第05讲 几何法-2021年高考物理解题方法大全（解析版）.doc

第5讲 几何法（解析版）高中物理解题方法28法20讲江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京内容提要：高考物理学科能力有一个是：应用数学知识处理物理问题的能力。本文谈几何知识和方法在物理中的应用，包括在力学和电磁学中的应用。关键词：物理能力，数学应用，几何知识，几何方法。高考大纲（物理）中规定，高考物理考查的学科能力有：1. 理解能力2. 推理能力3. 分析综合能力4. 应用数学知识处理物理问题的能力5. 实验能力。数学知识，主要有代数和几何等几个部分，本文谈几何知识和方法在物理中的应用。有一位教科所的物理老师讲过：解物理题就是画图，会画图就会解题，不会画图就不会解题；画图正确就能解题正确，画图错误一定解题错误。此言虽然不太准确，但也不无道理。一、相对运动中的几何关系例1.如图所示，倾角为的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行A、B的质量均为m撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动不计一切摩擦，重力加速度为g求：（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；（3）A滑动的位移为x时的速度大小vA.【解析】（1）支持力的大小N= mgcos （2）根据几何关系sx=x·(1-cos), sy=x·sin且s=解得s=（2）B的下降高度sy=x·sin根据机械能守恒定律mgsy=mvA2+mvB2根据速度的定义得vA=，vB=则 解得vA=。【答案】（1）mgcos （2）（3）【点评】本题解题关键是A与B运动中的位移关系从而确定二者速度的关系。画出以上图并写出关系式：根据几何关系sx=x·(1-cos), sy=x·sin。二、力做功中的位移问题例2.如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R.C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为.现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面.整个过程中B保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；（2）动摩擦因数的最小值min；（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W.【答案】14（1）C受力平衡 解得（2）C恰好降落到地面时，B受C压力的水平分力最大B受地面的摩擦力 根据题意 ，解得（3）C下降的高度 A的位移摩擦力做功的大小根据动能定理 解得【解析】黑色的半圆A,B为圆心，C为整圆的圆心，A为移动后A半圆的圆心，C为移动后C圆的圆心。从图中可以看出，在等边三角形CBA中，高CD=，C下降到地面后，CD=R，所以C下降的高度为又BA=2R，在等腰三角形CBA中，BD=2Rcos300=R，所以BA=2，所以A向右移动的距离为x=AA=BA-BA=2()R.根据所以。【点评】解本题的关键是求C下降的高度 和A的位移，从而求C的重力做功和摩擦力做功。如果不画出上图，是很难解出的，可惜的是：标准答案没有这个图，那么公式从何而来呢？三、力的合成和分解中的角度问题例3.如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6求：（1）小球受到手的拉力大小F；（2）物块和小球的质量之比M:m；（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T【答案】14（1）设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2 ，如下图所示：F1sin53°=F2cos53°（水平方向合力为零） F+mg=F1cos53°+ F2sin53°（竖直方向合力为零）且F1=Mg解得（2）小球运动到与A、B相同高度过程中从上图可以得到：小球上升高度h1=3lsin53°，物块下降高度h2=4l+3l-5l=2l机械能守恒定律mgh1=Mgh2解得（3）根据机械能守恒定律，小球回到起始点设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T牛顿运动定律MgT=Ma 小球受AC的拉力T=T牛顿运动定律Tmgcos53°=ma解得（）【点评】本题第(1)问，解题方法是力的平衡及力的分解，解题关键是力的夹角关系。要画图才可以看清楚。第（2）、（3）问中，同样也要画图才能搞清楚力做功中的位移关系。四、弹力做功与位移的关系例4. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点在从A到B的过程中，物块（A）加速度先减小后增大（B）经过O点时的速度最大（C）所受弹簧弹力始终做正功（D）所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功【解析】设速度最大位置为C，则加速度为0，如下图所示，x为弹簧压缩量，C点在O点以左，所以B错误；从A到C,加速度（因为）随x的减小而减小，从C到O，加速度（因为）随x的减小而增大，所以A正确；从O到B，加速度，不变；从A到O，弹簧弹力做正功，从O到B，弹簧弹力做负功，C错误；根据动能定理，所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，D正确。【答案】AD 五、电场问题例1. 空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标（0，a，0），N点的坐标为（a,0,0），P点的坐标为（a,）。已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为A.V B.V C.V D.V【解析】从立体图可以看出，P点电势等于Q点电势。然后画出平面图如下从Q点作MN的垂线QS交MN于S，则，因为，所以，又，所以,因为,所以,所以,即,本题选D。例2.匀强电场中有a、b、c三点在以它们为顶点的三角形中， a30°、c90°,电场方向与三角形所在平面平行已知a、b和c点的电势分别为V、V和2 V该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为 AV、V B0 V、4 V CV、 D0 V、V【解析】作图：1.作三角形的外接圆，圆心为o, 如下图，连接co 2.过o作deoc,交外接圆d和e 3.