2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、知识梳理 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2xcos2x1 (2)商数关系：tan xsin xcos x其中xk2，kZ . 2三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_ tan_ tan_ 常用结论 1诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 2同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin21cos2(1cos )(1cos )； cos21sin2(1sin )(1sin )； (sin cos )21 2sin cos . (2)sin tan cos 2k，kZ . (3)sin2sin2sin2cos2tan2tan21； cos2cos2sin2cos21tan21. 二、教材衍化 1若 sin 55，2，则 tan _ 解析：因为20，cos 0， 将其代入 sin2cos21，得109cos21， 所以 cos 3 1010，sin 1010， 故 sin cos 105. 【答案】 (1)D (2)105 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的 角度二 sin ，cos 的齐次式问题 已知tan tan 11，求下列各式的值： (1)sin 3cos sin cos ； (2)sin2sin cos 2. 【解】 由已知得 tan 12. (1)sin 3cos sin cos tan 3tan 153. (2)sin2sin cos 2sin2sin cos sin2cos22tan2tan tan2121221212212135. 关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式或齐二次 整式的化简求值的解题策略 已知 tan ，求关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式或齐二次整式的值 角度三 sin cos ，sin cos 之间的关系 已知 (，0)，sin cos 15. (1)求 sin cos 的值； (2)求sin 22sin21tan 的值 【解】 (1)由 sin cos 15， 平方得 sin22sin cos cos2125， 整理得 2sin cos 2425. 所以(sin cos )212sin cos 4925. 由 (，0)，知 sin 0， 所以 cos 0，则 sin cos 0， 故 sin cos 75. (2)sin 22sin21tan 2sin （cos sin ）1sin cos 2sin cos （cos sin ）cos sin 2425157524175. sin cos 与 sin cos 关系的应用技巧 (1)通过平方，sin cos ，sin cos ，sin cos 之间可建立联系，若令 sin cos t，则 sin cos t212，sin cos 2t2(注意根据 的范围选取正、负号) (2)对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，可以知一求二 1(2020 长春模拟)已知 sin cos 18，且5432，则 cos sin 的值为( ) A32 B32 C34 D34 解析：选 B因为5432，所以 cos 0，sin 0 且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 121834，所以 cos sin 32.故选 B 2若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为_ 解析：3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103. 答案：103 3已知 为第四象限角，sin 3cos 1，则 tan _ 解析：由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin cos 8cos2，又因为 为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 43. 答案：43 考点二 诱导公式的应用(基础型) 复习指导| 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式2、的正弦、余弦、正切 . 核心素养：数学运算 (1)sin(1 200)cos 1 290_ (2)已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 3xy0 上，则sin32 2cos（）sin2 sin（）等于_ 【解析】 (1)原式sin 1 200cos 1 290 sin(3360120)cos(3360210) sin 120cos 210 sin(18060)cos(18030) sin 60cos 30323234. (2)由题可知 tan 3，原式cos 2cos cos sin 31tan 32. 【答案】 (1)34 (2)32 【迁移探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos2 sin（）cos112 sin92_ 解析：由题可知 tan 3， 原式sin sin（）cos62 sin42 sin sin cos2 sin2 2sin sin cos 2tan tan 123313. 答案：3 (1)诱导公式用法的一般思路 化负为正，化大为小，化到锐角为止； 角中含有加减2的整数倍时，用公式去掉2的整数倍 (2)常见的互余和互补的角 常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4 等； 常见的互补的角：3 与23；4 与34 等 1(2020 江西临川第一中学等九校 3 月联考)已知 (0，)，且 cos 1517，则sin2 tan()( ) A1517 B1517 C817 D817 解析：选 Dsin2 tan()cos tan sin ，因为 (0，)，且 cos 1517，所以 sin 1cos2 115172817，即 sin2 tan()817.故选 D 2(2020 江西上饶模拟)已知 sin1213，则 cos1712的值等于_ 解析：由 sin1213， 得 cos1712cos3212sin1213. 答案：13 考点三 基本关系式与诱导公式的综合应用(综合型) 复习指导| 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形 (1)(2020 聊城模拟)已知 为锐角，且 2tan()3cos2 50，tan()6sin()10，则 sin 的值是( ) A3 55 B3 77 C3 1010 D13 (2)已知 是第三象限角，且 f() sin（）cos（5）tan（2）cos2 tan（）. 化简 f()； 若 tan()2，求 f()的值； 若 420，求 f()的值 【解】 (1)选 C由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得 tan 3，又 为锐角，故 sin 3 1010. (2)由题可得， f()sin（）cos（5）tan（2）cos2 tan（） sin （cos ）（tan ）sin （tan ）cos . 因为 tan()2，所以 tan 2. 所以 sin 2cos . 所以(2cos )2cos21.所以 cos215. 因为 是第三象限角，所以 cos 55， 所以 f()55. 因为 cos (420)cos 420cos 6012， 所以 f()cos 12. 