2021届高三大题优练3 曲线运动问题 教师版.docx

例1现有一根长L1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力。不计空气阻力，取g10 m/s2。(1)在小球以速度v14 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中的张力大小为多少？(2)在小球以速度v21 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间。(3)接(2)问，当小球摆到最低点时，绳子拉力的大小是多少？【解析】(1)绳子刚好无拉力时对应的临界速度满足mgm解得v临界 m/s因为v1>v临界，所以绳子有拉力且满足mgT1m解得T13 N。(2)因为v2<v临界，所以绳子无拉力，小球以v2的初速度做平抛运动，设经过时间t后绳子再次伸直，则满足方程 x2(yL)2L2其中xv2t，ygt2解得t0.6 s。(3)当t0.6 s时，可得x0.6 m，y1.8 m，小球在O点右下方位置，且O点和小球的连线与竖直方向的夹角满足tan 此时速度的水平分量与竖直分量分别为vxv21 m/s，vygt6 m/s绳伸直的一瞬间，小球的速度沿绳方向的分量突变为零，只剩下垂直于绳子方向的速度：v3vysin vxcos m/s接着小球以v3为初速度绕着O点做圆周运动摆到最低点，设在最低点速度为v，则由动能定理得mgL(1cos )mv2mv32，又Tmgm解得T N。例2跳台滑雪是冬奥会比赛项目，被称作“勇敢者的运动”，其场地的简化图如图所示。雪坡OB段为倾角30°的斜面，某运动员从助滑道的最高点A由静止开始下滑，到达起跳点O时借助设备和技巧，保持在O点的速率沿与水平方向成角的方向起跳，最后落在雪坡上的B点，起跳点O与落点B之间的距离OB为此项运动的成绩。已知A点与O点之间的高度差h50 m，该运动员可视为质点，不计一切阻力和摩擦，g10 m/s2。求：(1)该运动员在O点起跳时的速度大小；(2)该运动员以多大的起跳角起跳才能取得最佳成绩，最佳成绩为多少；(3)在(1)问中，该运动员离开雪坡的最大距离。【解析】(1)设运动员质量为m，OBL，从A到O过程机械能守恒mghmv02解得v010 m/s。(2)设运动员在O点起跳时速度v0与水平方向的夹角为，将跳时速度v0和重力加速度g沿雪坡方向和垂直雪坡方向分解，如图所示。v1v0sin(30°)，v2v0cos(30°)a1gcos 30°，a2gsin 30°设运动员从O点到B点的时间为t，运动员离开雪坡的距离为s由sv1ta1t2当s0时，得运动员从O点运动到B点的距离为L，则Lv2ta2t2整理得L所以当230°90°，即30°时成绩最佳此时Lm200 m。(3)当运动员垂直雪坡的速度为0时，运动员离开雪坡的最大距离sm，由运动学公式可知m。1如图所示，倾角为37°的斜面长L1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v03 m/s的速度水平抛出，与此同时静止释放在顶端的滑块，经过一段时间后将小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。小球和滑块均视为质点，重力加速度g10 m/s2，求：(1)小球从抛出到达斜面所用时间；(2)抛出点O离斜面底端的高度；(3)滑块与斜面间的动摩擦因数。【解析】(1)设小球击中滑块时的速度为v，竖直速度为vy，由几何关系得：v0vytan 37°设小球下落的时间为t，小球竖直方向vygt解得：t0.4 s。(3)竖直位移为y，水平位移为x，由平抛规律得：ygt2，xv0t设抛出点到斜面最低点的距离为h，由几何关系得：hyxtan 37°由以上各式得h1.7 m。(2)在时间t内，滑块的位移为s，由几何关系得：设滑块的加速度为a，由运动学公式得：xat2对滑块，由牛顿第二定律得：mgsin 37°mgcos 37°ma由以上各式得0.125。2晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小v；(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，竖直方向有：dgt2水平方向有：dvt联立解得：。(2)设绳能承受的最大拉力大小为F，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径Rd，根据牛顿第二定律有：解得。(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v，绳承受的最大拉力不变，根据牛顿第二定律有：得绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t1，根据平抛运动规律，竖直方向有：dlgt12竖直方向有：xvt1联立解得：根据一元二次方程的特点，当ld时，x有极大值，为xmaxd。3如图所示，餐桌中心是一个半径为r1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为10.6，与餐桌间的动摩擦因数为20.225，餐桌离地面的高度为h0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度的最大值为多少？(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？(3)若餐桌的半径Rr，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有：fm1Nm2r，Nmg联立两式可得2 rad/s。(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则a2g2.25 m/s2物体在餐桌上滑动的初速度v0r3 m/s由运动学公式得0v022as，可得s2 m由几何关系可得餐桌半径的最小值为R2.5 m。