人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：垂直关系.docx

垂直关系知识讲解一、平行关系线面平行面面平行判定如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行符号语言图形语言性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言图形语言二、垂直关系线面垂直面面垂直判定如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行其他性质：（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面定理可简记为：面面垂直线面垂直（2）定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面经典例题一选择题（共4小题）1如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点在此几何体中，以下结论一定成立的是（）A直线 BEPFB直线EF平面PBCC平面BCE平面PADD直线PB与DC所成角为60°【解答】解：如图所示，连接EF，BEPF显然不正确，是异面直线；E、F分别为PA、PD的中点，EFAD，ADBC，EFBC，直线EF平面PBC，选项B正确；EFBC，EF平面PBC，BC平面PBC，由于不能推出线面垂直，故平面BCE平面PAD不成立选项C不正确；来源:Zxxk.Com直线PB与DC所成角就是PB与AB所成角，不确定为60°，选项D不正确；故选：B2平面与ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与的位置关系是（）A异面B相交C平行或相交D平行【解答】证明：AD：DB=AE：EC，DEBC，DE平面，BC平面，BC平面故选：D3如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）A平面BCE平面ABNBMCANC平面CMN平面AMND平面BDE平面AMN【解答】解：分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体BC平面ABN，BC平面BCE，平面BCE平面ABN，故A正确；连接PB，则PBMC，显然PBAN，MCAN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，ACAMN和CMN都是边长为2的等边三角形，AFMN，CFMN，AFC为二面角AMNC的平面角，AF=CF=62，AC=2，AF2+CF2AC2，即AFC2，平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；DEAN，MNBD，平面BDE平面AMN，故D正确故选：C4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP平面EFDB，则 tanAPA1的最大值是（）A22B1C2D22【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCDA1B1C1D1中棱长为1，在正方形ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP平面EFDB，AO=PM，A1P=C1M=AC4=24，tanAPA1=AA1A1P=124=22tanAPA1的最大值是22故选：D二填空题（共5小题）5已知l，m为直线，为平面，l，m，则l与m之间的关系是平行或异面【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面ABCD，AB平面ABCD，BC平面ABCD，A1B1与AB平行，A1B1与BC异面，l，m为直线，为平面，l，m，则l与m之间的关系是平行或异面故答案为：平行或异面6在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且ACBD，则四边形EFGH的面积为1【解答】解：点E、H分别为四边形ABCD的边AB、AD的中点，EHBD，且EH=12BD=1同理求得FGBD，且FG=1，EHFG，EH=FG又ACBD，BD=2EFEH四边形EFGH是正方形四边形EFGH的面积=EFEH=1故答案为：17过点（2，3，1）且与平面xy+3z5=0和x+2y3z=0都垂直的平面方程为x2yz7=0【解答】解：平面xy+3z5=0的法向量为n=（1，1，3），平面x+2y3z=0的法向量为m=（1，2，3），设与与平面xy+3z5=0和x+2y3z=0都垂直的平面方程的法向量为p=（x，y，z），则&np=x-y+3z=0&mp=x+2y-3z=0，取x=1，得p=（1，2，1），与平面xy+3z5=0和x+2y3z=0都垂直的平面方程过点（2，3，1）所求平面的方程为x2yz7=0故答案为：x2yz7=08在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABBC，PAC为等边三角形，若AB=BC=23，则三棱锥PABC外接球的体积为6423【解答】解：取AC的中点D，连结PD，BD，设O为PAC的中心，ABBC，AB=BC=23，BDAC，BD=12AC=6，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BD平面PAC，PAC是等边三角形，AC=2AB=26，PD=32AC=32，OP=OA=OC=23PD=22，OD=13PD=2，OB=OD2+BD2=22，OP=OB，O为三棱锥PABC的外接球的球心，外接球的体积为V=43OP3=6423故答案为：64239如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于6【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，DA平面ABC，BC平面ABC，BCAD，又BCAB，ABAD=A，BC平面ABD，又BD平面ABD，BCBD，ACD，ABD都是直角三角形，MA=MB=MC=MD，M为外接球的球心，AD=AB=BC=2，BD=2，CD=4+2=6，外接球半径为r=62外接球的体积V=43(62)3=6故答案为：6三解答题（共8小题）10如图，在三棱锥PABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，ABC=90°，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC中点（1）求证：DE平面PBC；（2）求证：ABPE；（3）求三棱锥PBEC的体积【解答】证明：（1）D，E分别为AB，AC的中点，DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC（2）连接PD，DEBC，又ABC=90°，DEAB，又PA=PB，D为AB中点，PDAB，又PDDE=D，PD平面PDE，DE平面PDE，AB平面PDE，又PE平面PDE，ABPE（3）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面PAB，PD平面ABC，PAB是边长为2的等边三角形，PD=3，E是AC的中点，VP-BEC=12VP-ABC=12×13×12×2×3×3=3211如图，在直三棱柱ABCA1B1C中，已知ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点（1）求证：直线EF平面BC1A1；（2）求证：EFB1C【解答】证明：（1）由题知，EF是AA1B的中位线，来源:学&科&网所以EFA1B（2分）由于EF平面BC1A1，A1B平面BC1A1，所以EF平面BC1A1（6分）（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1（8分）又A1C1B1=ACB=90°，所以A1C1C1B1在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面A1C1B1，A1C1平面A1C1B1，从而A1C1CC1，又CC1C1B1=C1，CC1，C1B1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1，又B1C平面BCC1B1，所以A1C1B1C.