2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 三角函数的图象与性质 教案.doc

1 第三节第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养 2与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值最值)，凸显数学运算的核心素养，凸显数学运算的核心素养 3借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养运算、直观想象和逻辑推理的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数在正弦函数 ysin x， x0,2的图象上， 五个关键点是：的图象上， 五个关键点是： (0,0)， 2，1 ， (， 0)， 32，1 ，(2，0) (2)在余弦函数在余弦函数 ycos x， x0,2的图象上， 五个关键点是：的图象上， 五个关键点是： (0,1)， 2，0 ， (， 1)， 32，0 ，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数函数 ysin x ycos x ytan x 图象图象 定义域定义域 R R xxR R，且，且 xk2，kZ Z 值域值域 1,1 1,1 R R 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 单调性单调性 在在22k，22k(kZ Z)上是递增函数，在上是递增函数，在22k，322k(kZ Z)上是递减函数上是递减函数 在在2k，2k(kZ Z)上是递增函数，在上是递增函数，在2k，2k(kZ Z)上是递减函数上是递减函数 在在2k，2k(kZ Z)上是上是递增函数递增函数 周期性周期性 周期是周期是 2k(kZ Z 且且k0)， 最小正周期是， 最小正周期是2 周期是周期是 2k(kZ Z 且且k0)，最小正周期是，最小正周期是2 周期是周期是 k(kZ Z 且且 k0)，最，最小正周期是小正周期是 2 对称性对称性 对称轴是对称轴是 x2k(kZ Z)，对称中心是，对称中心是(k，0)(kZ Z) 对称轴是对称轴是 xk(kZ Z)， 对称中心是， 对称中心是 k2，0(kZ Z) 对称中心是对称中心是 k2，0 (kZ Z) 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(三角函数的定义域三角函数的定义域)函数函数 ytan 2x 的定义域是的定义域是( ) A. x|xk4，kZ Z B. x|xk28，kZ Z C. x|xk8，kZ Z D. x|xk24，kZ Z 答案：答案：D 2 (三角函数的周期性三角函数的周期性)已知函数已知函数 f(x)cos x4(0)的最小正周期为的最小正周期为 ， 则， 则 _. 答案：答案：2 3(三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性)若函数若函数 f(x)sinx3(0,2)是偶函数，则是偶函数，则 _. 解析：解析：由已知由已知 f(x)sinx3是偶函数，可得是偶函数，可得3k2(kZ Z)，即，即 3k32(kZ Z)，又，又 0,2，所以，所以 32. 答案：答案：32 4(三角函数的对称性三角函数的对称性)函数函数 f(x)3sin 2x6的对称轴为的对称轴为_，对称中心为，对称中心为_ 答案：答案：xk26(kZ Z) k212，0 (kZ Z) 5(三角函数的单调性三角函数的单调性)函数函数 ytan 2x34 的单调递增区间为的单调递增区间为_ 答案：答案： 8k2，58k2(kZ Z) 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视正切函数自身的定义域忽视正切函数自身的定义域)函数函数 ylg(3tan x 3)的定义域为的定义域为_ 解析：解析：要使函数要使函数 ylg(3tan x 3)有意义，有意义， 则则 3tan x 30，即，即 tan x33. 3 所以所以6kx0)在区间在区间 0，3上单调递增，在区间上单调递增，在区间 3，2上单调递减，上单调递减，则则 等于等于( ) A.23 B.32 C2 D3 (2)(2021 深圳模拟深圳模拟)若若 f(x)cos 2xacos(2x)在区间在区间 6，2上是增函数，则实数上是增函数，则实数 a 的取值的取值 8 范围为范围为_ 解析解析 (1)因为因为 f(x)sin x(0)过原点，过原点， 所以当所以当 0 x2，即，即 0 x2时，时，ysin x 是增函数；是增函数； 当当2x32，即，即2x32时，时，ysin x 是减函数是减函数 由由 f(x)sin x(0)在在 0，3上单调递增，上单调递增， 在在 3，2上单调递减知，上单调递减知，23，所以，所以 32. (2)f(x)cos 2xacos 2x 12sin2xasin x， 令令 sin xt，t 12，1 ，则，则 g(t)2t2at1，t 12，1 ， 因为因为 f(x)在在 6，2上单调递增，上单调递增， 所以所以a41，即，即 a4. 