北师大版高中数学必修五全册教案教学设计.doc

数 学 学 案 集 （必修五） 年级高一学科数学课题数列的概念与简单表示法授课时间2012年撰写人学习重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.学习难点根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.学 习 目 标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 教 学 过 程一 自 主 学 习 数列的定义： 的一列数叫做数列. 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思： 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项. 4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：所有数列都能写出其通项公式？一个数列的通项公式是唯一？数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 二 师 生 互动例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1，； 1， 0， 1， 0.（3），；（4） 1， 1， 1， 1；例2已知数列2，2，的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项. 变式：已知数列，则5是它的第 项.练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1， ， ； 1，2 .练2. 写出数列的第20项，第n1项. 三 巩 固 练 习1. 下列说法正确的是（ ）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）.A. 380 B. 392 C. 321 D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.4.数列的第4项是 . 5. 写出数列，的一个通项公式 . 6. 已知数列，则数列是（ ）.A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列7. 数列中，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3 B. 13 C. 13 D. 128 数列满足，（n1），则该数列的通项（ ）. A. B. C. D. 四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习（1）写出数列，的一个通项公式为 . （2）已知数列， 那么3是这个数列的第 项.3. 数列中，0，(2n1) (nN)，写出前五项，并归纳出通项公式. 4、已知数列满足， （），则（ ）.A0 B. C. D. 5. 数列满足，写出前5项，并猜想通项公式.年级高一学科数学课题等差数列（1）授课时间撰写人学习重点等差数列的概念学习难点能运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数学 习 目 标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.教 学 过 程一 自 主 学 习1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A= 若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得： ，即： ， 即： ，即： 由此归纳等差数列的通项公式可得： 已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项. 二 师 生 互动例1 求等差数列8，5，2的第20项； 401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？例2 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？练1. 等差数列1，3，7，11，求它的通项公式和第20项. 练2.在等差数列的首项是， 求数列的首项与公差. 三 巩 固 练 习1. 等差数列1，1，3，89的项数是（ ）.A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列的通项公式，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B .5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a ，b .6、已知，d3，n10，求；四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1、已知，d2，求n；2、已知，求d；3、已知d，求.年级高一学科数学课题等差数列授课时间撰写人学习重点等差数列性质学习难点等差数列性质应用学 习 目 标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教 学 过 程一 自 主 学 习1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？2. 在等差数列中，为公差，若且，则，有何关系二 师 生 互动例1 在等差数列中，已知，求首项与公差.变式：在等差数列中， 若，求公差d及.例2、在等差数列中，求和.变式：在等差数列中，已知，且，求公差d.练2. 在等差数列中，求的值. 三 巩 固 练 习1. 一个等差数列中，则（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列中，则的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列中，是方程，则（ ）. A. 3 B. 5 C. 3 D. 54. 等差数列中，则公差d .5. 若48，a，b，c，12是等差数列中连续五项，则a ，b ，c .四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 若 ， ， 求.2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数. 年级高一学科数学课题等差数列的前n项和授课时间撰写人学习重点等差数列前n项和公式学习难点等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.学 习 目 标1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.教 学 过 程一 自 主 学 习数列的前n项的和：一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和. .1. 用，必须具备三个条件： .2. 用，必须已知三个条件： .二 师 生 互动例1 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？等差数列中，已知，求n. 等差数列中， 15， 公差d3，求.三 巩 固 练 习1. 在等差数列中，那么（ ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A5880B5684C4877D45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列中，则 .5. 在等差数列中，则 .6. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. B. C. D. 7. 等差数列中，已知，那么（ ）.A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 8. 等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1709. 在等差数列中，公差d，则 .四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 数列是等差数列，公差为3，11，前和14，求和.2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？3等差数列，该数列前多少项的和最小？4已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 年级高一学科数学课题等比数列授课时间撰写人学习重点理解等比数列的概念学习难点掌握等比数列的通项公式。 学 习 目 标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系教 学 过 程一 自 主 学 习1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q0），即：= （q0）2. 等比数列的通项公式： ； ； ； 等式成立的条件 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= （a，b同号）.在等比数列中，是否成立呢？2.是否成立？你据此能得到什么结论？新课标第一网3.是否成立？你又能得到什么结论？二 师 生 互动例1 （1） 一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 例2 已知数列中，lg ，试用定义证明数列是等比数列.练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）. A. B. C. D. 例3在等比数列中，已知，且，公比为整数，求.三 巩 固 练 习1. 在为等比数列中，那么（ ）. A. ±4 B. 4 C. 2 D. 82. 若9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2(a2a1)（ ）.A8 B8 C±8 D3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，（ ）A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列中，则log3+ log3+ log3 .6. 在为等比数列，则（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 727. 等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 已知数列a，a（1a），是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）.A. a1 B. a0且a1四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习在等比数列中， ，q3，求； ，求和q； ，求； ，求.9. 在为等比数列中，求的值.10. 已知等差数列的公差d0，且，成等比数列，求.年级高一学科数学课题等比数列的前n项和授课时间撰写人学习重点等比数列的前n项和公式学习难点能用等比数列的前n项和公式解决实际问题学 习 目 标1. 掌握等比数列的前n项和公式；2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.3、探索并掌握等比数列的前n项和的公式；结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量；在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有关知识解决相应问题。教 学 过 程一 自 主 学 习1则 当时， 或 当q=1时， 公式的推导方法二：由等比数列的定义，有，即 .2、求等比数列，的前8项的和二 师 生 互动例1已知a1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和.