数值分析试题与答案.doc

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点，其对应的函数的值分别为，则二次拉格朗日插值基函数为 。 2.设，则关于节点的二阶向前差分为 。3.设，则 ， 。4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：12324123并估计误差。（10分）四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）五用Newton法求的近似解。（10分）六试用Doolittle分解法求解方程组： （10分）七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）数值分析（A）卷标准答案 （200920101）一 填空题（每小题3分，共12分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）对于对称正定阵 A，从可知对任意k £ i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）2. 解：（1）若，则称为函数的不动点。 （2分）（2）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：1）是在其定义域内是连续函数； （2分）2）的值域是定义域的子集； （2分）3）在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：计算vk=Auk-1;步4：计算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：若|mk- |< e，计算，输出mk,uk；否则，转6；步6：若k<N,置k:=k+1, :=mk，转3；否则输出计算失败 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系数法： 设满足 则（3分） 再设 （3分） （1分） （1分）（2） （2分）四解：应用梯形公式得 （2分） （1分） 应用辛普森公式得： （2分） （1分） 应用科特斯公式得： （2分） （2分）五解：由零点定理，在内有根。 （2分）由牛顿迭代格式 （4分） 取得， （3分）故取 （1分） 六解：对系数矩阵做三角分解： （2分） （4分）若，则； （2分）若，则 （2分）七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 （2分）其特征多项式为，且特征值为 （2分）故有，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 （2分）其特征值为 （2分）故有，因而雅可比迭代法收敛。 （1分）八证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1. 证：该问题的精确解为 （2分）欧拉公式为 （2分）对任意固定的，有， （2分）则 （1分）2.证：牛顿迭代格式为 （3分）因迭代函数为而又， （2分） 则。故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）数值分析参考解答三计算题（每小题7分，共42分）： 1. 设 , 试构造基函数求的2次插值多项式 ,满足: . 解 设的基函数为，则它们满足下列关系 （1分）01011100010001（2分）(1) 令，则有, 即. 所以.或由，先得.再由，得，即. 由，得，即.所以.（1分）(2) 令，则有,即. 所以.或由,先得. 再由，得.所以.（1分）(3) 令，则有，即 . 所以或由,先得.再由，得，即. 所以（1分）最后得 .（1分）2. 求 在区间 -1,1 上的次最佳一致逼近多项式;解 设所求的2次最佳一致逼近多项式为. 令.（2分）则的首项系数为1, 并且当时, 与的偏差最小, 即与的偏差最小.（2分）因为上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为.（1分）所以.（2分）3利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)： 解 ，,（1分）,（2分）TSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599,（2分）,.(2分)4利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）解 令，则改进的尤拉公式为：（2分）.（2分)取得，. （1分)计算结果如下： 111.21.461.42.06521.62.84754（2分)5用牛顿法求方程 在 附近的根（只要求迭代步）。解 牛顿迭代公式为：（2分).（2分)取迭代初值为，则迭代结果如下表所示：0312.3333322.05555 （3分）6写出解如下线性方程组的高斯塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯塞德尔迭代公式？ 解 ,.（1分）则 ,（1分）得 ,（1分）,（1分）为高斯-塞德尔迭代公式. （1分）这时的2个特征值为,故，迭代法不收敛.（1分）若原方程 改写成为 , 这时是严格对角优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.（1分）四证明题(每小题9分,共18分)： 1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第小题的插值余项：, 并有误差估计证：方法一：因为，则是的零点且为二重的, (1分)于是可设，令(2分)则有4个零点:,连续使用三次罗尔定理,则使,(2分)即, 得.(2分)方法二: 设, 则有3个零点, (1分)有2+1个零点,。有一个零点，所以 (2分)(2分)， 即.(2分)最后. (2分)2证明: 求积公式 恰有次代数精度.证：当时， ;(1分) 当时， ,;(1分)当时，, ; (1分)当时，, ; (1分) 当时， , ; (1分) 当时，, .(1分) 即求积公式对次数不超过的多项式准确成立, 但当时，, 不成立.(2分)综之，求积公式具有5次代数精度.(1分)数值分析试题11. 已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解： 由已知可知,n=6 2分 2分2. 已知 求 （6分）解： 1分 1分 1分 = 2分 1分3. 设 （6分） 写出f(x)=0解的Newton迭代格式 当a为何值时， （k=0,1）产生的序列收敛于解：Newton迭代格式为： 3分 3分4. 给定线性方程组Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1）求解Ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛 （8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为 2分其特征方程为 2分即，解得 2分要使其满足题意，须使，当且仅当 2分5. 设方程Ax=b，其中 ，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式 （9分）解： 3分 2分即，由此可知Jacobi迭代收敛 1分Gauss-Seidel迭代格式： （k=0,1,2,3） 3分6. 用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中 ， （12分）解： A= =LU 3分 由Ly=b1，即 y= 得y= 1分 由Ux1=y，即 x1= 得x1= 2分 x2= 由Ly=b2=x1，即 y= 得y= 1分 由Ux2=y，即 x2= 得x2= 2分 x3= 由Ly=b3=x2，即 y= 得y= 1分 由Ux3=y，即 x3= 得x3= 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H插值多项式，使 （6分）解：作重点的差分表，如下： 3分 =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) = 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式 （7分）解： 由已知条件可作差分表， 3分 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton向前插值公式为： =4+5x+x(x-1) = 4分9. 