高二数学函数的最值与导数.ppt

高二数学函数的最值与导数现在学习的是第1页，共44页aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数现在学习的是第2页，共44页二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值.使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点现在学习的是第3页，共44页xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值。现在学习的是第4页，共44页求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求函数的导数）求函数的导数f(x)（3）求方程）求方程f(x)=0的根的根（4）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，的根左右的符号，来判断来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况现在学习的是第5页，共44页 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。现在学习的是第6页，共44页知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满满足：足：1最大值最大值:（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值:一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满满足：足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0 I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 现在学习的是第7页，共44页观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值.在闭区间上在闭区间上的连续函数的连续函数必有最大值必有最大值与最小值与最小值因此：该函数没有因此：该函数没有最值。最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)现在学习的是第8页，共44页xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。现在学习的是第9页，共44页 观察右边一个定义在区观察右边一个定义在区间间a,b上的函数上的函数y=f(x)的的图象：图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)现在学习的是第10页，共44页(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)；新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.现在学习的是第11页，共44页典型例题典型例题1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、计算；、计算；3、比较确定最值。、比较确定最值。例例1 1、1 1、现在学习的是第12页，共44页动手试试动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：现在学习的是第13页，共44页典型例题典型例题反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。从而解决问题，往往伴随有分类讨论。现在学习的是第14页，共44页拓展提高拓展提高1、我们知道，如果在闭区间、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数上函数y=f（x）的）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把那么把闭区间闭区间【a，b】换成开区间（换成开区间（a,b）是否一定有最值是否一定有最值呢？呢？如下图：如下图：不一定不一定2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。3、如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。这个极值点必定是最值点。现在学习的是第15页，共44页有两个极值点时，函数有无最值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。现在学习的是第16页，共44页动手试试动手试试现在学习的是第17页，共44页现在学习的是第18页，共44页 4 4、函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的最上的最大值为大值为()()A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C2022/10/1819现在学习的是第19页，共44页1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法法一一、将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+6配配方方，利利用用二二次函数单调性处理次函数单调性处理选做题：现在学习的是第20页，共44页1.求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值 故故函函数数f(x)在在区区间间1，5内内的的极极小小值值为为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 解法二、解法二、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112现在学习的是第21页，共44页2 2、解令解得x0(0,)(,)+-+00(,)0现在学习的是第22页，共44页 应用应用(2009年天津（文）21T)处的切线的斜率；设函数 其中（1）当 时，求曲线 在点（2）求函数 的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)现在学习的是第23页，共44页四、实际应用四、实际应用1.实际问题中的应用实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的常常会遇到求函数的最大最大(小小)值的问题值的问题.建立目标函数建立目标函数,然后利用导数的方法求最然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个有时会遇到函数在区间内只有一个点使点使 的情形的情形,如果函数在这个点有极大如果函数在这个点有极大(小小)值值,那么不与端点值比较那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大(小小)值值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数单峰函数”.现在学习的是第24页，共44页例例1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮的四角切去相等方形铁皮的四角切去相等的正方形的正方形,再把它的边沿虚再把它的边沿虚线折起线折起(如图如图),做成一个无做成一个无盖的方底箱子盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子的容箱子的容积很小积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.现在学习的是第25页，共44页类题类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径它的高与底半径 应怎样选取应怎样选取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省?