(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度vt，由题意可得：vt2v022as由于餐桌半径为Rr，所以sr1.5 m可得vt1.5 m/s设物体做平抛运动的时间为t，则hgt2解得t0.4 s物体做平抛运动的水平位移为sxvtt0.6 m由题意可得Lssx2.1 m。4如图所示，水平实验台A端固定，B端左右可调，将弹簧左端与实验平台固定，右端有一可视为质点，质量为2 kg的滑块紧靠弹簧（未与弹黄连接)，弹簧压缩量不同时，将滑块弹出去的速度不同。圆弧轨道固定在地面并与一段动摩擦因素为0.4的粗糙水平地面相切D点，AB段最长时，BC两点水平距离xBC0.9 m，实验平台距地面髙度h0.53 m，圆弧半径R0.4 m，37°，已知sin 37°0.6，cos 37°0.8。完成下列问題：(1)轨道末端AB段不缩短，压缩弹黄后将滑块弹出，滑块经过点速度vB3 m/s，求落到C点时速度与水平方向夹角；(2)滑块沿着圆弧轨道运动后能在DE上继续滑行2 m，求滑块在圆弧轨道上对D点的压力大小；(3)通过调整弹簧压缩量，并将AB段缩短，滑块弹出后恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，求滑块从平台飞出的初速度以及AB段缩短的距离。【解析】(1)根据题意C点到地面高度hCRRsin 37°0.08 m从B点飞出后，滑块做平抛运动，根据平抛运动规律：hhCgt2化简得t0.3 s根据xBCvBt可知vB3 m/s飞到C点时竖直方向的速度vygt3 m/s因此即落到圆弧C点时，滑块速度与水平方向夹角为45°。(2)滑块在DE阶段做匀减速直线运动，加速度大小根据vE2vD22axDE在圆弧轨道最低处解得FN100 N，即对轨道压力为100 N。(3)滑块弹出恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，说明滑块落到C点时的速度方向正好沿着轨迹该出的切线，即由于高度没变，所以vyvy3 m/s，37°因此v04 m/s对应的水平位移为xACv0t1.2 m所以缩短的AB段应该是xABxACxBC0.3 m。52022年冬奥会将在我国北京举行，其中雪车项目惊险刺激。如图甲所示为单人雪车在轨道上滑行的照片。为了让更多的人认识这项运动并加以普及和推广，有的冬季游乐场引进了此项目，并对轨道进行了改进，目的是让更多普通群众能够体验雪车项目的魅力。如图乙所示，在倾角为的斜坡上有一雪车轨道由直线AB、半圆BC、CD和四分之一圆弧DE构成，其中AB段轨道粗糙，其余轨道光滑。AB轨道沿斜面向下，B、C、D在同一水平面上，其垂直于斜面的俯视图为图丙所示。在半圆CD最高点处轨道横截面为矩形，如图丁所示。雪车和游客质量共为m，在长为L的直线轨道AB上做初速度为0，加速度为a的匀加速直线运动，然后进入圆弧轨道，无碰撞自由滑行。半圆BC半径为2R，CD半径为R，圆弧DE半径为4R。从E点沿切线方向滑出轨道后，雪车底部继续紧贴斜面进行无摩擦运动，最终安全滑进缓冲区。缓冲区左边缘F点离E点平行斜面的水平距离为d，当地重力加速度为g，因轨道半径足够大，雪车和人可以视为质点，雪车底面始终和轨道底面接触。求：(1)雪车和人在半圆轨道CD的最高点时所受侧壁轨道的压力；(2)雪车刚到缓冲区左边缘F点时速度的大小。【解析】(1)设匀加速进入轨道时的速度为v1，根据运动学公式得设半圆CD最高点速度为v2，从B到CD圆弧最高点过程中，根据动能定理得： 在最高点，对雪车和游客整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得： 解得 讨论：，上侧壁给整体弹力方向沿斜面向下；，作用力为零；下侧壁给整体弹力方向沿斜面向上。(2)设E点速度为v3，从B点到E点过程中，根据动能定理雪车整体离开轨道后做类平抛运动水平方向以速度v3做匀速直线运动，沿斜面以加速度a做匀加速直线运动根据牛顿第二定律得：mgsinma 水平方向：dv3t 沿着斜面方向：v4at 解得：。6如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，OB与OC夹角为37°，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最低点C时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，该图线截距为2 N，且过(0.5 m，4 N)点。取g10 m/s2。(1)求滑块的质量和圆轨道的半径。(2)若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度为多少？(3)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D飞出后落在圆心等高处的轨道上？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由。【解析】(1)当H0时，由图象截距可知：Fmg2 N，mg0.2 kg当小物块从A点静止下滑，由图象知，h0.5 m，对轨道的压力F14 Nmghmv12F1mgm解得：R1 m。(2)不脱离轨道分两种情况：到圆心等高处速度为零有能量守恒可知，滑块从静止开始下滑高度h1R1 m通过最高点，通过最高点的临界条件vD设下落高度为H0，由动能定理得：mg(H02R)mvD2解得：H02.5 m则应该满足下落高度h22.5 m。(3)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点：xOEvDt，Rgt2解得：vDm/s而滑块过D点的临界速度vDLm/s由于vDvDL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点mg(H2R)mvDL2解得：Hm。