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定积分概念与性质你现在浏览的是第一页，共77页0 定积分概念与性质定积分概念与性质你现在浏览的是第二页，共77页分割分割你现在浏览的是第三页，共77页取近似取近似你现在浏览的是第四页，共77页求和求和取极限取极限2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程你现在浏览的是第五页，共77页（1 1）分割分割 你现在浏览的是第六页，共77页（2）取近似取近似你现在浏览的是第七页，共77页分割，取近似，求和，取极限分割，取近似，求和，取极限(3)(3)求和求和（4）取极限取极限你现在浏览的是第八页，共77页二二.定积分的定义定积分的定义1.1.定义定义你现在浏览的是第九页，共77页你现在浏览的是第十页，共77页你现在浏览的是第十一页，共77页曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速运动的路程变速运动的路程定理定理1.1.设设f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上有界上有界,且有有限个且有有限个第一类间断点第一类间断点,则则f(x)f(x)在在a,ba,b上可积上可积.注注(1)(1)定积分是一个数值定积分是一个数值与被积函数有关。与被积函数有关。(2)(2)定积分的值与区间的分法无关定积分的值与区间的分法无关,2.2.定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件(3)(3)定积分的值只与区间长度有关，定积分的值只与区间长度有关，与与 的取法无关的取法无关你现在浏览的是第十二页，共77页3.定积分的几何意义定积分的几何意义你现在浏览的是第十三页，共77页例例1 1 利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算你现在浏览的是第十四页，共77页你现在浏览的是第十五页，共77页三三.定积分的性质定积分的性质你现在浏览的是第十六页，共77页对于c在区间 a,b之内或之外,结论同样成立你现在浏览的是第十七页，共77页你现在浏览的是第十八页，共77页几何解释：几何解释：在在a,ba,b上至少存在一点上至少存在一点,使曲边梯形的面积使曲边梯形的面积等等于以于以 为高的一个矩形面积为高的一个矩形面积 你现在浏览的是第十九页，共77页你现在浏览的是第二十页，共77页 定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系一一.变上限的定积分及其导数变上限的定积分及其导数你现在浏览的是第二十一页，共77页你现在浏览的是第二十二页，共77页你现在浏览的是第二十三页，共77页定理表明:(1)连续函数一定存在原函数(2)把定积分与原函数之间建立起联系二二.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式你现在浏览的是第二十四页，共77页你现在浏览的是第二十五页，共77页你现在浏览的是第二十六页，共77页第四节第四节 定积分的换元积分法与分布积分法定积分的换元积分法与分布积分法一一.定积分的换元积分法定积分的换元积分法注意:换元的同时一定要换限你现在浏览的是第二十七页，共77页你现在浏览的是第二十八页，共77页你现在浏览的是第二十九页，共77页你现在浏览的是第三十页，共77页你现在浏览的是第三十一页，共77页你现在浏览的是第三十二页，共77页你现在浏览的是第三十三页，共77页你现在浏览的是第三十四页，共77页你现在浏览的是第三十五页，共77页你现在浏览的是第三十六页，共77页二二.定积分的分布积分法定积分的分布积分法你现在浏览的是第三十七页，共77页你现在浏览的是第三十八页，共77页你现在浏览的是第三十九页，共77页你现在浏览的是第四十页，共77页你现在浏览的是第四十一页，共77页 定积分应用定积分应用定积分的微元分析法定积分的微元分析法用定积分表示的量用定积分表示的量U U必须具备三个特征必须具备三个特征:一一.能用定积分表示的量所必须具备的特征能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)(3)部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为二二.微元分析法微元分析法则则U U相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量;用定积分表示量用定积分表示量U U的基本步骤的基本步骤:(1)U(1)U是与一个变量是与一个变量xx的变化区间的变化区间a,ba,b有关的量有关的量;(2)U(2)U 对于区间对于区间a,ba,b具有可加性具有可加性.即如果把区即如果把区a,b a,b 分成许多部分区间分成许多部分区间,你现在浏览的是第四十二页，共77页(1)(1)根据问题的具体情况根据问题的具体情况,选取一个变量选取一个变量(2)(2)在区间在区间a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值.