答案答案 (1)B (2)(，4 方法技巧方法技巧 已知单调区间求参数范围的已知单调区间求参数范围的 3 种方法种方法 子集法子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式等式(组组)求解求解 反子反子 集法集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式个单调区间的子集，列不等式(组组)求解求解 周期周期 性法性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等周期列不等式式(组组)求解求解 针对训练针对训练 1已知已知3为函数为函数 f(x)sin(2x) 02的零点，则函数的零点，则函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是( ) A. 2k512，2k12(kZ Z) B. 2k12，2k712(kZ Z) C. k512，k12(kZ Z) 9 D. k12，k712(kZ Z) 解析：解析：选选 C 由于由于3为函数为函数 f(x)sin(2x) 00，函数，函数 f(x)sin x4在在 2， 上单调递减，则上单调递减，则 的取值范围是的取值范围是( ) A. 12，54 B. 12，34 C. 0，12 D(0,2 解析：解析：选选 A 由由2x 得得24x44，由题意知，由题意知 24，4 2k2，2k32(kZ)， 当当 k0 时，由时，由 242，432，解得解得1254. 3cos 23 ，sin 68 ，cos 97 从小到大的顺序是从小到大的顺序是_ 解析：解析：sin 68 sin(90 22 )cos 22 . 因为余弦函数因为余弦函数 ycos x 在在0，上是单调递减的，上是单调递减的， 且且 22 23 97 ， 所以所以 cos 97 cos 23 cos 22 ， 即即 cos 97 cos 23 sin 68 . 答案答案：cos 97 cos 23 sin 68 10 考点三考点三 三角函数的周期性、奇偶性及对称性三角函数的周期性、奇偶性及对称性 考法考法(一一) 三角函数的三角函数的周期性周期性 例例 1 函数函数 f(x)tan x1tan2x的最小正周期为的最小正周期为( ) A.4 B.2 C D2 解析解析 由已知得由已知得 f(x)tan x1tan2xsin xcos x1 sin xcos x2sin xcos xcos2xsin2xcos2xsin x cos x12sin 2x， 所以， 所以 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 T22. 答案答案 C 方法技巧方法技巧 三角函数周期的求解方法三角函数周期的求解方法 公式法公式法 (1)三角函数三角函数 ysin x，ycos x，ytan x 的最小正周期分别为的最小正周期分别为2，2，； (2)yAsin(x)和和 yAcos(x)的最小正周期为的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为的最小正周期为| 图象法图象法 利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期 考法考法(二二) 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 例例 2 已知函数已知函数 f(x)3sin 2x3 ，(0，) (1)若若 f(x)为偶函数，则为偶函数，则 _； (2)若若 f(x)为奇函数，则为奇函数，则 _. 解析解析 (1)因为因为 f(x)3sin 2x3 为偶函数，为偶函数， 所以所以3k2(kZ)， 又因为又因为 (0，)，所以，所以 56. (2)因为因为 f(x)3sin 2x3 为奇函数，为奇函数， 所以所以3k(kZ)，又，又 (0，)，所以，所以 3. 11 答案答案 (1)56 (2)3 方法技巧方法技巧 与三角函数奇偶性相关的结论与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为于原点对称，奇函数一般可化为 yAsin x 或或yAtan x 的形式，而偶函数一般可化为的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式常见的结论有：的形式常见的结论有： (1)若若 yAsin(x)为偶函数，则有为偶函数，则有 k2(kZ)；若为奇函数，则有；若为奇函数，则有 k(kZ) (2)若若 yAcos(x)为偶函数，则有为偶函数，则有 k(kZ)；若为奇函数，则有；若为奇函数，则有 k2(kZ) (3)若若 yAtan(x)为奇函数，则有为奇函数，则有 k(kZ) 考法考法(三三) 三角函数的对称性三角函数的对称性 例例 3 (1)(多选多选)(2021 大连模拟大连模拟)已知函数已知函数 f(x)sin xcos x32(12sin2x)， 则有关函数， 则有关函数 f(x)的说法正确的是的说法正确的是( ) Af(x)的图象关于点的图象关于点(3，0)对称对称 Bf(x)的最小正周期为的最小正周期为 Cf(x)的图象关于直线的图象关于直线 x6对称对称 Df(x)的最大值为的最大值为 3 (2)已知函数已知函数 ysin(2x) 20，|2的最小正周期为的最小正周期为 4，且，且xR，有，有 f(x)f 3成成立，则立，则 f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是( ) A. 23，0 B. 3，0 13 C. 23，0 D. 53，0 解析：解析：选选 A 由由 f(x)sin(x)的最小正周期为的最小正周期为 4， 得得 12. 因为因为 f(x)f 3恒成立，所以恒成立，所以 f(x)maxf 3， 即即12322k(kZ)， 由由|0)在区间在区间0,1上至少出现上至少出现 50 次最大值，则次最大值，则 的最小值为的最小值为( ) A98 B.1972 C.1992 D100 解析解析 由题意，至少出现由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用次最大值即至少需用 4914个周期，所以个周期，所以1974T197421，所，所以以 1972. 