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基本不等式课时第1页，本讲稿共42页问题提出问题提出 1.1.不等式有许多基本性质，同时还有一不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如些显而易见的结论，如a2 200，|a|0|0，|a|a等，这些性质都是研究不等式问题的等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据理论依据.在实际应用中，我们还需要有相在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理应的不等式原理.第2页，本讲稿共42页 2.2.如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424界国际数学家界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客个风车，代表中国人民热情好客.在这个图在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等的关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研究我们作些相应研究.第3页，本讲稿共42页第4页，本讲稿共42页探究（一）探究（一）:基本不等式的原理基本不等式的原理|ab|b|思考思考1 1：将图中的将图中的“风车风车”抽象成如图，在正方形抽象成如图，在正方形ABCDABCD中有中有4 4个全等的直角个全等的直角三角形三角形.设直角三角形的设直角三角形的两条直角边长为两条直角边长为a，b b那么那么正方形正方形ABCDABCD和和EFGHEFGH的边长的边长分别为多少？分别为多少？ABCDEFGH第5页，本讲稿共42页思考思考2 2：图中正方形图中正方形ABCDABCD的面积与的面积与4 4个直角三个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？到一个什么不等式？a2 2b b2 222ab b 思考思考3 3：从图形分析从图形分析,上述不等式在什么情上述不等式在什么情况下取等号？况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即当直角三角形为等腰直角三角形，即 ab b时，时，a2 2b b2 22 2ab.b.ABCDEFGH第6页，本讲稿共42页思考思考4 4：在上面的图形背景中，在上面的图形背景中，a,b,b都是正都是正数，那么当数，那么当a，bRbR时，不等式时，不等式a2 2b b2 222ab b成立吗？为什么？成立吗？为什么？一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b b，有，有:a2 2b b2 222ab b，当且仅当，当且仅当ab b时等号成立时等号成立.ABCDEFGH第7页，本讲稿共42页思考思考5 5：特别地，如果特别地，如果a0 0，b b0 0，我们用，我们用 、分别代替分别代替a、b b，可得什么不等式，可得什么不等式?当且仅当当且仅当ab b时等号成立时等号成立.第8页，本讲稿共42页思考思考6 6：不等式不等式称为称为基本不等式基本不等式，它沟通了两个正数的和与，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？你能用分析法证明吗？第9页，本讲稿共42页思考思考7 7：我们称我们称 和和 分别为分别为a，b b的算术平均数和几何平均数，如何用文的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？字语言表述基本不等式？两两个个正正数数的的算算术术平平均均数数不不小小于于它它们们的的几几何平均数何平均数.第10页，本讲稿共42页思考思考8 8：如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，CDCD为为斜边上的高，斜边上的高，CO CO为斜边上中线，你能利为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？A AB B C CD DO O第11页，本讲稿共42页探究（二）：探究（二）：基本不等式的变通基本不等式的变通 思考思考1 1：将基本不等式将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2 2b b2 222ab b有什么内在联系？有什么内在联系？第12页，本讲稿共42页思考思考2 2：在不等式在不等式a2 2b b2 222ab b两边同加上两边同加上a2 2b b2 2可得什么结论？所得不等式有什么特色可得什么结论？所得不等式有什么特色？它它反反映映了了两两个个实实数数的的平平方方和和与与它它们们的的和和的的平平方方的的不不等等关关系系，称称为为平平方方平平均均不不等等式式，其其数数学学意意义义是是：两两个个实实数数的的平平方方的的算算术平均数不小于它们的算术平均数的平方术平均数不小于它们的算术平均数的平方.第13页，本讲稿共42页思考思考3:3:将不等式将不等式 两边两边同乘以同乘以 ，可变通出一些什么结论？，可变通出一些什么结论？第14页，本讲稿共42页理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知x x、y y都是正数，求证：都是正数，求证：(x(xy)(xy)(x2 2y y2 2)(x)(x3 3y y3 3)x x3 3y y3 3 例例2 2 已知已知 a2 2b b2 2c c2 21 1，求证：求证：(ab bc)c)3 33.3.