在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积,就把就把 称为量称为量U U的微元且记作的微元且记作 ,即即如果如果 能近似地表示为能近似地表示为a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数例如例如xx为积分变量为积分变量,并确定其变化区间并确定其变化区间a,b;a,b;你现在浏览的是第四十三页，共77页(3)(3)以所求量以所求量U U的微元的微元 为被积表达式为被积表达式,在区间在区间a,ba,b上作定积分上作定积分,得得 平面图形的面积平面图形的面积一一 直角坐标情形直角坐标情形1.1.曲边梯形曲边梯形当当ff(xx)在在a,ba,b上连续上连续时时,由曲线由曲线yy=ff(xx)和和xx=a,=a,xx=b=b及及xx轴轴所围成的曲边梯形面积就是所围成的曲边梯形面积就是你现在浏览的是第四十四页，共77页2.一般图形一般图形以及两条直线以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为之间的图形的面积微元为如果函数如果函数 在在a,b上连续上连续,且且 则介于两条曲线则介于两条曲线你现在浏览的是第四十五页，共77页 注意注意:根据具体的图形特点根据具体的图形特点,也可也可以选择作为积分变量或者利用图以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算形的对称性简化计算.例例1 求椭圆的面积求椭圆的面积(如图如图).解解 由对称性由对称性,椭圆的面积椭圆的面积其中其中为椭圆在第一象限部分为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为则图形的面积为你现在浏览的是第四十六页，共77页则则例例2 求由求由所围图形面积所围图形面积.解解 两抛物线的交点为两抛物线的交点为(0,0)及及(1,1).取取x为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为0,1.由前面讨论可知由前面讨论可知:(1,1)oyx你现在浏览的是第四十七页，共77页例例3 求由求由所围图形面积所围图形面积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(2,-2)及及(8,4).根据此图形特点根据此图形特点,可以选择可以选择y作为积分变量作为积分变量,其变化区间为其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为图形的面积微元为:从而可得图形面积从而可得图形面积你现在浏览的是第四十八页，共77页二二.极坐标情形极坐标情形1.曲边扇形曲边扇形其中其中r()在在 ,上连续上连续,且且r()0.相应于相应于,+d 的面积微元为的面积微元为则图形面积为则图形面积为o r=r()设图形由曲线设图形由曲线r=r()及射线及射线=,=所围成所围成.取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,你现在浏览的是第四十九页，共77页2.一般图形一般图形及射线及射线=,=所围图形的面积微元为所围图形的面积微元为 则面积为则面积为o相应于相应于 从从 0到到2 的一段弧与极轴的一段弧与极轴所围图形的面积所围图形的面积.解解 如图如图,可视为可视为=0,=2 及及r=a 围成的曲边扇形围成的曲边扇形.则其面积为则其面积为o 由曲线由曲线 例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)上上你现在浏览的是第五十页，共77页NoM例例5 求求r=1与与r=1+coscos 所围公共面积所围公共面积.解解 如图如图,曲线交点为曲线交点为由对称性由对称性则则而而你现在浏览的是第五十一页，共77页三三.参数方程情形参数方程情形 当曲边梯形的曲边为参数方当曲边梯形的曲边为参数方x=x=(t),y=(t),y=(t)(t),且且()=a,)=a,()=b,)=b,在在 ,上上(t)(t)有连续导数有连续导数,(t)(t)连续连续,则则曲边梯形面积面积为曲边梯形面积面积为在例在例1中中,若采用椭圆的参数方程若采用椭圆的参数方程则则你现在浏览的是第五十二页，共77页 立体的体积立体的体积一一.平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积点点xx且垂直于且垂直于xx 轴的截面面积轴的截面面积.如图如图,体积微元为体积微元为dV=A(xx)dxx,则体积为则体积为 例例1 如图如图,从圆柱体上截下一块楔形体从圆柱体上截下一块楔形体,abx求其体积求其体积.取取xx为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b.设立体介于设立体介于xx=a,xx=b之间之间,A(xx)表示过表示过你现在浏览的是第五十三页，共77页则则边长分别为边长分别为y和和ytan .因此因此如图如图,过过x的截面是直角三角形的截面是直角三角形,解解-RRyxoxy你现在浏览的是第五十四页，共77页xyoRh高为高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.底边长为底边长为2y,高为高为h.