2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 两条直线的位置关系 教案.doc

1 第二节第二节 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2 当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1k21 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2. 2两条直线的交点的求法 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 3三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|（x1x2）2（y1y2）2 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|x2y2 (2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2 (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离为 d|C1C2|A2B2 常用结论 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 2 直线方程 l1与 l2 l1：A1xB1yC10(A21B210) l2：A2xB2yC20(A22B220) 垂直的充要条件 A1A2B1B20 平行的充分条件 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) 相交的充分条件 A1A2B1B2(A2B20) 重合的充分条件 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B2 2 C. 21 D. 21 C 由题意得|a23|21，即|a1| 2， 又 a0，a 21. 2已知 P(2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_ 1 由题意知m42m1，所以 m42m， 所以 m1. 3若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值3 为_ 9 由y2x，xy3，得x1，y2. 所以点(1，2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，所以 m9. 4已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是_ 2 由两直线平行可知364m，即 m8. 两直线方程分别为 3x4y30 和 3x4y70， 则它们之间的距离 d|73|9162. 考点 1 两条直线的位置关系 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 1.设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 当 a1 时，显然 l1l2， 若 l1l2，则 a(a1)210， 所以 a1 或 a2. 所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件 2若直线 l1：(a1)xy10 和直线 l2：3xay20 垂直，则实数 a的值为( ) 4 A.12 B.32 C.14 D.34 D 由已知得 3(a1)a0，解得 a34. 3已知三条直线 l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为( ) A.43，23 B.43，23 C.43，23，43 D.43，23，23 D 三条直线不能构成一个三角形， 当 l1l3时，m23； 当 l2l3时，m43； 当 l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形， 由2x3y10，4x3y50，得交点为1，13，代入 mxy10，得 m23.故选 D. 直接运用“直线 A1xB1yC10，A2xB2yC20 平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论 考点 2 两条直线的交点与距离问题 (1)求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 (2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等 (1)求经过两条直线 l1：xy40 和 l2：xy20 的交点，且与直线 2xy10 垂直的直线方程为_ (2)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等，则直线5 l 的方程为_ (1)x2y70 (2)x3y50 或 x1 (1)由xy40，xy20，得x1，y3，l1与 l2的交点坐标为(1，3) 设与直线 2xy10 垂直的直线方程为 x2yc0， 则 123c0，c7. 所求直线方程为 x2y70. (2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20. 由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即|3k1|3k3|， k13， 直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 1.直线系方程的常见类型 (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包括直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是： AxBy0( 是参数且 C)； (3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：BxAy0( 是参数)； (4)过两条已知直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括 l2) 2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算 教师备选例题 1已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70，2x6 7y140，求边 2x7y140 上的高所在的直线方程 解 设所求高所在的直线方程为 2xy4(xy7)0，即(2)x(1)y(47)0， 可得(2)2(1)(7)0，解得 115， 所以所求高所在的直线方程为 7x2y190. 2求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点，且和 A(3，1)，B(5，7)等距离的直线方程 解 设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点 A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 |（27）（3）（721）14|（27）2（721）2 |（27）5（721）74|（27）2（721）2， 整理可得|433|11355|，解得 2935或 13， 所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1. 1.当 0k12时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B 由kxyk1，kyx2k得xkk1，y2k1k1. 又0k12，xkk10，故直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在第二象限 2 若 P， Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点， 则|PQ|的最小值为( ) 7 A.95 B.185 C.2910 D.295 C 因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y240， 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|245|62822910，所以|PQ|的最小值为2910. 考点 3 对称问题 中心对称问题 中心对称问题的解法 (1)点关于点： 点 P(x， y)关于点 Q(a， b)的对称点 P(x， y)满足x2ax，y2by. (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ x4y40 设 l1与 l 的交点为 A(a，82a)，则由题意知，点 A 关于点 P的对称点 B(a，2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4，0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40. 点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解 若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2，1)对称，则直线 l2恒过定点( ) A(0，4) B(0，2) C(2，4) D(4，2) B 直线 l1： yk(x4)恒过定点(4， 0)， 其关于点(2， 1)对称的点为(0， 2) 又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2，1)对称，故直线 l2恒过定点(0，2) 轴对称问题 轴对称问题的解法 8 (1)点关于线：点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)， 则有nbmaAB1，Aam2Bbn2C0. (2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 (1)已知直线 y2x 是ABC 中角 C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为( ) A(2，4) B(2，4) C(2，4) D(2，4) (2)已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_ (1)C (2)6xy60 (1)设 A(4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y2224x2， 解得x4，y2，BC 所在直线方程为 y12143(x3)，即 3xy100.联立3xy100，y2x，解得x2，y4，则 C(2，4) (2)设点 M(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M， 所以b4a（3） 11，3a2b4230，解得 a1，b0.即 M (1，0) 又反射光线经过点 N(2，6)， 所以所求直线的方程为y060 x121， 即 6xy60. 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一9 个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解 1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则 mn_ 345 由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3n227m23，n3m712， 解得m35，n315，故 mn345. 2已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标； (2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程； (3)直线 l 关于点 A 对称的直线 l的方程 解 (1)设 A(x，y)， 则y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y413，即 A3313，413. (2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上 设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231， 解得a613，b3013，即 M613，3013. 设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4，3) 又 m经过点 N(4，3)， 10 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. (3)法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 P(1，1)，N(4，3)，则 P，N关于点 A 的对称点 P，N均在直线 l上 易知 P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90. 法二：设 Q(x，y)为 l上任意一点， 则 Q(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 Q(2x，4y)， Q在直线 l 上，2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90.