已知已知 e 是自然对数的底数，函数是自然对数的底数，函数 f(x)(x1)ex3e 的图象在点的图象在点(1，f(1)处的切线为处的切线为 l，则直线则直线 l 的横截距为的横截距为_ 解析：解析：因为因为 f(x)ex(x1)exxex，所以切线，所以切线 l 的斜率为的斜率为 f(1)e，由，由 f(1)3e 知切点知切点坐标为坐标为(1,3e)，所以切线，所以切线 l 的方程为的方程为 y3ee(x1)令令 y0，解得，解得 x2，故直线，故直线 l 的横的横截距为截距为2. 答案：答案：2 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1已知三点已知三点 A(2，3)，B(4,3)，C 5，k2在同一条直线上，则在同一条直线上，则 k 的值为的值为( ) A12 B9 C12 D9 或或 12 解析：解析：选选 A 由由 kABkAC，得，得3 3 42k2 3 52， 解得解得 k12.故选故选 A. 2若直线若直线 l 与直线与直线 y1，x7 分别交于点分别交于点 P，Q，且线段，且线段 PQ 的中点坐标为的中点坐标为(1，1)，则直，则直线线 l 的斜率为的斜率为( ) A.13 B13 C32 D.23 解析：解析：选选 B 依题意，设点依题意，设点 P(a,1)，Q(7，b)，则有，则有 a72，b12，解得解得 a5，b3，从而可知从而可知直线直线 l 的斜率为的斜率为317513.故选故选 B. 3过点过点(2,1)且倾斜角比直线且倾斜角比直线 yx1 的倾斜角小的倾斜角小4的直线方程是的直线方程是( ) Ax2 By1 Cx1 Dy2 解析：解析：选选 A 直线直线 yx1 的斜率为的斜率为1，则倾斜角为则倾斜角为34，依题意，所求直线的倾斜角，依题意，所求直线的倾斜角为为3442，斜率不存在，斜率不存在，过点过点(2,1)的直线方程为的直线方程为 x2. 4若若 k，1，b 三个数成等差数列，则直线三个数成等差数列，则直线 ykxb 必经过定点必经过定点( ) A(1，2) B(1,2) C(1,2) D(1，2) 解析：解析：选选 A 因为因为 k，1，b 三个数成等差数列，所以三个数成等差数列，所以 kb2，即，即 b2k，于是直，于是直线方程化为线方程化为 ykxk2，即，即 y2k(x1)，故直线必过定点，故直线必过定点(1，2) 13 5数学家欧拉在数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC 的顶点的顶点 A(2,0)，B(0,4)，且，且 ACBC，则，则ABC 的欧拉线的方程为的欧拉线的方程为( ) Ax2y30 B2xy30 Cx2y30 D2xy30 解析：解析：选选 C 因为因为 ACBC，所以欧拉线为，所以欧拉线为 AB 的中垂线，又的中垂线，又 A(2,0)，B(0,4)，故，故 AB 的中的中点为点为(1,2)，kAB2，故，故 AB 的中垂线方程为的中垂线方程为 y212(x1)，即，即 x2y30，故选，故选 C. 6 直线 直线l经过点经过点A(1,2)， 在， 在x轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(3,3)， 则其斜率， 则其斜率k的取值范围是的取值范围是( ) A. 1，15 B. 1，12 C(，1) 15， D(，1) 12， 解析：解析：选选 D 设直线的斜率为设直线的斜率为 k，则直线方程为，则直线方程为 y2k(x1)，直线在，直线在 x 轴上的截距为轴上的截距为 12k.令令312k3，解不等式得，解不等式得 k1 或或 k12. 7若直线若直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么，那么 b 的取值范围是的取值范围是( ) A2,2 B(，22，) C2,0)(0,2 D(，) 解析：解析：选选 C 令令 x0，得，得 yb2，令令 y0，得，得 xb， 所以所求三角形面积为所以所求三角形面积为12 b2|b|14b2，且，且 b0， 因为因为14b21，所以，所以 b24，所以，所以 b 的取值范围是的取值范围是2,0)(0,2 8(多选多选)已知直线已知直线 l：mxy10，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ) A直线直线 l 恒过定点恒过定点(0,1) B当当 m0 时，直线时，直线 l 的斜率不存在的斜率不存在 C当当 m1 时，直线时，直线 l 的倾斜角为的倾斜角为34 D当当 m2 时，直线时，直线 l 与直线与直线 AB 垂直垂直 解析：解析： 选选 CD 直线直线 l： mxy10， 故， 故 x0 时，时， y1， 故直线， 故直线 l 恒过定点恒过定点(0， 1)，选项，选项 A 错误；错误； 14 当当 m0 时，直线时，直线 l：y10，斜率，斜率 k0，故选项，故选项 B 错误；错误； 当当 m1 时，直线时，直线 l：xy10，斜率，斜率 k1，故倾斜角为，故倾斜角为34，选项，选项 C 正确；正确； 当当 m2 时，直线时，直线 l：2xy10，斜率，斜率 k2，kAB103112，故，故 k kAB1，故直线，故直线 l与直线与直线 AB 垂直，选项垂直，选项 D 正确正确 9 设点 设点 A(2,3)， B(3,2)， 若直线， 若直线 axy20 与线段与线段 AB 没有交点， 则没有交点， 则 a 的取值范围是的取值范围是( ) A. ，52 43， B. 43，52 C. 52，43 D. ，43 52， 解析：解析：选选 B 易知直线易知直线 axy20 恒过点恒过点 M(0，2)，且斜率为，且斜率为a. 