答案答案 B 名师微点名师微点 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T2与所给区间的关系，从而建立不等关系与所给区间的关系，从而建立不等关系 14 类型类型(二二) 三角函数的单调性与三角函数的单调性与 的关系的关系 例例 2 若函数若函数 f(x)sin x(0)在区间在区间 3，2上单调递减，则上单调递减，则 的取值范围是的取值范围是( ) A. 0，23 B. 0，32 C. 23，3 D. 32，3 解析解析 令令22kx322k(kZ)， 得得22kx322k(kZ)， 因为因为 f(x)在在 3，2上单调递减，上单调递减， 所以所以 22k3，2322k(kZ)， 解得解得 6k324k3(kZ) 又又 0，所以，所以 k0， 又又 6k324k3(kZ)，得，得 0k0)，在区间，在区间 3，2上单调递减，建立不等式，即可求上单调递减，建立不等式，即可求 的取值范围的取值范围 类型类型(三三) 三角函数的对称性、最值与三角函数的对称性、最值与 的关系的关系 例例 3 (1)已知已知 f(x)sin xcos x 23，若函数，若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与图象的任何一条对称轴与 x 轴交点轴交点的横坐标都不属于区间的横坐标都不属于区间(，2)，则，则 的取值范围是的取值范围是_ (2)已知函数已知函数 f(x)2sin x 在区间在区间 3，4上的最小值为上的最小值为2，则，则 的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 (1)f(x)sin xcos x 2sin x4， 令令 x42k(kZ)，解得，解得 x34k(kZ) 当当 k0 时，时，34，即，即 34， 15 当当 k1 时，时，342，即，即 78. 综上，综上，3478. (2)显然显然 0，分两种情况：分两种情况： 若若 0，当，当 x 3，4时，时，3x4， 因为函数因为函数 f(x)2sin x 在区间在区间 3，4上的最小值为上的最小值为2，所以，所以32，解得，解得 32； 若若 0)的图象关于直线的图象关于直线 x34对称，且对称，且 f(x)在在 0，4上为单调上为单调函数，则下述四个结论中正确的是函数，则下述四个结论中正确的是( ) A满足条件的满足条件的 取值有取值有 2 个个 B. 32，0 为函数为函数 f(x)的一个对称中心的一个对称中心 Cf(x)在在 8，0 上单调递增上单调递增 Df(x)在在(0，)上有一个极大值点和一个极小值点上有一个极大值点和一个极小值点 解析：解析： 选选 ABC 因为函数因为函数 f(x)sin x(0)的图象关于直线的图象关于直线 x34对称， 所以对称， 所以342k(k 20 Z)， 解得解得 43 12k 0(kZ)， 又又 f(x)在在 0，4上为单调函数，所以上为单调函数，所以42，即，即 2， 所以所以 23或或 2，即，即 f(x)sin23x 或或 f(x)sin 2x， 所以总有所以总有 f 320，故，故 A、B 正确；正确； 由由 f(x)sin23x 或或 f(x)sin 2x 图象知，图象知， f(x)在在 8，0 上单调递增，故上单调递增，故 C 正确；正确； 当当 x(0，)时，时，f(x)sin23x 只有一个极大值点，不符合题意，故只有一个极大值点，不符合题意，故 D 不正确故选不正确故选 A、B、C. 7函数函数 ysin xcos x3cos xsin x 的最大值是的最大值是_，最小值是，最小值是_ 解析：解析：令令 tsin xcos x， 则则 t 2， 2 (sin xcos x)22sin xcos x1， sin xcos xt212， y32t2t32，t 2， 2 ， 对称轴对称轴 t13 2， 2 ， yminf 133219133253， ymaxf( 2)32 2. 故函数的最大值与最小值分别为故函数的最大值与最小值分别为32 2，53. 答案：答案：32 2 53 8(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为写出一个最小正周期为 2 的奇函数的奇函数 f(x)_. 解析：解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为 ysin x，此题可考虑在此基此题可考虑在此基础上础上调整周期使其满足题意由此可知调整周期使其满足题意由此可知 f(x)sin x 且且 T2f(x)sin x. 答案：答案：sin x 21 9(2020 全国卷全国卷)关于函数关于函数 f(x)sin x1sin x有如下四个命题：有如下四个命题： f(x)的图象关于的图象关于 y 轴对称轴对称 f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2对称对称 f(x)的最小值为的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是其中所有真命题的序号是_ 解析：解析：由题意知由题意知 f(x)的定义域为的定义域为x|xk，kZ，且关于原点对称又，且关于原点对称又 f(x) sin(x)1sin x sin x1sin xf(x)，所以函数，所以函数 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所为奇函数，其图象关于原点对称，所以以为假命题，为假命题， 为真命题 因为为真命题 因为 f 2x sin 2x 1sin 2xcos x1cos x， f 2x sin 2x 1sin 2xcos x1cos x，所以，所以 f 2x f 2x ，所以函数，所以函数 f(x)的图象关于直的图象关于直线线 x2对称，对称，为真命题当为真命题当 sin x0 时，时，f(x)0，所以，所以为假命题综上，所有真命题的为假命题综上，所有真命题的序号是序号是. 