因此因此 则则过过x的截面是等腰三角形的截面是等腰三角形,解解 如图如图,例例2 求以圆为底求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶平行且等于底圆直径的线段为顶,你现在浏览的是第五十五页，共77页称为旋转体称为旋转体.则如前所述则如前所述,可求得截面面积可求得截面面积二二.旋转体的体积旋转体的体积则则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图设旋转体由图1的曲边梯形绕的曲边梯形绕x轴形成轴形成.yxaby=f(x)ox图图1你现在浏览的是第五十六页，共77页 同理同理,如旋转体由图如旋转体由图2的曲边梯形绕的曲边梯形绕y轴形成轴形成.ycoxdx=(y)例例3 求如图直角三角形绕求如图直角三角形绕x轴轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的圆锥体的体积.解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为由公式得由公式得yoxP(h,r)则体积为则体积为图图2图图3你现在浏览的是第五十七页，共77页例例4 求星形线求星形线绕绕x轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积解解 由对称性及公式由对称性及公式aaxy你现在浏览的是第五十八页，共77页 例例5 求圆心在求圆心在(b,0),半径为半径为a(ba)的圆绕的圆绕y轴旋转而成的环状轴旋转而成的环状体的体积体的体积.yxoba解解 圆的方程为圆的方程为,则所求体积可视为则所求体积可视为曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线分别与直线y=-a,y=a及及y轴所围成的轴所围成的则则你现在浏览的是第五十九页，共77页例例 证明：由平面图形证明：由平面图形 绕绕 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为柱壳法柱壳法就是把旋转体看成是以就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，一系列圆柱形薄壳组成的，即为圆柱薄壳即为圆柱薄壳当当dxx很小时，此小柱体的高看作很小时，此小柱体的高看作ff（xx），），以此柱壳的体积作为体积元素，以此柱壳的体积作为体积元素，你现在浏览的是第六十页，共77页在区间在区间 上上柱壳体的体积元素为柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长光滑曲线可应用定积分求弧长.若函数若函数y=f(x)的导函数在区间的导函数在区间a,b上连续上连续,则称曲线则称曲线y=ff(xx)为区间为区间a,b上的光滑曲线上的光滑曲线,你现在浏览的是第六十一页，共77页一一.直角坐标情形直角坐标情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替可用相应的切线段近似代替.即即则弧长微元则弧长微元(弧微分弧微分)故弧长为故弧长为oyxdyabdxy=f(x)取取xx为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.a,b内任意小区间内任意小区间xx,xx+d xx的一段弧长的一段弧长你现在浏览的是第六十二页，共77页 例例1 1 求曲线求曲线相应于相应于xx从从aa到到bb的一段弧长的一段弧长.解解 你现在浏览的是第六十三页，共77页例例2 求求的全弧长的全弧长.解解 y=y(xx)的定义域为的定义域为,故弧长为故弧长为:二二.参数方程情形参数方程情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:弧长微元弧长微元则如前所述则如前所述,你现在浏览的是第六十四页，共77页例例4 求星形线求星形线的弧长的弧长.解解 由对称性及公式由对称性及公式你现在浏览的是第六十五页，共77页例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)上上相应于相应于 从从0到到2 的一段弧长的一段弧长.解解三三.极坐标情形极坐标情形设曲线方程设曲线方程:r=r()().化为参数方程化为参数方程:则则你现在浏览的是第六十六页，共77页定积分的物理应用定积分的物理应用一一.变力沿直线作功变力沿直线作功若物体在常力若物体在常力F作用下沿作用下沿F方向移动方向移动s距离距离,.由由xx=a移到移到xx=b,可用微元法解决做功问题可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则则F(x)abx x+dx则则W=Fs 若物体在变力若物体在变力F(xx)作用下沿力的方向作用下沿力的方向 取取xx为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.相应于任意小区间相应于任意小区间xx,xx+dxx的功的微元的功的微元你现在浏览的是第六十七页，共77页 例例1 设设9.