从a、b作de的垂线，g、f为垂足 求解：de为电场线，o与c,a与g，f与b为等势点，所以，因为oe=ob=, 所以,所以，所以选B.理由：因为,所以oc为等势线，它的垂线ed为电场线,沿电场线电势降落最快，所以，d、e分别是圆上电势最高点和最低点。例3. a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在的平面平行。已知a点的电势是20V，b点的电势是24V，d点的电势是4V，如图。由此可知，c点的电势为（ ）A、4V B、8V C、12V D、24V【解析】运用一个结论:在匀强电场中,任意一族平行线上等距离的两点的电势差相等,所以Uab=Ucd,所以c点电势为8v;。例4匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于所在平面，A、B、C三点的电势分别为、和，设场强大小为E，一电量为的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为，则（ ）、 、 、 、 【答案】A【解析】作图如下：（1）延长AB到E使BE=DE，则（2）连接EC,则EC为等势线（3）从A向EC的延长线作垂线，F为垂足，则AF为电场线，且一电量为的正电荷从D点移到C点电场力所做的功=场强大小E=.例5图中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为UA15vUB3v，UC-3V由此可得D点电势UD_V。 【分析】本题考查电场中的电势和电势差及分析综合能力。【解法1】由题意知、间电势差为12，、间电势差为18,、间电势差为6。连接、，并将线段等分为三等分，如图，则、两点等势，电势为3，、两点等电势，电势为9.【解法2】 画出电场线AH, 如下图，再分别从B、C、D向AH作垂线BF, CG, DE, 则这三条线是等势线，所以B、F等电势, C、G等电势, D、E等电势，所以、间电势差为12，、间电势差为18,求、间的电势差。设正方形的边长为a, 角CAG为，从图中可以得到：, =12V, =18V 从得，代入得，代入得。所以E点电势即D点电势为：.例6.（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。a请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；b点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S、S到点电荷的距离分别为r、r。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S、S上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。a设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P；b在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。【答案】（1）a在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷根据库仑定律检验电荷受到的电场力根据电场强度的定义得b穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比（2）a地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，因此b在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，则可得L=5L0则电场问题小结：1. 已知某些点的电势，求另一些（个）点的电势，可考虑用几何方法，主要是平面几何方法。2. 用几何方法解物理问题的关键是作辅助线。3. 在用几何方法解物理问题中要重视几何图形的物理意义，如电场线和等势线或等势面。4. 沿电场线电势降落最陡。5. 同一条等势线上各点电势相等。6. 电场线与等势线垂直。7. 匀强电场的电场线相互平行并距离相等，在电场线上，距离相等，电势差也相等；匀强电场的等势线也相互平行并距离相等的等势线间电势差相等。六带电粒子在磁场中运动问题例1.（16分）一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；（3）若考虑加速电压有波动，在（）到（）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.【答案】（1）设甲种离子在磁场中的运动半径为r1电场加速 且 解得根据几何关系x =2r1 L 解得（2）(见图) 最窄处位于过两虚线交点的垂线上解得 （3）设乙种离子在磁场中的运动半径为r2 r1的最小半径，r2 的最大半径由题意知 2r1min2r2max >L，即解得【研究】要把图象放大才可以看清楚，如下图，A、B分别是两个半圆的最高点，AB是两个半圆的切线，P是两个半圆的交点，作PQ平行于AB，与AO(O是左半圆的圆心)相交于Q，则因为，所以，所以最窄处的宽度则将代入得。一般参考书上，只有上图，没有下图，从上图中不能看到要求的“该区域最窄处的宽度d”，有的同学认为是零。为什么有这个宽度呢？因为除了图中所画的“图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹”外，还有很多没有画出的轨迹，他们是“经过狭缝左、右边界M、N”之间的或以外的其它甲种离子的运动轨迹。有的同学可能要问：怎么知道这个d就是最窄呢？为了说明这个问题，我又画了下图，图中红线是从MN中点P射出的甲种离子的轨迹，它的最高点为Q，则两圆的切线（上图中的AB必过Q，即也是此离子轨迹的切线）。连接QR(R是原来两半圆的交点)并延长之，必过此半圆的圆心O。过R做切线AB的平行线交此半圆于S，则在三角形ORS中，OR=，因为OR=r，RS=，所以，即。(3)从下图可以看出，2r1min2r2max >L，其余同上。例2.如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O点，各区域磁感应强度大小相等某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场取sin53°=0.8，cos53°=0.6（1）求磁感应强度大小B；（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O的时间t；（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O的时间增加t，求t的最大值【答案】（1）粒子圆周运动的半径 由题意知，解得（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为，如图所示由d=rsin，得sin=，即=53°在一个矩形磁场中的运动时间，解得直线运动的时间，解得 则（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，如图所示粒子向上的偏移量y=2r（1cos）+xtan由y2d，解得则当xm=时，t有最大值粒子直线运动路程的最大值增加路程的最大值增加时间的最大值。