变式：，. 求此等比数列的前5项和.例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，求证：，也成等比.1在等比数列中，已知，求.2. 等比数列中，已知三 巩 固 练 习1. 数列1，的前n项和为（ ）.A. B. C. D. 以上都不对2. 等比数列中，已知，则（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设是由正数组成的等比数列，公比为2，且，那么（ ）. A. B. C. 1 D. 4. 等比数列的各项都是正数，若，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n项和，则a .6在等比数列中，求.四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1等比数列中，求.2. 设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和年级高一学科数学课题数列（复习）授课时间撰写人学习重点数列的有关概念和公式学习难点数列的通项公式与前n项和公式的关系；学 习 目 标1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式与前n项和公式的关系；3. 能通过前n项和公式求出数列的通项公式. 教 学 过 程一 自 主 学 习数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义新 课 标 第 一 网(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法二 师 生 互动1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，a、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3 求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如.例1在数列中，1，2时，、成等比数列.（1）求； （2）求数列的通项公式.等差数列的首项为公差为；等差数列的首项为公差为. 如果，且 求数列的通项公式.例2已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项w w w .x k b 1.c o m（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n，均有，求c1c2c3c2004的值三 巩 固 练 习1. 集合的元素个数是（ ）. A. 59 B. 31 C. 30 D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（）.A648B832C1168D19443. 设数列是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1 B. 2 C. 4 D. 84. 已知等差数列的前项和为，则使得最大的序号的值为 .5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是 四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第行最右边的数是， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 年级高一学科数学课题正弦定理授课时间撰写人学习重点正弦定理学习难点正弦定理的探索和证明及其基本应用学 习 目 标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题教 学 过 程一 自 主 学 习（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；（2）等价于 ，（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； 二 师 生 互动例1. 在中，已知，cm，解三角形变式：在中，已知，cm，解三角形例2. 在变式：在三 巩 固 练 习1. 在中，若，则是（ ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC中，ABC114，则abc等于（ ）.A114 B112 C11 D223. 在ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 、的大小关系不能确定4. 已知ABC中，则= 5. 已知ABC中，A，则= 四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 已知ABC中，AB6，A30°，B，解此三角形2. 已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，求实数k的取值范围为年级高一学科数学课题余弦定理授课时间撰写人学习重点余弦定理学习难点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用、证明余弦定理的向量方法；学 习 目 标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问教 学 过 程一 自 主 学 习1、在ABC中，已知，A=45°，C=30°，解此三角形问题：在中，、的长分别为、. ，余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍（1）ABC中，求（2）ABC中，求二 师 生 互动例1. 在ABC中，已知，求和例2. 在ABC中，已知三边长，求三角形的最大内角练、在ABC中，若，求角A三 巩 固 练 习1. 已知a，c2，B150°，则边b的长为（ ）. A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A B C D3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.A Bx5C 2x Dx54. 在ABC中，|3，|2，与的夹角为60°，则|_5. 在ABC中，已知三边a、b、c满足，则C等于 X k b 1 . c o m四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 在ABC中，已知a7，b8，cosC，求最大角的余弦值2. 在ABC中，AB5，BC7，AC8，求的值.年级高一学科数学课题三角形中的几何计算授课时间撰写人学习重点应用正弦、余弦定理学习难点正弦、余弦定理在解三角形中的应用学 习 目 标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题教 学 过 程一 自 主 学 习复习1：在ABC中，C60°，ab，c2，则A为 . 复习2：在ABC中，sinA，判断三角形的形状.二 师 生 互动例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60°，ACD=30°，CDB=45°，BDA =60°.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三 巩 固 练 习PA C1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）. A5cmBCD6cm2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时3. 在中，已知，则的形状（ ）.A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形4.在中，已知，则的值是 5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习 课后作业 1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？年级高一学科数学课题解三角形（复习）授课时间撰写人学习重点正弦定理、余弦定理学习难点能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学 习 目 标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。教 学 过 程一 自 主 学 习复习1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：知两角及一边解三角形；知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）（2）用余弦定理：知三边求三角；知道两边及这两边的夹角解三角形复习2：应用举例 距离问题，高度问题， 角度问题，计算问题练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为_ 知识拓展1.设在中，已知三边，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是2.在三角形ABC中，则三角形ABC的面积为二 师 生 互动例1. 在中，且最长边为1，求角C的大小及ABC最短边的长北2010ABC例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？例3. 在ABC中，设 求A的值三 巩 固 练 习1. 已知ABC中，AB6，A30°，B，则ABC的面积为（ ）.A9 B18 C9D182.在ABC中，若，则C=（ ）. A 60° B 90° C150° D120°3. 在ABC中，A=30°，则B的解的个数是（ ）.A0个 B1个 C2个 D不确定的4. 在ABC中，则_5. 在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若，则A=_ _.6. 在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3， ABC的面积为6， （1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离北2. 已知、为的三内角，且其对边分别为、，若（1）求；（2）若，求的面积年级高一学科数学课题不等关系（1）授课时间撰写人学习重点通过具体情景，建立不等式模型学习难点掌握作差比较法判断两实数或代数式大小学 习 目 标（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；教 学 过 程一 自 主 学 习(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.二 师 生 互动例1比较大小：（1）与；（2）与（其中，）例2已知比较与的大小2练习：（1）比较 的大小；（2）如果,比较 的大小说明： 1比较大小的步骤：作差变形定号结论；2实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号三 巩 固 练 习1. 下列不等式中不成立的是（ ）.A B C D2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元 （ ）.A B C D3. 已知，那么的大小关系是（ ）.A BC D4.某校学生以面粉和大米为主食已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件5.比较与的大小.四 课 后 反 思五 课 后 巩 固 练 习1比较与的大小；2已知且，比较与的大小年级高一学科数学课题不等关系（2）授课时间撰写人学习重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；学习难