2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二章 2.8函数与方程-教师版.docx

第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点(×)(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac<0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()2、函数f(x)()x的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析f(x)是增函数，又f(0)1，f(1)，f(0)f(1)<0，f(x)有且只有一个零点3、函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()A(，1) B(1,2) C(2，e) D(e,3)答案C解析因为f()e2<0，f(1)2<0，f(2)ln 2<0，f(e)e2>0，所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)ln xx2的零点所在区间是(2，e)3函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析由f(x)0，得|log0.5x|x，作出函数y|log0.5x|和yx的图象，由上图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点4函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_答案解析函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)<0，(3a1)·(1a)<0，解得<a<1，实数a的取值范围是.作业检查无第2课时阶段训练题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1(1)已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)(2)设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1)C(2)(1,2)解析(1)f(x)ln xx2在(0，)为增函数，又f(1)ln 11ln 12<0，f(2)ln 20<0，f(3)ln 31>0，x0(2,3)，故选C.(2)令f(x)x3()x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，x0所在的区间是(1,2)命题点2函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)的零点个数是_(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4 B4C3 D2答案(1)2(2)B解析(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x>0时，f(x)2>0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 2<0，f(3)ln 3>0，所以f(x)在(0，)上有一个零点综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点【同步练习】(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)(2)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D7答案(1)C(2)C解析(1)因为f(1)6log216>0，f(2)3log222>0，f(4)log24<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)(2)由f(x)xcos x20，得x0或cos x20.又x0,4，所以x20,16由于cos(k)0(kZ)，而在k(kZ)的所有取值中，只有，满足在0,16内，故零点个数为156.题型二函数零点的应用例3(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)(0,1)(9，)解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(a)(41a)<0，即a(a3)<0，所以0a3.(2)设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解，消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根，所以(3a)24a>0，即a210a9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，0<a<1或a>9.引申探究本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_答案(0，)解析作出y1|x23x|，y2a的图象如下：当x时，y1；当x0或x3时，y10，由图象易知，当y1|x23x|和y2a的图象有四个交点时，0<a<.【同步练习】(1)已知函数f(x)x2xa(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_(2)已知函数f(x)是定义在区间2,2上的偶函数，当0x2时，f(x)x22x1，若在区间2,2内，函数g(x)f(x)kx2k有三个零点，则实数k的取值范围是()A(0，) B(0，)C(，) D(，)答案(1)(2,0)(2)C解析(1)ax2x在(0,1)上有解，又yx2x(x)2，函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0<a<2，2<a<0.(2)因为函数f(x)是定义在区间2,2上的偶函数，且当2x<0时，0<x2，所以f(x)(x)22(x)1x22x1.函数g(x)f(x)kx2k有三个零点，即函数yf(x)和yk(x2)的图象有三个不同的交点作出函数yf(x)和yk(x2)的图象，如图所示直线yk(x2)过点P(2,0)，由图可知kPA，kPB，要使此直线与函数yf(x)有三个不同的交点，则需满足<k<.第3课时阶段重难点梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc (a>0)的图象与零点的关系>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【知识拓展】1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点重点题型训练题型三二次函数的零点问题例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x11)(x21)<0，x1x2(x1x2)1<0，由根与系数的关系，得(a2)(a21)1<0，即a2a2<0，2<a<1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1(a21)a2<0，2<a<1.故实数a的取值范围是(2,1)思维升华解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系(3)利用二次函数的图象列不等式组【同步练习】若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得<m<.题型五 利用转化思想求解函数零点问题典例(1)若函数f(x)axxa(a>0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_(2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决解析(1)函数f(x)axxa(a>0，且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图象有两个交点当0<a<1时，图象如图所示，此时只有一个交点当a>1时，图象如图所示，此时有两个交点实数a的取值范围为(1，)(2)由方程，解得a，设t2x(t>0)，则a(t1)2(t1)，其中t1>1，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(1)(1，)(2)(，22思导总结一、零点问题(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数二、已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围(2)方法：常利用数形结合法作业布置1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 1121<0，f(2)ln 2>0，f(1)·f(2)<0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，f(x)的零点所在的区间是(1,2)2已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A. B2C0或 D0答案D解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x>1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x>1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.3已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()Aa<b<c Ba<c<bCb<a<c Dc<a<b答案B解析方法一由于f(1)1<0，f(0)1>0且f(x)为R上的递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，g(x)的零点b2；h1<0，h(1)1>0，且h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点c，因此a<c<b.方法二由f(x)0，得2xx；由h(x)0，得log2xx，作出函数y2x，ylog2x和yx的图象(如图)由图象易知a<0,0<c<1，而b2，故a<c<b.4方程|x22x|a21(a>0)的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析 (数形结合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点5已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是()A(1,2) B(，2C(，1)(2，) D(，12，)答案D解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x>0时，xf(x)m，即xm，解得m2.故实数m的取值范围是(，12，)故选D.6已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_答案，)解析当0<x<1时，f(x)aa；当1x<2时，f(x)aa；当2x<3时，f(x)aa；f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的，画出y的图象，如图所示，通过数形结合可知a(，)7若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)>0的解集是_答案x|<x<1解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)>0，即(4x22x6)>02x2x3<0，解集为x|<x<18已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_答案(，0)(1，)解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(x>a)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a(，0)(1，)9已知函数f(x) (a>0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_答案解析因为函数f(x)在R上单调递减，所以解得a.作出函数y|f(x)|，y2的图象如图由图象可知，在0，)上，|f(x)|2有且仅有一个解；在(，0)上，|f(x)|2同样有且仅有一个解，所以3a<2，即a<.综上可得a<，所以a的取值范围是. *10.若a>1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的最小值为_答案1解析设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m>0，n>0，所以()·(2)(22 )1.当且仅当，即mn2时等号成立所以的最小值为1.11设函数f(x)(x>0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)函数f(x)的图象如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)m有两个不相等的正根12关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0<x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，在1,2上单调递增，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，1 *13.已知二次函数f(x)的最小值为4，关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4ln x的零点个数解(1)f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a且a>0.又a>0，f(x)a(x1)244，且f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x>0)，g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0<x3时，g(x)g(1)4<0，g(x)在(3，)上单调递增，g(3)4ln 3<0，取xe5>3，又g(e5)e5202>251229>0.故函数g(x)只有1个零点且零点x0(3，e5)19