2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　正弦定理和余弦定理.doc

第 6 讲 正弦定理和余弦定理 一、知识梳理 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R (R 为ABC 外接圆半径) a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； (2)abcsin_Asin_Bsin_C； (3)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab2c2a22bc； cos Bc2a2b22ca； cos Ca2b2c22ab 2.ABC 的面积公式 (1)SABC12a h(h 表示边 a 上的高) (2)SABC12absin C12acsin B12bcsin A (3)SABC12r(abc)(r 为内切圆半径). 3三角形解的判断 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin Aab 解的个数 一解 两解 一解 一解 注意 上表中 A 为锐角时，absin A，无解 A 为钝角或直角时，ab，ab 均无解 常用结论 1三角形内角和定理 在ABC 中，ABC； 变形：AB22C2. 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C (2)cos(AB)cos C (3)sinAB2cos C2. (4)cosAB2sin C2. 3三角形中的射影定理 在ABC 中，abcos Cccos B； bacos Cccos A； cbcos Aacos B 二、教材衍化 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 cbcos A，则ABC 为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 答案：A 2在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC( ) A6 B3 C23 D56 解析：选 C因为在ABC 中，设 ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得 cosBACb2c2a22bc925493012， 因为BAC 为ABC 的内角， 所以BAC23.故选 C 3在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_ 解析：设ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，由题意及余弦定理得 cos Ab2c2a22bcc2161224c12，解得 c2.所以 S12bcsin A1242sin 602 3. 答案：2 3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( ) (2)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB( ) (3)在ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素( ) 答案：(1) (2) (3) 二、易错纠偏 常见误区| (1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根； (2)不会灵活运用正弦、余弦定理 1ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C60，b 6，c3，则 A_ 解析： 由题意：bsin Bcsin C， 即 sin Bbsin Cc632322， 结合 bc 可得 B45，则 A180BC75. 答案：75 2设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，3sin A2sin B，则 c_ 解析：由 3sin A2sin B 及正弦定理，得 3a2b，所以 b32a3. 由余弦定理 cos Ca2b2c22ab， 得142232c2223，解得 c4. 答案：4 考点一 利用正、余弦定理解三角形(基础型) 复习指导| 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题 核心素养：数学运算 (1)(2019 高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asin Absin B4csin C，cos A14，则bc( ) A6 B5 C4 D3 (2)(2020 济南市学习质量评估)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2ca2bcos A 求角 B 的大小； 若 a5，c3，边 AC 的中点为 D，求 BD 的长 【解】 (1)选 A由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos Ab2c2a22bc3c22bc14，得bc6.故选 A (2)由 2ca2bcos A 及正弦定理， 得 2sin Csin A2sin Bcos A， 又 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B， 所以 2sin Acos Bsin A0， 因为 sin A0，所以 cos B12， 因为 0B，所以 B23. 由余弦定理得 b2a2c22a ccosABC52325349，所以 b7，所以 AD72. 因为 cosBACb2c2a22bc499252731114， 所以 BD2AB2AD22 AB ADcosBAC949423721114194， 所以 BD192. (1)正、余弦定理的选用 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角； 利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的 (2)三角形解的个数的判断 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 1(一题多解)(2020 广西五市联考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，b 3，A30，B 为锐角，那么 ABC 为( ) A113 B123 C132 D141 解析：选 B法一：由正弦定理asin Absin B， 得 sin Bbsin Aa32. 因为 B 为锐角，所以 B60， 则 C90，故 ABC123，选 B 法二：由 a2b2c22bccos A， 得 c23c20， 解得 c1 或 c2. 