第15页，本讲稿共42页小结作业小结作业2.2.基本不等式有多种形式，应用时具有很基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理本不等式处理 1.1.不等式不等式a2 2b b2 22ab2ab与与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者前者a、b b可为任意实数，后者要求可为任意实数，后者要求a、b b都都是正数，但二者等号成立的条件相同是正数，但二者等号成立的条件相同.第16页，本讲稿共42页3.3.当当a、b b都是正数时，有不等式链都是正数时，有不等式链 作业：作业：P100 P100习题习题3.4 A3.4 A组：组：1 1，2.2.第17页，本讲稿共42页第二课时第二课时 3.4 3.4 基本不等式基本不等式 第18页，本讲稿共42页问题提出问题提出1.1.基本不等式有哪几种基本形式？基本不等式有哪几种基本形式？（1 1）a2 2b b2 222ab b（a，bRbR），当且仅），当且仅当当ab b时等号成立；时等号成立；（2 2）(a0 0，b b0)0)，当且仅，当且仅当当ab b时等号成立；时等号成立；（3 3）(a0 0，b b0)0)，当且，当且仅当仅当ab b时等号成立；时等号成立；第19页，本讲稿共42页 2.2.函数的最大值和最小值的含义分别是函数的最大值和最小值的含义分别是什么？什么？3.3.在一定条件下，利用基本不等式可以在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基本不等求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法式求最值就成为一种重要的数学方法.最大值最大值:f(x)M:f(x)M，且等号成立，且等号成立;最小值最小值:f(x):f(x)m m，且等号成立，且等号成立.第20页，本讲稿共42页第21页，本讲稿共42页探究（一）：探究（一）：基本不等式与最值原理基本不等式与最值原理 思考思考1 1：在基本不等式在基本不等式 (a0 0，b b0)0)中，如果中，如果ab bP P为定值，为定值，能得到什么原理？能得到什么原理？原理一：原理一：若两个正数的积为定值，则当这若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值两个正数相等时它们的和取最小值.第22页，本讲稿共42页思考思考2 2：在基本不等式在基本不等式 (a0 0，b b0)0)中，如果中，如果ab bS S为定值，为定值，又能得到什么原理？又能得到什么原理？原理二：原理二：若两个正数的和为定值，则当这两若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值个正数相等时它们的积取最大值.第23页，本讲稿共42页思考思考3 3：能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是2 2吗？吗？思考思考4 4：当当x4x4时时,能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是4 4吗？吗？第24页，本讲稿共42页思考思考6 6：利用基本不等式求两个变量的和利用基本不等式求两个变量的和的最小值的最小值(或积的最大值或积的最大值)，应具备哪些基，应具备哪些基本条件？本条件？一正二定三相等一正二定三相等思考思考5 5：当当x(0 x(0，)时，能否由时，能否由 ，得函数，得函数 的最小值是的最小值是 吗？吗？第25页，本讲稿共42页探究（二）探究（二）基本不等式求最值的实际应用基本不等式求最值的实际应用【背景材料】【背景材料】在农村，为防止家畜家禽在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料，就如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题就用考虑所围菜园面积最大的问题 第26页，本讲稿共42页思考思考1 1：如果用篱笆围成一个面积为如果用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是变量？是变量？思考思考2 2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为10m10m时，所用篱笆最短，时，所用篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m.40m.第27页，本讲稿共42页思考思考3 3：用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？是变量？思考思考4:4:如何设计这个矩形菜园的长和宽，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少才能使菜园的面积最大，最大面积是多少?矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为9m9m时，菜园的面积最时，菜园的面积最大，最大面积是大，最大面积是81m81m2 2.第28页，本讲稿共42页思考思考5 5：若矩形菜园的一边靠墙，另外三边若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成，如何设计这个的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少最大面积是多少?.