因为因为 kMA3 2 2052， kMB2 2 3043， 由图可知由图可知a52且且a43，所以，所以 a 43，52. 10(2021 河北七校联考河北七校联考)直线直线(a1)xya30(a1)，当此直线在，当此直线在 x，y 轴上的截距和轴上的截距和最小时，实数最小时，实数 a 的值是的值是( ) A1 B. 2 C2 D3 解析解析：选：选 D 当当 x0 时，时，ya3，当，当 y0 时，时，xa3a1， 令令 ta3a3a15(a1)4a1. 因为因为 a1，所以，所以 a10. 所以所以 t52 a1 4 a1 9. 当且仅当当且仅当 a14a1， 即即 a3 时，等号成立时，等号成立 11 过 点 过 点()2，4 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线 的 一 般 方 程 为且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线 的 一 般 方 程 为_ 15 解析解析：当在坐标轴上截距为当在坐标轴上截距为 0 时，所求直线方程为时，所求直线方程为 y2x，即，即 2xy0； 当在坐标轴上截距不为当在坐标轴上截距不为 0 时，时， 在坐标轴上截距互为相反数，在坐标轴上截距互为相反数，设设 xya，将，将 A(2,4)代入得，代入得，a6， 此时所求的直线此时所求的直线方程为方程为 xy60. 答案答案：2xy0 或或 xy60 12已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则，则 BC 边上中线所在的直线方程边上中线所在的直线方程为为_ 解析：解析：由已知，得由已知，得 BC 的中点坐标为的中点坐标为 32，12，且直线，且直线 BC 边上的中线过点边上的中线过点 A，则，则 BC 边上边上中线的斜率中线的斜率 k113，故，故 BC 边上的中线所在直线方程为边上的中线所在直线方程为 y12113 x32，即，即 x13y50. 答案：答案：x13y50 13曲线曲线 yx3x5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围为上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_ 解析解析：记曲线上点：记曲线上点 P 处的切线的倾斜角是处的切线的倾斜角是 ， 因为因为 y3x211，所以，所以 tan 1， 所以所以 为钝角时，应有为钝角时，应有 34， ； 为锐角时，为锐角时，tan 1 显然成立显然成立 综上，综上， 的取值范围是的取值范围是 0，2 34， . 答案答案： 0，2 34， 14若过点若过点 P(1a,1a)与与 Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且的直线的倾斜角为钝角，且 m3a24a，则实数，则实数 m 的取的取值范围是值范围是_ 解析：解析：设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为 ，斜率为，斜率为 k，则，则 ktan 2a 1a 4 1a a1a3，又，又 为钝角，所为钝角，所以以a1a30，即，即(a1) (a3)0，故，故3a1.关于关于 a 的函数的函数 m3a24a 的图象的对称轴为的图象的对称轴为 a42323，所以，所以 3 232423m0，12k0k0. 于是于是 SAOB12 |OA| |OB| 122k1k (12k)12 41k4k 12 42 1R 4k 4. 当且仅当当且仅当1k4k，即，即 k12时，时，AOB 面积有最小值为面积有最小值为 4，此时，直线，此时，直线 l 的方程为的方程为 y112(x2)，即，即 x2y40. (2)A 2k1k，0 ，B(0,12k)(k0)， 截距之和为截距之和为2k1k12k32k1k32 2k 1k32 2. 当且仅当当且仅当2k1k，即，即 k22时，等号成立时，等号成立 17 故截距之和最小值为故截距之和最小值为 32 2，此时，此时 l 的方程的方程为为 y122(x2)，即，即 2x2y22 20. (3)A 2k1k，0 ，B(0,12k)(k0)， |PA| |PB| 1k21 44k2 4k24k28 24k2 4k284. 当且仅当当且仅当4k24k2，即，即 k1 时上式等号成立，故时上式等号成立，故|PA| |PB|最小值为最小值为 4，此时，直线，此时，直线 l 的方程的方程为为 xy30.