当 c1 时，ABC 为等腰三角形，B120，与已知矛盾， 当 c2 时，abc，则 ABc2，则ABC 中角 C 为锐角； 若 a2b2c2，则ABC 为以 C 为钝角的钝角三角形 4若(a2b2)(a2b2c2)0，则ABC 为等腰三角形或直角三角形； 5若 ab 且 a2b2c2，则ABC 为等腰直角三角形； 6若 sin 2Asin 2B，即 AB 或 AB2，则ABC 为等腰三角形或直角三角形 (1)(一题多解)设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定 (2)在ABC 中，若 cacos B(2ab)cos A，则ABC 的形状为_ 【解析】 (1)法一：因为 bcos Cccos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22aa，所以asin Aa 即 sin A1，故 A2，因此ABC 是直角三角形 法二：因为 bcos Cccos Basin A， 所以 sin Bcos Csin Ccos Bsin2 A， 即 sin(BC)sin2 A，所以 sin Asin2 A， 故 sin A1，即 A2，因此ABC 是直角三角形 (2)因为 cacos B(2ab)cos A，所以由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， 所以 sin(AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， 故 cos A(sin Bsin A)0， 所以 cos A0 或 sin Asin B， 即 A2或 AB， 故ABC 为等腰或直角三角形 【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形 【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos Bsin C” ，试判断ABC 的形状 解：法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB0， 所以 cos C12，又 C(0，)所以 C3. 由余弦定理得 c2a2b22abcos C a2b2abab. 所以 SABC12absin C12c23234c2. 当且仅当 ab 时，取等号 由题意得34c23 38.所以 c62.此时，abc62. 若选，b 2sin B 由余弦定理得 b2a2c22accos B 2sin2 Ba2c22accos B2ac(1cos B)， 所以 acsin2 B1cos B1cos B所以 SABC12acsin B12 (1cos B)sin B当且仅当 ac 时取等号 由题意得12()1cos B sin B3 38. (1cos B)sin B3 340 令 f(B)sin Bsin Bcos B3 34，B(0，) f(B)cos Bcos2 Bsin2B2cos2 Bcos B1 (cos B1)(2cos B1)， f(B)0 时，B3. f(B)0 时，3B0 时，0B3. 即 f(B)sin Bsin Bcos B3 34在0，3上单调递增 在3， 上单调递减，所以 f(B)maxf30. 即 f(B)仅有一个零点 B3. 即方程(1cos B)sin B3 340，有 B3. 所以 b 2sin 362，ac1cos 362. 若选，c62. 由余弦定理得 c2a2b22abcos C 所以322ab(1cos C)所以 ab34（1cos C）. 当且仅当 ab 时取等号，SABC12absin C3sin C8（1cos C）. 由题意得，3sin C8（1cos C）3 38. 即 sin C 3cos C 3.所以 sin C332， 由于3C343. 所以 C323.所以 C3. 所以 ab341cos 362. 已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 注意 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用 1(2020 济南市模拟考试)在ABC 中，AC 5，BC 10，cos A2 55，则ABC的面积为( ) A52 B5 C10 D102 解析：选 A由 AC 5，BC 10，BC2AB2AC22AC ABcos A，得 AB24AB50，解得 AB5，而 sin A 1cos2A55，故 SABC125 55552.选 A 2(2020 长沙市统一模拟考试)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asin(AB)csinBC2. (1)求 A； (2)若ABC 的面积为 3，周长为 8，求 a. 解：(1)由题设得 asin CccosA2， 由正弦定理得 sin Asin Csin CcosA2， 所以 sin Acos A2， 所以 2sinA2cosA2cosA2，所以 sinA212， 所以 A60. (2)由题设得12bcsin A 3，从而 bc4. 由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 a2(bc)212. 又 abc8，所以 a2(8a)212，解得 a134. 基础题组练 1设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos A32且bc，则 b( ) A3 B2 2 C2 D 3 解析：选 C由余弦定理 b2c22bccos Aa2，得 b26b80，解得 b2 或 b4，因为 bB，则 sin Asin B B在锐角三角形 ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立 C在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形 D在ABC 中，若 B60，b2ac，则ABC 必是等边三角形 解析：选 ABD对于 A，在ABC 中，由正弦定理可得asin Absin B，所以 sin Asin BabAB， 故 A 正确； 对于 B， 在锐角三角形 ABC 中， A， B0，2， 且 AB2， 则2A2B0，所以 sin Asin2B cos B，故 B 正确；对于 C，在ABC 中，由 acos Abcos B，利用正弦定理可得sin 2Asin 2B， 得到2A2B或2A2B， 故AB或A2B， 即ABC是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；对于 D，在ABC 中，若 B60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos B，所以 aca2c2ac，即(ac)20，解得 ac.又 B60，所以ABC 必是等边三角形，故 D 正确故选 ABD 6在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acos Bcb20，a272bc，bc，则bc_ 解析：由 acos Bcb20 及正弦定理可得 sin AcosBsin Csin B20.因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin B2cos Asin B0，所以 cos A12，即 A23.