有的可能以为当中间两磁场分别向中央移动到靠近时，可使粒子从O运动到O的时间增加t最大，错误了，因为此情况粒子飞出左磁场后打到第2个磁场的上边缘了，要飞出磁场了，不能到达O。如下图所示：【点评】此题难在哪？与其说难在物理上，不如说难在数学上。这3个图，都是笔者画的，而标准答案上没有。为什么？因为标准答案不是给学生写的，也不是给物理老师写的，而是给阅卷老师写的，他们照本宣科，按标准答案阅卷就可以了，如果要使学生看懂，老师还要做功课，象我这样不怕辛苦地把图画出来，只有这样，才能看清楚关系。例3.如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。11H的质量为m，电荷量为q不计重力。求（1）11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离（2）磁场的磁感应强度大小（3）12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离【答案】（1）在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示。设在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1。由运动学公式有 由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角。进入磁场时速度y分量的大小为联立以上各式得（2）在电场中运动时，由牛顿第二定律有设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有由几何关系得联立以上各式得（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得由牛顿第二定律有设第一次射入磁场时的速度大小为，速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2。由运动学公式有 联立以上各式得设在磁场中做圆周运动的半径为R2，由式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得所以出射点在原点左侧。设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为，由几何关系有联立式得，第一次离开磁场时得位置到原点O的距离为例4.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条形区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；（2）求该粒子从M点射入时速度的大小；（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。【解】（1）粒子运动的轨迹如图（a）所示。（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称）（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为（见图（b），速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有qE=ma 式中q和m分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有v1=at 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 由几何关系得 联立式得 （3）由运动学公式和题给数据得 联立式得 设粒子由M点运动到N点所用的时间为，则 式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期， 由式得 例5.如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：（1）磁场的磁感应强度大小；（2）甲、乙两种离子的比荷之比。【答案】（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有由几何关系知 由式得（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有由题给条件有由式得，甲、乙两种离子的比荷之比为根据，及,得又根据得，所以，。同时得。见图。例6.如图所示，在水平线ab下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为R、的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出，不计粒子重力。（1）求粒子从P到M所用的时间t；（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出，粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度的大小。【答案】（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有设粒子在电场中运动所受电场力为F，有F=qE；设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=ma；粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有v=at；联立式得；（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期和速度、半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定，故当轨迹与内圆相切时，所有的时间最短，设粒子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系可知设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系可知；粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v，在垂直于电场方向的分速度始终为，由运动的合成和分解可知联立式得六、几何光学中的几何方法光学知识，在标准课程教科书中是选修3-4的内容，在高考试卷中是选考题之一，大部分学校和考生不选择选修3-4，也就不考光学题，因此是几乎被高考遗忘的高考题。