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1厘米厘米,解解从而从而由公式由公式(焦耳焦耳)例例2 形如圆锥台的形如圆锥台的水桶水桶内盛满了水内盛满了水(如图如图),解解 设想将水分成许多薄层设想将水分成许多薄层,问将全部水吸出需作多少功问将全部水吸出需作多少功?(水比重为水比重为9800牛顿牛顿/立方米立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸长求伸长10厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k=980.F=9.8牛顿牛顿,而而xx=0.01米时米时,已知已知 F=kxx,F=980 xx.吸出各层水所作的功的总和即为所求吸出各层水所作的功的总和即为所求.你现在浏览的是第六十八页，共77页 取取xx为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为则则 例例3 一桶水重一桶水重10kg,由一条线密度由一条线密度0.1kg/m的的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元因此功的微元吸出这层水的位移近似于吸出这层水的位移近似于xx.的薄层水近似于圆柱的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间相应于任意小区间xx,xx+dxx绳子系着绳子系着,将它从将它从20m深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?你现在浏览的是第六十九页，共77页 解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为 将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为则所作的总功为xo20 xx+dx即变力沿直线作的功为即变力沿直线作的功为你现在浏览的是第七十页，共77页二二.静液压力静液压力 设有一面积为设有一面积为A的平板的平板,水平放置在液体下深度水平放置在液体下深度h处处,则平板一侧所受压力为则平板一侧所受压力为 N=h A.(为液体比重为液体比重)则平板一侧所受压力须用微元法解决则平板一侧所受压力须用微元法解决.取取xx为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水近似于水深深xx处处水平放置的水平放置的长方形窄条所受的压力长方形窄条所受的压力.相应于相应于xx,xx+dxx的窄条所受到的压力的窄条所受到的压力 如果平板垂直放置在液体下如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形为例以如图曲边梯形为例:你现在浏览的是第七十一页，共77页则压力微元为则压力微元为dN=xxydxx=xxf(xx)dxx因此整个平板所受压力为因此整个平板所受压力为 例例4 一个横放的半径为一个横放的半径为R的圆柱形的圆柱形油桶内有半桶油油桶内有半桶油(比重比重),求一个端面求一个端面所受的压力所受的压力.解解 由对称性由对称性从而转化为上述曲边梯形情形从而转化为上述曲边梯形情形,即即oxyabxx+dxy=f(x)xyo你现在浏览的是第七十二页，共77页例例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解解 由对称性由对称性也可转化为曲边梯形情形也可转化为曲边梯形情形,曲边为曲边为则压力为则压力为三三.引力引力由万有引力定律由万有引力定律,两质点之间的引力为两质点之间的引力为若要计算细棒对质点的引力若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决须用微元法解决.2o2xy(2,1)你现在浏览的是第七十三页，共77页 例例6 设有质量为设有质量为M,长度为长度为l的均匀细杆的均匀细杆,任意小段任意小段x,x+dx近似于质点近似于质点,且质量为且质量为则引力微元为则引力微元为oxx+dx xal另有一质量为另有一质量为m的质点位于同一直线上的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为且到杆的近段距离为a,求杆对求杆对质点的引力质点的引力.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为0,l,你现在浏览的是第七十四页，共77页则引力为则引力为oxx+dx xal四四.连续函数的平均值连续函数的平均值n个数的平均值为个数的平均值为而连续函数而连续函数f(x)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值,需要用定积分计算需要用定积分计算.你现在浏览的是第七十五页，共77页将将a,bn等分等分,在每个小区间上依次任取在每个小区间上依次任取则则由定积分定义可知由定积分定义可知你现在浏览的是第七十六页，共77页例例1 求从求从0秒到秒到T秒这段时间内秒这段时间内自由落体的平均速度自由落体的平均速度.解解 注意注意:积分中值定理中的积分中值定理中的f()就是就是f(xx)在区间在区间a,b上的平均值上的平均值.你现在浏览的是第七十七页，共77页