求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差 （8分）解： 令 2分取m=1, n=x, k=,计算得： (m,m)=0 (m,n)= =1 (m,k)= =0 (n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m,y)= =1 (n,y)= =0 (k,y)= =0.5 得方程组： 3分 解之得 （c为任意实数，且不为零） 即二次最佳平方逼近多项式 1分 平方误差： 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位） （8分）解： 用复合梯形公式： =3.139 4分 用复合Simpson公式： =3.142 4分11. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分? （10分）解： 由Simpson公式余项及得 2分即，取n=6 2分即区间分为12等分可使误差不超过 1分对梯形公式同样，由余项公式得 2分即 2分即区间分为510等分可使误差不超过 1分12. 用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6分）解：改进Euler格式为： 2分于是有 （n=0,1,2） 2分由y(1)=1，计算得 2分即y(1.1)的近似值为0.83813. （4分）证明： 4分14. 证明：设，为任意矩阵范数，则 （6分）证明： 设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x 1分 且，若是实数，则x也是实数，得 1分 而 2分 由于 1分 故 1分 当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立数值分析试题21、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解 因为 =3.142857= =3.141592所以 （2分）这里，由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。 （1分）而相对误差限 （2分）2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：；解 设由矩阵乘法得： （3分）由解得 （3分）3、（本题6分）给定线性方程组1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib迭代格式为 （2分）Gauss-Seidel迭代格式为 （2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。（2分）4、（本题6分）已知方程在附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式： 构造如下两个迭代格式：1）2）判断这两个迭代格式是否收敛；解 1）记，则， （2分） 所以该迭代格式是局部收敛的。 （1分） 2）记，则， （2分） 所以该迭代格式是发散的 （1分）5、（本题6分）设（1）写出解的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解 （1）因，故，由牛顿迭代公式 ， （1分） 得， （2分） （2）因迭代函数， ， （1分） 故 此牛顿迭代格式是线性收敛的。 （2分）6、（本题9分）给定数据x 0 2 3 5f(x) 1 -3 -4 2（1） 写出的3次Lagrange插值多项式；（2） 写出的3次Newton插值多项式；解 （1）由题意知 （3分） （2分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表0 12 3 5 2 3 （3分）则有 （1分）7、（本题6分）作一个5次多项式使得 解 构造有重节点的牛顿插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 （4分） 则有 （2分）8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：012345615141414141516解 设，则上表可化为01231000012 这时，取，并设所求二次多项式为 ，容易得到 ， ， ， （3分） 得正规方程组如下： 解得 即 （2分） 回代得 （1分）9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式解 由于 所以 （1分） （1分） （1分） （1分） 故求积公式为 （1分）10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分： 解 （1）用梯形公式 ， （3分） （2）用辛普森公式 （3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数解 令： （1分） 由 得 再由 （2分） （1分） 得 所以的根为 （2分） （2分）12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。若，试证。解：因为为次多项式，所以， （2分）又因为，故有 （2分）由插值关系可知： （2分）所以，13、（本题10分）设，求及谱半径。解 由定义得 （2分） （2分）又由于，而 （2分） 所以，。 （2分）因为 所以 （2分）14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。解 ，于是 （4分） 故，由于 故 （2分）15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数解 幂法计算公式：取，作如下迭代： ， ， ， 其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量，则 （1分） 计算如下： （2分） （2分） （2分） （2分数值分析试题3 数值分析试题41、 (本题5分)取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字 解：令，则 （2分）由于故另一方面故在这里，由有. （3分）即算式至少有4位有效数字.2、 （本题6分）用列主元Gauss消去法解线性方程组. 解： （4分）故等价方程组为： （1分）同代得， （1分）3、 （本题6分）已知，求，.解： （1分） （1分） 即 （3分）解得 ， （1分）4、 （本题7分）给定线性方程组 (1) 试分别写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；(2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收敛性.解：(1) Jacobi迭代格式为： （2 分）Gauss-Seidel迭代格式： （2分）(2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为解得 则故Gauss-Seidel迭代格式发散. （3分）5、 （本题8分）用下列方法求在附近的根，根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字.(1) 用牛顿法；(2) 用弦截法，取，解：(1) 牛顿法的迭代公式为计算得，故 （4分）(2)弦截法的迭代公式为计算得 故 （4分）6、 （本题8分）给定数据如下x0235f(x)1-3-42(1) 写出的3次Lagrange插值多项式(2) 写出的3次Newton插值多项式解：(1)由题设条件有 由于次Lagrange插值多项式的基函数为故三次Lagrange插值多项式的基函数为 （3分）故所求三次Lagrange插值多项式 （1分） (2)由题中所给数据，构造下列差商表5 2 3 3 -4 -1 2 -3 -20 1x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 （3分）由于故所求三次Newton插值多项式 （1分）7、 （本题8分）设，且互不相同，证明 并写出的次Newton插值多项式.证：用数学归纳法来证明当时即当时公式成立. （2分）假设当时等式成立即那么当时即公式对亦成立有归纳法原则知原等式对任意均成立 （4分）我们以为插值节点来求次Newton插值多项式因为故所求插值多项式为 其中 （4分）8、（本题5分）求满足条件12231-1的艾尔米特差值多项式.解：令，代入艾尔米特差值多项式 （2分）这里，得 （3分） 9、 （本题6分）求函数在0，1上的一次最佳平方逼近多项式.解：设，所求函数为，则 （3分）由正规方程组 （1分）解得 （2分）10、（本题9分）运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位）.解：运用梯形公式：