所以在物理教学类杂志中，涉及光学的文章也就少而又少。光学分为两部分内容：几何光学和物理光学，几何光学研究光的反射和折射，以及全反射等，物理光学研究光的性质，也就是光是什么？粒子还是波？其内容包括光的干涉、衍射、偏振等。关于几何光学的高考题，离不开用数学中的几何知识和方法去解，包括边和角，三角形，多边形等。每年的高考题中，都有几题。且看近2年的高考题。例1.如图，ABC为一玻璃三棱镜的横截面，A=30°，一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为_。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角_（“小于”“等于”或“大于”）60°。【解析】在直角三角形AFD中，因为A=300，所以ADF=600,所以FDN=300.，i和r分别为光线在AC面上的入射角和折射角。因为同一玻璃对蓝光的折射率大于红光，所以光线在D点射出时的折射角大于600。【答案】 大于例2. 如图，是一直角三棱镜的横截面，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。（i）求出射光相对于D点的入射光的偏角；（ii）为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？【解答】光线在BC面上折射，由折射定律有式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2=r2式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。光线在AB面上发生折射，由折射定律有式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系得i2=r2=60°，r1=i3=30°F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为=（r1i1）+（180°i2r2）+（r3i3）由式得=60°（）光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有式中C是全反射临界角，满足由式知，棱镜的折射率n的取值范围应为【解析】为什么由几何关系得i2=r2=60°，r1=i3=30°看下图：因为D恰好是CG的中点，所以，因为C=300，所以，又DGE=B=600,所以三角形DGE为等边三角形，所以，。因EFCB，所以。为什么F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为=（r1i1）+（180°i2r2）+（r3i3）把D点移到F点位置，如下图从上图可以看出：D点的出射光线对于D点的入射光的偏角为（r1i1），AB的法线比CD的法线的偏角为（180°i2r2），F点的出射光线对于F点的入射光的偏角为r3i3，所以F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为=（r1i1）+（180°i2r2）+（r3i3）。例3. 如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点做AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察。恰好可以看到小标记的像；过O点做AB边的垂线交直线DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)【答案】过D点作AB边的法线，连接OD，则为O点发出的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为，如图所示。根据折射定律有式中n为三棱镜的折射率由几何关系可知在中有由式和题给条件得根据题给条件可知，为等腰三角形，有由式得【解析】为什么由几何关系可知，从B作B的角平分线，则知角的余角为300，所以。为什么，因为在直角三角形OGA中，A=600，所以。例4.如图，由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别为R和.一横截面半径为R的平行光束入射到半球壳的内表面，入射方向与半球壳的对称轴平行，所有的入射光线都能从半球壳的外表面射出。已知透明介质的折射率为。求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。不考虑多次反射。【解析】根据临界角公式，得临界角，根据光的可逆性，作出与最边缘的出射线（光路可逆，入射线看做出射线）AB，连接OB。如图所示，在三角形AOB中，B=900,-，根据正弦定理，解得。则要求的半径为.例5.如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高位2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行（不考虑多次反射）。求该玻璃的折射率。 【解答】如图，根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行。这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。 设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。由折射定律有 由正弦定理有由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。由题设条件和几何关系有式中L是入射光线与OC的距离。由式和题给数据得由式和题给数据得例6.如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求： （i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；（ii）距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。【解析】(i)如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角i0 时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。