解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.现在学习的是第26页，共44页例例2:如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千米则公路上每吨千米的运费为的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总的总运费为运费为现在学习的是第27页，共44页令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时千米时,总运费最总运费最省省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找的要找的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.练习练习:已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为R,高为高为H,求内接于这个圆求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答答:设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为r,可得可得r=R(H-h)/H.易得当易得当h=H/3 时时,圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用与数学中其它分支的结合与应用.现在学习的是第28页，共44页xy例例1:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0时，xln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x0上单调递增，从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0现在学习的是第31页，共44页练习3:当x1时,证明不等式:证:设 显然f(x)在1,+)上连续,且f(1)=0.现在学习的是第32页，共44页显然,当x1时,故f(x)是1,+)上的增函数.所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,现在学习的是第33页，共44页例例4:证明不等式证明不等式:证证:设设则则令令 ,结合结合x0得得x=1.而而0 x1时时,所以所以x=1是是f(x)的的极小值点极小值点.所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即:成立成立.现在学习的是第34页，共44页思考题：思考题：（04浙江文浙江文21）（本题满分）（本题满分12分）分）已知已知a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若若 ，求求 在在-2，2上上的的最最大值和最小值；大值和最小值；（）若若 在在(-，-2和和2，+)上上都都是是递递增增的，求的，求a的取值范围。的取值范围。2a2现在学习的是第35页，共44页五、小结五、小结1.求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的上的 最值的步骤最值的步骤:(1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未内未 必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不不 要忘记在步骤要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极值要把这些点的函数值与各极值 和和f(a)、f(b)放在一起比较放在一起比较.现在学习的是第36页，共44页3.应用问题要引起重视应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大存在最大(小小)值值,而且函数在这个定义域内又只有而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点唯一的极值点,那么立即可以判定那么立即可以判定,这个极值点的函这个极值点的函 数值就是最大数值就是最大(小小)值值,这一点在解决实际问题时很这一点在解决实际问题时很 有用有用.六、作业六、作业第一次第一次p.253254课后强化训练第课后强化训练第18题题;第二次第二次p.255256课后强化训练第课后强化训练第16题及题及9,10题题.现在学习的是第37页，共44页导数导数导数的定义导数的定义求导公式与法则求导公式与法则导数的应用导数的应用导数的几何意义导数的几何意义多项式函数的导数多项式函数的导数函数单调性函数单调性函数的极值函数的极值函数的最值函数的最值现在学习的是第38页，共44页基本练习基本练习 1、曲曲线线y=x4-2x3+3x在在点点P(-1，0)处处的的切切线线的的斜斜率率为为()(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2、函数、函数y=x100+2x50+4x25的导数为的导数为()(A)y=100(x99+x49+x24)(B)y=100 x99 (C)y=100 x99+50 x49+25x24 (D)y=100 x99+2x49 现在学习的是第39页，共44页3、已知过曲线、已知过曲线y=x3/3上点上点P的切线方程为的切线方程为12x-3y=16，则点，则点P的坐标为的坐标为 .4、函数、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-,-1)(D)(-,-1)，(1,+)5、若若函函数数y=a(x3-x)的的递递减减区区间间为为()，则则a的取值范围为的取值范围为()(A)a0 (B)1a1 (D)0a1 现在学习的是第40页，共44页6、当、当x(-2,1)时，时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是是()(A)单调递增函数单调递增函数 (B)单调递减函数单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减部份单调增，部分单调减 (D)单调性不能确定单调性不能确定 7、如如果果质质点点M的的运运动动规规律律为为S=2t2-1，则则在在一一小小段时间段时间2，2+t中相应的平均速度等于中相应的平均速度等于()(A)8+2t (B)4+2t (C)7+2t (D)8+2t 现在学习的是第41页，共44页例例1、若两曲线若两曲线y=3x2+ax与与y=x2-ax+1在点在点x=1处的切线互相平行，求处的切线互相平行，求a的值的值.分析分析 原题意等价于函数原题意等价于函数y=3x2+ax与与 y=x2-ax+1在在x=1的导数相等，的导数相等，即：即：6+a=2-a 现在学习的是第42页，共44页例例2 、已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c通过点通过点P(1，1)，且在点且在点Q(2，-1)处与直线处与直线y=x-3相切，求实数相切，求实数a、b、c的值的值.分分析析 由由条条件件知知：y=ax2+bx+c在在点点Q(2，-1)处处的的导数为导数为1，于是，于是 4a+b=1 又又点点P(1，1)、Q(2，-1)在在曲曲线线y=ax2+bx+c上上，从而从而 a+b+c=1且且4a+2b+c=-1 现在学习的是第43页，共44页例例3 已知已知P为抛物线为抛物线y=x2上任意一点，则当点上任意一点，则当点P到到直线直线x+y+2=0的距离最小时，求点的距离最小时，求点P到抛物线准到抛物线准线的距离线的距离 分析分析 点点P到直线的距离最小时，抛物线在点到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为处的切线斜率为-1，即函数在点，即函数在点P处的导数为处的导数为-1，令，令P(a,b),于是有：于是有：2a=-1.现在学习的是第44页，共44页