（10分）因为A1C1BC1=C1，A1C1，BC1平面BC1A1，所以B1C平面BC1A1（12分）又A1B平面BC1A1，所以B1CA1B又由于EFA1B，所以EFB1C（14分）12已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点（）证明：MN平面ACC1A1；（II）求二面角MANB的余弦值【解答】解：解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（1，0，2），M（0，1，2），N(-12，1，0)（2分）（I）证明：MN=(-12，0，-2)，AB=(0，2，0)是平面ACCA1的一个法向量，且MNAB=-12×0+0×2-2×0=0，所以MNAB（4分）来源:学科网来源:学。科。网又MN平面ACC1A1，MN平面ACC1A1（6分）（II）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，因为AM=(0，1，2)，AN=(-12，1，0)，由&AMn=0&ANn=0（8分）得&0+y+2z=0&-12x+y=0.解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，1）（10分）由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1）（11分）cosm，n=mn|n|m|=-121×1=-2121（13分）二面角MANB的余弦值是2121（14分）解法二：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1DD，N分别是AC，BC的中点，DN¯¯12AB（1分）又A1M=12A1B1，A1B1¯¯AB，A1M¯¯DN，四边形A1DNM是平行四边形A1DMN（4分）A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1MN平面ACC1A1（6分）（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，MHBB1BB1底面ABC，BB1AC，BB1AB，MHAC，AHABABAC=AMH底面ABC（7分）在平面ABC内，过点H做HGAN，垂足为G连接MG，ANHG，ANMH，HGMH=HAN平面MHG，则ANMGMGH是二面角MANB的平面角（9分）MH=BB1=2，由AGHBAC，得HG=15所以MG=MH2+HG2=215所以cosMGH=HGMG=2121二面角MANB的余弦值是2121（14分）来源:Zxxk.Com13如图，在四棱锥PABCD中，ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点（1）若PB=PD，求证：PCBD；（2）求证：CE平面PAD【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO因为PB=PD，所以PBD为等腰三角形，所以BDPO又POCO=O，所以BD平面PCO因为PC平面PCO，所以PCBD解：（2）由E为PB中点，连EO，则EOPD，又EO平面PAD，所以EO平面PAD由ADB=90°，以及BDCO，所以COAD，来源:学科网又CO平面PAD，所以CO平面PAD又COEO=O，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD14在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC【解答】证明：（1）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1， ABA1B1，AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1CAB平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，四边形ABB1A1是菱形，AB1A1B在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1AB1BC&AB1A1B，AB1BC&A1BBC=B&A1B面A1BC，BC面A1BCAB1面A1BC，且AB1平面ABB1A1平面ABB1A1平面A1BC15如图，在三棱锥PABC中，ABPC，CA=CB，M是AB的中点点N在棱PC上，点D是BN的中点求证：（1）MD平面PAC；（2）平面ABN平面PMC【解答】证明：（1）在ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点，MDAN，又AN平面PAC，MD平面PAC，MD平面PAC（2）在ABC中，CA=CB，M是AB的中点，ABMC，又ABPC，PC平面PMC，MC平面PMC，PCMC=C，AB平面PMC又AB平面ABN，平面ABN平面PMC16如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若PDA=45°，（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：MN平面PCD来源:学|科|网Z|X|X|K来源:学科网【解答】证明：（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NEE、N分别为PD，PC的中点，EN=12CD，又M为AB的中点，AM=12CD，EN=AM，四边形AMNE为平行四边形MNAE，MN平面PAD（5分）（2）PA平面ABCD，PDA=45°，PAD为等腰直角三角形，AEPD，又CDAD，CDPA，ADPA=A，CD平面PAD，AE平面PAD，CDAE，又CDPD=D，AE平面PCD，MN平面PCD（10分）17如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，BAD=60°，PA=PD，O为AD边的中点（1）证明：平面POB平面PAD；（2）若AB=23，PA=7，PB=13，求四棱锥PABCD的体积【解答】（1）证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，BAD=60°，所以ABD是正三角形，所以ADBO，因为O为AD的中点，PA=PD，所以ADPO，且POBO=O，所以AD平面POB，又AD平面PAD，所以平面POB平面PAD；（2）解：因为AB=23，ABD是正三角形，所以OB=3，在RtPAO中，PA=7，AO=3，所以PO=2，又PB=13，所以OB2+PO2=PB2，所以POB=90°，即POOB，又ADPO，且OBAD=O，所以PO平面ABCD，因为S平行四边形ABCD=2×12×(23)2×sin600=63，所以四棱锥PABCD的体积为V=13×63×2=43