矩形的长为矩形的长为18m18m，宽为，宽为9m9m时，菜园的面积时，菜园的面积最大，最大面积是最大，最大面积是162m162m2 2.第29页，本讲稿共42页理论迁移理论迁移 例例1 1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为池，其容积为4800m4800m3 3，深为，深为3m.3m.如果池底每如果池底每平方米的造价为平方米的造价为150150元，池壁每平方米的造元，池壁每平方米的造价为价为120120元，问怎样设计水池能使总造价最元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？低，最低总造价是多少元？当水池底面是边长为当水池底面是边长为40m40m的正方形时，水的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是池的总造价最低，最低总造价是297600297600元元.第30页，本讲稿共42页 例例2 2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面粉每天需要购买面粉6 6吨，每吨面粉的价格为吨，每吨面粉的价格为18001800元，面粉的保管费等其他费用为平均元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天每吨每天3 3元，购买面粉每次需支付运输费元，购买面粉每次需支付运输费900900元元.问该厂每隔多少天购买一次面粉，问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？最少才能使平均每天所支付的费用最少？最少费用是多少？费用是多少？每隔每隔1010天购买一次面粉，能使平均每天天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用最少，最少费用是所支付的费用最少，最少费用是1098910989元元.第31页，本讲稿共42页1.1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应用时要注意下列三个条件：要的方法，应用时要注意下列三个条件：(1)(1)函数解析式中各变量均为正数；函数解析式中各变量均为正数；(2)(2)含变量的两项的和或积为定值；含变量的两项的和或积为定值；(3)(3)含变量的两项可以相等，含变量的两项可以相等，即即“一正二定三相等一正二定三相等”.”.小结作业小结作业第32页，本讲稿共42页2.2.在实际问题中求最值时，一般先要设定在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变量，再建立变量之间的函字母表示相关变量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值数关系，然后求最值.对形如：对形如：x xy y，xyxy，x x2 2y y2 2,等结构的等结构的最值问题，常用基本不等式求解最值问题，常用基本不等式求解.第33页，本讲稿共42页作业：作业：P100P100练习：练习：3 3，4.4.P101P101习题习题3.4 A3.4 A组：组：3 3，4.4.第34页，本讲稿共42页第三课时第三课时 3.4 3.4 基本不等式基本不等式 第35页，本讲稿共42页1.1.基本不等式：基本不等式：（1 1）a2 2b b2 222ab b（a，bRbR），当且仅），当且仅当当ab b时等号成立；时等号成立；一般形式：（2 2）(a 0 0，b b0)0)，当且，当且仅当仅当a b b时等号成立；时等号成立；（3 3）(a 0 0，b b0)0)，当且，当且仅当仅当ab b时等号成立时等号成立知识整理知识整理第36页，本讲稿共42页2.2.最值原理：最值原理：（1 1）若两个正数的积为定值，则当这两）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值个正数相等时它们的和取最小值.（2 2）若两个正数的和为定值，则当这两个）若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值正数相等时它们的积取最大值.（3 3）环境条件：一正二定三相等）环境条件：一正二定三相等.第37页，本讲稿共42页第38页，本讲稿共42页应用举例应用举例 例例1 1求函数求函数 的最小值的最小值.当当x x4 4时，时，y y取最小值取最小值5.5.例例2 2 求函数求函数 的最小值的最小值.当当x x4 4时，时，y y取最小值取最小值8.8.已知第39页，本讲稿共42页 例例3 3 已知已知 ，求函数，求函数 的最大值的最大值.，求函数当当 时，时，y y取最大值取最大值 .第40页，本讲稿共42页当当x x4 4，y y1212时，时，x xy y取最小值取最小值16.16.例例5 5 已知已知x x0 0，y y0 0，且，且x xy y1 1，求求 的最大值的最大值.例例4 4 已知已知x x0 0，y y0 0，且，且 求求x xy y的最小值的最小值.当当 时，时，取最大值取最大值2.2.第41页，本讲稿共42页例例6 6 已知已知a,b,c,b,c为正数为正数,且且a b bc c1 1，求求 的最小值的最小值.例例7 7 已知已知a,b,c,b,c为正数，且为正数，且a b bc c1 1，求求 的最大值的最大值.当当 时，时，取最小值取最小值9.9.当当 时，时，取最大值取最大值 第42页，本讲稿共42页