求解诱导公式与同角关系综合问题的 基本思路和化简要求 基本思路 分析结构特点，选择恰当公式； 利用公式化成单角三角函数； 整理得最简形式 化简要求 化简过程是恒等变换； 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 1 (2020 江西吉安期末)已知 tan(2 019)2， 则 2 2sin6sin4( ) A2 B2 315 C2 335 D35 解析：选 B因为 tan(2 019)2， 所以 tan 2. 则 2 2sin6sin4 ( 3sin cos )(sin cos ) 3sin2cos2( 31)sin cos 3sin2cos2（ 31）sin cos sin2cos2 3tan21（ 31）tan tan2 1 4 312（ 31）41 2 315.故选 B 2已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 019)的值为_ 解析：因为 f(x)asin(x)bcos(x)， 所以 f(4)asin(4)bcos(4) asin bcos 3， 所以 f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019) asin()bcos() asin bcos 3. 答案：3 基础题组练 1计算：sin 116cos 103( ) A1 B1 C0 D1232 解析： 选 A 原式sin26cos33sin 6cos312cos 312121. 2(多选)(2021 预测)若角 A，B，C 是ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) Acos(AB)cos C Bsin(AB)sin C CcosAC2sinB2 DsinBC2cosA2 解析：选 CD因为 ABC，所以 ABC，AC2B2，BC2A2，所以 cos(AB)cos(C)cos C， sin(AB)sin(C)sin C， cosAC2cos2B2sin B2，sinBC2sin2A2cosA2. 3已知 sin() 3cos(2)，|2，则 等于( ) A6 B3 C6 D3 解析：选 D因为 sin() 3cos(2)， 所以sin 3cos ， 所以 tan 3，因为|2，所以 3. 4已知 f()sin（2）cos2cos2 tan（），则 f3( ) A12 B22 C32 D12 解析： 选 A f()sin（2）cos2cos2 tan（）sin （sin ）sin tan sin2sin sin cos cos ，则 f3cos312. 5已知 sin cos 2，则 tan cos sin 的值为( ) A1 B2 C12 D2 解析：选 D因为 sin cos 2，所以(sin cos )22，所以 sin cos 12.所以tan cos sin sin cos cos sin 1sin cos 2.故选 D 6设 是第三象限角，tan 512，则 cos()_ 解析：因为 为第三象限角，tan 512， 所以 cos 1213， 所以 cos()cos 1213. 答案：1213 7已知 sin2 cos72 1225，且 04，则 sin _，cos _ 解析：sin2 cos72 cos (sin )sin cos 1225. 因为 04，所以 0sin cos . 又因为 sin2cos21，所以 sin 35，cos 45. 答案：35 45 8化简12sin 40cos 40cos 40 1sin250_ 解析：原式 sin240cos2402sin 40cos 40cos 40cos 50 |sin 40cos 40|sin 50sin 40 |sin 40sin 50|sin 50sin 40 sin 50sin 40sin 50sin 40 1. 答案：1 9已知 为第三象限角， f()sin（2） cos（32） tan（）tan（） sin（）. (1)化简 f()； (2)若 cos(32)15，求 f()的值 解：(1)f()sin（2） cos（32） tan（）tan（） sin（） （cos ） sin （tan ）（tan ） sin cos . (2)因为 cos(32)15， 所以sin 15， 从而 sin 15. 又 为第三象限角， 所以 cos 1sin22 65， 所以 f()cos 2 65. 10是否存在 2，2，()0， 使等式 sin(3) 2cos2 ， 3cos() 2cos()同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 解：假设存在角 ， 满足条件 由已知条件可得sin 2sin ，3cos 2cos ， 由22，得 sin23cos22. 所以 sin212，所以 sin 22. 因为 2，2，所以 4. 当 4时，由式知 cos 32， 又 (0，)，所以 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos 32，又 (0，)， 所以 6，此时式不成立，故舍去 所以存在 4，6满足条件 综合题组练 1已知 为直线 y3x5 的倾斜角，若 A(cos ，sin )，B(2cos sin ，5cos sin )，则直线 AB 的斜率为( ) A3 B4 C13 D14 解析：选 D由题意知 tan 3，kAB5cos sin sin 2cos sin cos 52tan 1tan 14.故选 D 2Asin ，cos ，1，Bsin2，sin cos ，0，且 AB，则 sin2 019cos2 018( ) A0 B1 C1 D1 解析：选 C当 sin 0 时，sin20，此时集合 B 中不符合集合元素的互异性，故舍去；当 cos 0 时，Asin ，0，1，Bsin2，sin ，0，此时 sin21，得 sin 1，所以 sin2 019cos2 0181. 3若|sin |cos |2 33，则 sin4cos4_ 解析：|sin |cos |2 33，两边平方得，1|sin 2|43，所以|sin 2|13，所以 sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212sin2cos2112sin2 21121321718. 答案：1718 4若 kZ 时，sin（k） cos（k）sin（k1） cos（k1）的值为_ 解析：当 k 为奇数时， sin（k） cos（k）sin（k1） cos（k1） sin （cos ）sin cos 1； 当 k 为偶数时， sin（k） cos（k）sin（k1） cos（k1） sin cos sin （cos ）1. 答案：1 5已知关于 x 的方程 2x2( 31)xm0 的两根分别是 sin 和 cos ，(0，2)，求： (1)sin2sin cos cos 1tan 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时 的值 解：(1)原式sin2sin cos cos 1sin cos sin2sin cos cos2cos sin sin2cos2sin cos sin cos . 由条件知 sin cos 312， 故sin2sin cos cos 1tan 312. (2)由已知，得 sin cos 312， sin cos m2， 又 12sin cos (sin cos )2，可得 m32. (3)由sin cos 312，sin cos 34， 得sin 32，cos 12或sin 12，cos 32. 又 (0，2)，故 3或 6. 6在ABC 中， (1)求证：cos2AB2cos2 C21； (2)若 cos2A sin32B tan(C)0， 求证：ABC 为钝角三角形 证明：(1)在ABC 中，ABC， 所以AB22C2， 所以 cosAB2cos2C2sin C2， 所以 cos2A B2cos2C21. (2)若 cos2A sin32B tan(C)0， 所以(sin A)(cos B)tan C0， 即 sin Acos Btan C0. 因为在ABC 中，0A，0B，0C 且 sin A0， 所以cos B0，tan C0或cos B0，tan C0， 所以 B 为钝角或 C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形