2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 随机事件的概率 教案.doc

1 第三节第三节 随机事件的概率随机事件的概率 最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式 1事件的相关概念 2频率与概率的关系 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率 fn(A)nAn会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3事件的关系与运算 名称 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等事件 若 BA，且 AB，则称事件 A 与事件 B 相等 AB 并(和)事件 若某事件发生当且仅当事件 A 或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) AB(或 AB) 交(积)事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B互斥 AB 2 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB且ABU(U 为全集) 4.概率的基本性质 (1)任何事件 A 的概率都在0， 1内， 即 0P(A)1， 不可能事件的概率为 0，必然事件 的概率为 1. (2)如果事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (3)事件 A 与它的对立事件 A 的概率满足 P(A)P(A)1 常用结论 如果事件 A1，A2，An两两互斥，则称这 n 个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生( ) (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶” 2容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 10，20) 20，30) 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间10，40)的频率为( ) A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 B 由表知10，40)的频数为 2349， 3 所以样本数据落在区间10，40)的频率为9200.45. 3如果从不包括大、小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是_ 12 P1(1414)12. 4一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下： 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 n 5544 9607 13520 17190 男婴数 m 2883 4970 6994 8892 这一地区男婴出生的概率约是_(保留四位小数) 0517 3 男婴出生的频率依次约是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.由于这些频率非常接近 0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为 0.517 3. 考点 1 事件关系的判断 判断互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 两个事件， 若有且仅有一个发生， 则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 (2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥 事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件： 至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球； 至少有 1 个黄球与都是黄球； 恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球； 恰有 1 个白球与都是黄球 4 其中互斥而不对立的事件共有( ) A0 组 B1 组 C2 组 D3 组 B 中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生， 如恰有1 个白球和 1 个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球，则两个事件不互斥中“恰有 1个白球”与“恰有 1 个黄球”，都是指有 1 个白球和 1 个黄球， 因此两个事件是同一事件 中两事件不能同时发生， 也可能都不发生， 因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选 B. 2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 A “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”， “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件 判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判断 考点 2 随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的， 而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小， 有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 2随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 (2017 全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格5 当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20， 25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为21636900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y64504450900； 若最高气温位于区间20， 25)， 则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100. 所以，Y 的所有可能值为 900，300，100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20的频率为362574900.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天销售这种酸奶的利润 Y 与气温变化的关系 教师备选例题 (2019 北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 6 支付金额 支付方式 不大于 2000 元 大于 2000 元 仅使用 A 27 人 3 人 仅使用 B 24 人 1 人 (1)估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数； (2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 解 (1)由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27330 人， 仅使用 B 的学生有 24125 人， A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人 故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 1003025540 人 估计该校学生中上个月 A， B 两种支付方式都使用的人数为401001000400. (2)记事件 C 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 2000 元”，则 P(C)1250.04. (3)记事件 E 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，该学生本月的支付金额大于 2000 元” 假设样本仅使用 B 的学生中，本月支付金额大于 2000 元的人数没有变化， 则由(2)知，P(E)0.04. 答案示例 1：可以认为有变化理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生， 一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2000 元的人数发生了变化， 所以可以认为有变化 答案示例 2：无法确定有没有变化理由如下： 事件 E 是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的， 所以无法确定有没有变化 7 1.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28粒，则这批米内夹谷约为( ) A134 石 B169 石 C338 石 D1 365 石 B 28254 1534169(石) 2(2016 全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” ，求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知， 一年内出险次数小于 2 的频率为60502000.55，故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30302000.3，故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 8 考点 3 互斥事件与对立事件的概率 复杂事件的概率的 2 种求法 (1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算 (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便 (1)(2018 全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( ) A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 (2)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求： P(A)，P(B)，P(C)； 1 张奖券的中奖概率； 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 (1)B 由题意知不用现金支付的概率为 10.450.150.4. (2)解 P(A)11 000， P(B)101 0001100，P(C)501 000120. 故事件 A，B，C 的概率分别为11 000，1100，120. 1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC. A，B，C 两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 110501 000611 000， 故 1 张奖券的中奖概率约为611 000. 设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， 9 P(N)1P(AB)111 00011009891 000， 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000. 求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来 教师备选例题 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 解 法一：(利用互斥事件求概率) 记事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球， A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球， 则 P(A1)512，P(A2)41213，P(A3)21216，P(A4)112，根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出 1 球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2)51241234. (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 5124122121112. 法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A2的对立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)121211234. (2)因为 A1A2A3的对立事件为 A4， 所以 P(A1A2A3)1P(A4)11121112. 10 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率； (2)至少 3 人排队等候的概率 解 记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥 (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC， 所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56. (2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF， 所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F) 0.30.10.040.44. 法二：(利用对立事件求概率)记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.