2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　高效演练分层突破 (4).doc

基础题组练 1下列说法正确的有( ) 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 经过球面上不同的两点只能作一个大圆； 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； 圆锥的轴截面是等腰三角形 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 A中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；很明显是正确的 2圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A4S B2S CS D2 33S 解析：选 A由 r2S 得圆柱的底面半径是S，故侧面展开图的边长为 2S2 S，所以圆柱的侧面积是 4S，故选 A 3如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三棱锥 AABC，则剩余的部分是( ) A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D组合体 解析：选 B如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三棱锥 AABC，剩余部分是四棱锥 ABCCB. 4(2020 安徽合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4.若一球的表面积与此圆锥侧 面积相等，则该球的半径为( ) A5 B 5 C9 D3 解析：选 B因为圆锥的底面半径 r4，高 h3，所以圆锥的母线 l5，所以圆锥的侧面积 Srl20，设球的半径为 R，则 4R220，所以 R 5，故选 B 5(2020 辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( ) A B2 C3 D4 解析：选 B将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为 R，则有 2R323，所以 R1.设圆锥的内切球半径为 r，圆锥的高为 h，内切球球心必在圆锥的高线上，因为圆锥的母线长为 3，所以 h 912 2，所以有rhrR3，解得 r22，因此内切球的表面积 S4r22. 6有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为_ 解析： 由于该矩形的面积 S5420(cm2)， 所以其直观图的面积 S24S5 2(cm2) 答案：5 2 cm2 7一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为_cm. 解析：如图，过点 A 作 ACOB，交 OB 于点 C. 在 RtABC 中，AC12 cm，BC835(cm) 所以 AB 1225213(cm) 答案：13 8.已知圆锥 SO， 过 SO 的中点 P 作平行于圆锥底面的截面， 以截面为上底面作圆柱 PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比值为_ 解析：设圆锥 SO 的底面半径为 r，高为 h，则圆柱 PO 的底面半径是r2，高为h2，所以 V圆锥SO13r2h，V圆柱POr22h2r2h8，所以V圆柱POV圆锥SO38. 答案：38 9. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P- A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ 解：由 PO12 m，知 O1O4PO18 m. 因为 A1B1AB6 m，所以正四棱锥 P- A1B1C1D1的体积 V锥13 A1B21PO11362224(m3)； 正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)， 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) 故仓库的容积是 312 m3. 10.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120 ，可得 AGGC32x，GBGDx2. 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG32x. 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE22x. 由已知得，三棱锥 E- ACD 的体积 V三棱锥E- ACD1312 AC GD BE624x363，故 x2. 从而可得 AEECED 6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E- ACD 的侧面积为 32 5. 综合题组练 1(2020 辽宁丹东测试)已知表面积为 12 的圆柱的上下底面的中心分别为 O1，O2.若过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则 O1O2( ) A2 3 B2 2 C 3 D 2 解析：选 B因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为 r，则母线长为 2r，所以圆柱的表面积为 2r22r2r12，解得 r 2，所以 O1O22r2 2，故选 B 2.如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( ) A34 B 2 C32 D94 解析：选 C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 A1为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 32432.故选C 3(2020 广东茂名一模)在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，D1B 与 DC 所成的角是 60 ，则长方体的外接球的表面积是( ) A16 B8 C4 D4 2 解析：选 A如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，因为 DCAB，所以相交直线 D1B与 AB 所成的角是异面直线 D1B 与 DC 所成的角 连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1，得 ABAD1，所以在 RtABD1中，ABD1就是 D1B与 DC 所成的角，即ABD160 ，又 AB2，ABBD1cos 60 ， 所以 BD1ABcos 604，设长方体 ABCD- A1B1C1D1外接球的半径为 R，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得 4R2D1B216，则 R2， 所以长方体外接球的表面积是 4R216.故选 A 4. (多选)如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 3，线段 B1D1上有两个动点 E，F 且EF1，则当 E，F 移动时，下列结论正确的是( ) AAE平面 C1BD B四面体 ACEF 的体积不为定值 C三棱锥 A- BEF 的体积为定值 D四面体 ACDF 的体积为定值 解析：选 ACD对于 A，如图 1，AB1DC1，易证 AB1平面 C1BD，同理 AD1平面C1BD，且 AB1AD1A，所以平面 AB1D1平面 C1BD，又 AE平面 AB1D1，所以 AE平面 C1BD，A 正确； 对于 B，如图 2，SAEF12EF h1121(3 2)23 2223 64，点 C 到平面 AEF的距离为点 C 到平面 AB1D1的距离 d 为定值，所以 VA- CEFVC- AEF133 64d64d 为定值，所以 B 错误； 对于 C，如图 3，SBEF121332，点 A 到平面 BEF 的距离为 A 到平面 BB1D1D 的距离 d 为定值，所以 VA- BEF1332d12d 为定值，C 正确； 对于 D，如图 4，四面体 ACDF 的体积为 VA- CDFVF- ACD131233392为定值，D正确 5已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45 .若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS. SAB 的面积为12 SASBsinASB12 SA2 1cos2ASB1516 SA25 15， 所以 SA280， SA4 5.因为 SA 与底面所成的角为 45 ， 所以SAS45 ， ASSA cos 45 4 5222 10.所以底面周长 l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为124 54 1040 2. 答案：40 2 6(2020 东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为 4 的圆柱有一外接球 O，当球 O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_ 解析：设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h， 则球的半径 Rr2h22. 因为球的体积 V43R3，故 V 最小当且仅当 R 最小 圆柱的侧面积为 2rh4，所以 rh2. 所以h21r， 所以 Rr21r2 2， 当且仅当 r21r2. 即 r1 时取等号，此时 k 取最小值，所以 r1，h2，圆柱的表面积为 246. 答案：6 7(应用型)(2020 安徽六安一中模拟(四)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到 S圆及 S环两截面 可以证明S圆S环总成立 据此， 短半轴长为1， 长半轴长为3的椭球体的体积是_ 解析：因为 S圆S环总成立，所以半椭球体的体积为 b2a13b2a23b2a， 所以椭球体的体积 V43b2a. 因为椭球体的短半轴长为 1，长半轴长为 3. 所以椭球体的体积 V43b2a431234. 答案：4 8(应用型)我国古代数学著作算法统宗第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(ch r o )：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之如屋脊：上斜下平”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍” ，是一种五面体(如图)：矩形 ABCD，棱 EFAB，AB4，EF2，ADE 和BCF 都是边长为2 的等边三角形，则此几何体的表面积为_，体积为_ 解析：由题意知该五面体的表面积 SS矩形ABCD2SADE2S梯形ABFE242122 2212212(24) 221288 3.过点 F 作 FO平面 ABCD，垂足为 O，取 BC 的中点 P，连接 PF，过点 F 作 FQAB，垂足为 Q，连接 OQ.因为ADE 和BCF都是边长为 2 的等边三角形，所以 OP12(ABEF)1，PF 2212 3，OQ12BC1，所以 OF PF2OP2 2， 采用分割的方法， 分别过点 F， E 作与平面 ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分， 如图， 包含一个三棱柱 EMN- FQH， 两个全等的四棱锥：E- AMND，F QBCH，所以这个几何体的体积 VVEMNFQH2VFQBCHSQFHMQ213S矩形QBCHFO122 2221312 210 23. 答案：88 3 10 23