由余弦定理得 a272bcb2c2bc，即 2b25bc2c20，又 bc，所以bc2. 答案：2 7 (2020 河南期末改编)在ABC 中， B3， AC 3， 且 cos2Ccos2Asin2B 2sin Bsin C，则 C_，BC_ 解析：由 cos2Ccos2Asin2B 2sin Bsin C，可得 1sin2C(1sin2A)sin2B2sin Bsin C，即 sin2Asin2Csin2B 2sin Bsin C结合正弦定理得 BC2AB2AC2 2 AC AB，所以 cos A22，A4，则 CAB512.由ACsin BBCsin A，解得 BC 2. 答案：512 2 8(2020 兰州模拟)已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asin Bbcos A0. (1)求角 A 的大小； (2)若 a2 5，b2，求边 c 的长 解：(1)因为 asin Bbcos A0， 所以 sin Asin Bsin Bcos A0， 即 sin B(sin Acos A)0， 由于 B 为三角形的内角， 所以 sin Acos A0， 所以 2sinA40，而 A 为三角形的内角， 所以 A34. (2)在ABC 中，a2c2b22cbcos A，即 20c244c22，解得 c4 2(舍去)或 c2 2. 9(2020 福建五校第二次联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 3acos C(2b 3c)cos A (1)求角 A 的大小； (2)若 a2，求ABC 面积的最大值 解：(1)由正弦定理可得， 3sin Acos C2sin Bcos A 3sin Ccos A， 从而 3sin(AC)2sin Bcos A， 即 3sin B2sin Bcos A 又 B 为三角形的内角，所以 sin B0，于是 cos A32， 又 A 为三角形的内角，所以 A6. (2)由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 4b2c22bc322bc 3bc， 所以 bc4(2 3)，所以 SABC12bcsin A2 3，故ABC 面积的最大值为 2 3. 综合题组练 1(2020 长春市质量监测(一)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若bacos C12c，则角 A 等于( ) A60 B120 C45 D135 解析：选 A法一：由 bacos C12c 及正弦定理，可得 sin Bsin Acos C12sin C，即sin(AC)sin Acos C12sin C， 即 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C12sin C， 所以 cos Asin C12sin C，又在ABC 中，sin C0，所以 cos A12，所以 A60，故选 A 法二：由 bacos C12c 及余弦定理，可得 bab2a2c22ab12c，即 2b2b2a2c2bc，整理得 b2c2a2bc，于是 cos Ab2c2a22bc12，所以 A60，故选 A 2(2020 福建漳州二模)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3acos Abcos Cccos B，bc3，则 a 的最小值为( ) A1 B 3 C2 D3 解析：选 B在ABC 中，因为 3acos Abcos Cccos B， 所以 3sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A， 即 3sin Acos Asin A，又 A(0，)，所以 sin A0，所以 cos A13. 因为 bc3，所以两边平方可得 b2c22bc9，由 b2c22bc，可得 92bc2bc4bc，解得 bc94，当且仅当 bc 时等号成立，所以由 a2b2c22bccos A，可得 a2b2c223bc(bc)28bc3983943，当且仅当 bc 时等号成立，所以 a 的最小值为 3.故选 B 3(2020 湖北恩施 2 月质检)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos B13，b4，SABC4 2，则ABC 的周长为_ 解析：由 cos B13，得 sin B2 23，由三角形面积公式可得12acsin B12ac2 234 2， 则 ac12，由 b2a2c22accos B，可得 16a2c221213，则 a2c224，联立可得 ac2 3，所以ABC 的周长为 4 34. 答案：4 34 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，asin Absin Bcsin Csin Bsin C2 33a，a2 3.若 b1，3，则 c 的最小值为_ 解析：由asin Absin Bcsin Csin Bsin C2 33a，得a2b2c22ab33sin C由余弦定理可知 cos Ca2b2c22ab，即 3cos C 3sin C，所以 tan C 3，故 cos C12，所以 c2b22 3b12(b 3)29，因为 b1，3，所以当 b 3时，c 取最小值3. 答案：3 5(综合型)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，53ca cos Bbcos A (1)求 cos B 的值； (2)若 a2，cos C1717，求ABC 外接圆的半径 R. 解：(1)因为53ca cos Bbcos A， 所以结合正弦定理，得53sin Csin A cos Bsin Bcos A， 所以53sin Ccos Bsin(AB)sin C又因为 sin C0，所以 cos B35. (2)由(1)知，sin B 1cos2B45. 因为 cos C1717， 所以 sin C 1cos2C4 1717， 所以 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C451717354 17178 1785， 所以 R12asin A1228 17855 178. 6(2020 重庆市学业质量调研)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为32accos B，且 sin A3sin C (1)求角 B 的大小； (2)若 c2，AC 的中点为 D，求 BD 的长 解：(1)因为 SABC12acsin B32accos B， 所以 tan B 3. 又 0B，所以 B3. (2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，所以 a6. 由余弦定理得，b26222226cos 6028，所以 b2 7. 所以 cos Ab2c2a22bc（2 7）22262222 7714. 因为 D 是 AC 的中点，所以 AD 7. 所以 BD2AB2AD22AB ADcos A22( 7)222 771413. 所以 BD 13.