i =i0 设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有nsin i0=1 由几何关系有sin i= 联立 式并利用题给条件,得l= (ii)设光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和1，由折射定律有 nsin i1=sin1 设折射光线与光轴的交点为C，在OBC中，由正弦定理有 由几何关系有=1- i1 sin i1= 联立式及题给条件得OC= 例7. “测定玻璃的折射率冶实验中,在玻璃砖的一侧竖直插两个大头针A、B,在另一侧再竖直插两个大头针C、D. 在插入第四个大头针D 时,要使它 _. 题12B-2 图是在白纸上留下的实验痕迹,其中直线a、a忆是描在纸上的玻璃砖的两个边. 根据该图可算得玻璃的折射率n = _. (计算结果保留两位有效数字)【答案】挡住C及A、B的像；1.8（1.61.9都算对）【解析】【方法1】如果考生带有量角器，分别连接AB和CD，分别交和于O和O，过O作的垂线M1N1，即为法线,如图答1图,则A01M1为入射角，C01N1为折射角,用量角器分别测得=60°, =30°，则玻离的折射率为n= 1.7。【方法】.如果考生没有带量角器而只带直尺或三角板，在图中，分别测量长度O1O2=1.50cm和O2N1=0.75cm, 则折射角的正弦为050，然后在O1A上截取O1A1=1.50cm，从A1作M1N1的垂线A1M1，测量长度A1M1=1.30cm，则入射角的正弦为0.87，所以玻离的折射率为，或。【方法3】.考生如果带有圆规和直尺的话，可以这样做。以为圆心、为半径画圆，交AB于A1，从A1向M1N1作垂线，M1为垂足，分别测量A1M1=1.30cm和N1O2=0.75cm，则玻璃的折射率为。【点评】本题考查测玻璃的折射率实验的作图和数据处理。难度：易。测玻璃的折射率实验，以前考过，但在试卷上直接测量，高考从未有过，所以在考试方法上是创新。本题所有数据，是笔者从江苏省的扬子晚报是公布的试卷上用直尺作图，用量角器或直尺测量的真实数据。物理，是以实验为主的学科，高考考查物理实验题, 是天经地义的，但多年来考查实验题，还是以原理为多，真正在试卷是作图和测量实际实验数据,本题开了一个好头，愿高考中出现更多的这样的好题。高考前,老师总是告诫学生:考试工具要带齐全，除了书写文具如写字笔、涂卡工具如2B铅笔以外，还要带作图工具如直尺、三角板、圆规、量角器等，多少年过去了，没带量角器的也没有吃亏，这次，带量角器的就占大便宜了。也有极聪明的学生,不作图测量,猜想可能是30°和60"，以为不会是算不出来的吧，果然也对了。总结：从以上例题可以看出：1. 几何知识和方法在解物理题中有广泛的应用，在力学中，从力的合成和分解，到功和能中的力做功的位移，在电磁学中，带电粒子在磁场中的圆周运动，从找圆心求半径，到求圆心角求时间，都要用到几何知识和几何方法。更何况还有一部分内容就是几何光学，关于光的反射和折射以及全反射题目，更是用几何知识和几何方法解。2. 有的物理题难，不是难在物理上，而是难在数学上，特别是几何上。要搞清楚空间关系，非要画图不可。画了图，还要写出几何关系式，例如三角形边角关系公式，三角函数公式，等等。新题速递：2020年版人教版新教科书选择性必修第一册第4章光复习与提高习题1. 如图4-1，光沿AO从空气射入折射率为 n的介质中，以O点为圆心、R为半径画圆，与折射光线的交点为B，过B点向两介质的交界面作垂线，交点为N，BN与AO的延长线的交点为M。以O点为圆心，OM（设为r）为半径画另一圆。试证明 n R/r。 【证明】根据折射率的定义和几何关系，.习题2. 如图4-2，OBCD 为半圆柱体玻璃的横截面，OD 为直径，一束由紫光和红光组成的复色光沿AO 方向从真空射入玻璃，紫光、光分别从B、C 点射出。设紫光由O 到 B 的传 播时间为tB，红光由O 到 C 的传播时间为tC， 请比较 tB、tC 的大小。 【解析】根据从图看出：，其中d为玻璃的直径，即d=OD.同理，又根据，其中c为光速。即，代入得=，其中i为入射角，相等，所以tB=tC。习题3. 在光学仪器中，“道威棱镜”被广泛用来进行图形翻转。如图4-3，ABCD是棱镜的横截面，是底角为45°的等腰梯形。现有与BC平行的三条光线射入AB，已知棱镜材料的折射率 n 2，请根据计算结果在原图上准确作出这 三条光线从进入棱镜到射出棱镜的光路图，论证BC面是否有光线射出棱镜，并说明从DC射出的光线跟入射光线相比有什么特点。 【解析】如图，入射角i=450,根据，解得折射角，r=300.在BC边上的入射角I=750，因为临界角，所以C=450，入射角大于临界角，所以BC面没有光线射出棱镜。全反射后，DC面上的入射角r=300,射出的光线为450，所以出射线平行于入射线。从DC射出的光线跟入射光线相比，上下颠倒了，如图所示。所以，“道威棱镜”被广泛用来进行图形翻转。习题4一束光斜射入界面相互平行、折射率递增的多层介质膜中，光的轨迹将如何？若斜射入界面相互平行、折射率递减的多层介质膜中，光的轨迹又将如何？请画出光路图。【解析】一束光斜射入界面相互平行、折射率递增的多层介质膜中，光的轨迹将向左偏折，如下图。若斜射入界面相互平行、折射率递减的多层介质膜中，光的轨迹又将向右偏折。图略。习题5用下面的方法可以测量液体的折射率： 取一个半径为r 的软木塞，在它的圆心处插上 一枚大头针，让软木塞浮在液面上（图4-4）。 调整大头针插入软木塞的深度，使它露在外面的长度为h。这时从液面上方的各个方向向液体中看，恰好看不到大头针。利用测得的数据 r 和 h 即可求出液体的折射率。 （1）写出用 r 和 h 求折射率的计算式。 （2）用这种方法实际做一下，求出水的折射率。【解析】（1）全反射临界角C，。（2）n水=1.33习题6.单镜头反光相机简称单反相机，它用一块放置在镜头与感光部件之间的透明平面镜把来自镜头的图像投射到对焦屏上。对焦屏上的图像通过五棱镜的反射进入人眼中。图4-5 为单反照相机取景器的示意图，ABCDE 为五棱镜的一个截面，AB BC。光线垂直AB 射入， 分别在 CD 和 EA上发生反射，且两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC 射出。若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是多少？（计算结果可用三角函数表示） 【解析】如上右图所示，设两次反射的入射角相等为I，因两次反射都为全反射，所以，从图知，C=,所以该五棱镜折射率的最小值是。习题7. 1801 年，托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。洛埃镜实验的基本装置如图 4-6所示，S为单色光源，M 为一平面镜。