答案：答案： 10已知函数已知函数 f(x)cos(2x) 02在在 38，6上单调上单调递增，若递增，若 f 4m 恒成立，恒成立，则实数则实数 m 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：f(x)cos(2x) 02， 当当 x 38，6时，时，342x3， 由函数由函数 f(x)在在 38，6上是增函数，上是增函数， 得得 2k34，32k(kZ)， 则则 2k42k3(kZ) 又又 02，03. f 4cos 2 ，又，又2256， 22 f 4max0，m0. 答案：答案：0，) 11若函数若函数 y12sin x 在区间在区间 8，12上单调递减，则上单调递减，则 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：因为函数因为函数 y12sin x 在区间在区间 8，12上单调递减，上单调递减， 所以所以 0 且函数且函数 y12sin(x)在区间在区间 12，8上单调递增，上单调递增， 则则 0， 122k2，kZ，82k2，kZ， 即即 0，24k6，kZ，16k4，kZ，解得解得40. 答案：答案：4,0) 12已知函数已知函数 f(x)2|cos x|sin xsin 2x，给出下列四个命题：，给出下列四个命题： 函数函数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x4对称；对称； 函数函数 f(x)在区间在区间 4，4上单调递增；上单调递增； 函数函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 ； 函数函数 f(x)的值域为的值域为2,2 其中是真命题的序号是其中是真命题的序号是_ 解析：解析：对于函数对于函数 f(x)2|cos x|sin xsin 2x， 由于由于 f 42，f 340， 所以所以 f 4f 34， 故故 f(x)的图象不关于直线的图象不关于直线 x4对称，故排除对称，故排除. 在区间在区间 4，4上，上，f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin 2x，2x 2，2，此时函数，此时函数 f(x)单调单调递增，故递增，故正确正确 函数函数 f 3 3，f 430. 所以所以 f 3f 43，故函数，故函数 f(x)的最小正周期不是的最小正周期不是 ，故，故错误错误 23 当当 cos x0 时，时， f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin xcos xsin 2x2sin 2x， 故它， 故它的最大值为的最大值为 2，最小值为最小值为2； 当当 cos x0，023的最小正周期为的最小正周期为 . (1)当当 f(x)为偶函数时，求为偶函数时，求 的值；的值； (2)若若 f(x)的图象过点的图象过点 6，32，求，求 f(x)的单调递增区间的单调递增区间 解：解：因为因为 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 ，所以，所以 T2，即，即 2.所以所以 f(x)sin(2x) (1)当当 f(x)为偶函数时，为偶函数时，2k(kZ)， 因为因为 023，所以，所以 2. (2)当当 f(x)的图象过点的图象过点 6，32时，时，sin 26 32， 即即 sin 3 32. 又因为又因为 023，所以，所以33. 所以所以323，即，即 3. 所以所以 f(x)sin 2x3. 令令 2k22x32k2(kZ)， 得得 k512xk12(kZ) 所以所以 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k512，k12(kZ) 14在在函数函数 f(x)的图象关于点的图象关于点 6，b 对称；对称；函数函数 f(x)在在 4，4上的最小值为上的最小值为12；函函数数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x12对称在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答对称在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题这个问题 已知函数已知函数 f(x)sin(2x)b |2，若满足条件，若满足条件_与与_ (1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式； 24 (2)设设 g(x)f x2，求，求 g(x)的单调区间的单调区间 解：解：(1)选选. 6，b 为为 f(x)的对称中心，的对称中心， 2 6k，kZ，即，即 k3，kZ， 又又|2，3. 4x4，62x356， 12sin 2x31. f(x)min12b12，b1， f(x)sin 2x31. 选选. x12为为 f(x)的一条对称轴，的一条对称轴， 212k2，kZ，k3，kZ， 又又|2，3. 4x4，62x356， 12sin 2x31. f(x)min12b12，b1， f(x)sin 2x31. (2)由由(1)知知 f(x)sin 2x31， 则则 g(x)f x2sin 2x31 sin 2x31， 由由 2k22x32k2，kZ， 得得 k512xk12，kZ， 25 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为 k512，k12，kZ. 由由 2k22x32k32，kZ， 得得 k12xk712，kZ， g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k12，k712，kZ.