概率论第四章书后习题答案.pdf

概率论第四章概率论第四章1 E（）13+116+2*1/2=7/6（答案由陈冲提供）2 E(X)=4*0.5+5*0.2+6*0.1+7*0.1+8*0.04+9*0.03+10*0.03=5.91说明：书后答案有误。（答案由陈冲提供）3.E(X)=480.1+490.1+500.6+510.1+520.1=50E(Y)=480.2+490.2+500.2+510.2+520.2=50（答案由陈晶晶提供）4.X-1023P1/81/43/81/4X21049E(X)=-11/8+0+23/8+31/4=11/8E(X2)=11/8+0+43/8+91/4=31/8（答案由陈晶晶提供）5X1234P P0.20.20.10.10.60.60.10.1E(x)=10.2+20.1+30.6+40.1=2.6（答案由程晓萍提供）6由题得：1f(x)F(x)011x21x1其它E(x)1xfxdxx1dx111d(1x2)12 1x211(00)011x2211x221（答案由程晓萍提供）7.F(1)1A 11A1E(x)102 x2dx23（答案由丁一超提供）8.E(x)10 x2dx21(2 x x2)dx 1（答案由丁一超提供）3 xx9.E(X)dx 3d(x 1)440(x 10)(x 1)t x 1,1 t t 11113dt 3dt 3dt434111ttt210.(1)E(Y)E(2 X)(2)E(Y)E(e 2 X02 xe xdx 2)0e 2 xe x1dx3（答案由冯强提供）11.11.设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的分布为的分布为X XP P 0 1 2 0 1 2 1/3 1/6 1/2 1/3 1/6 1/2求求 D D（X X）解：由题意得，解：由题意得，,（答案由葛汉亮提供）12.12.离散型随机变量离散型随机变量 X X 的分布为的分布为X XP P 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 0.5 0.2 0.1 0.1 0.04 0.03 0.03 0.5 0.2 0.1 0.1 0.04 0.03 0.03求求 D D（X X）解：解：（答案由葛汉亮提供）13、设随机变量 x 的分布为XP求 D(X)解：E(X)=-1/8+6/8+3/4=11/8E(X2)=1/8+2/3+9/4=31/8D(X)=31/8-(11/8)2=127/64（答案由耿娇提供）-11/801/423/831/411 x21 x 114.设 X 的概率密度函数为f(x)0其他求 D(X)1x11122解：E(X)=dx d1 x 1 x2 1 11 x1x22E(X)dx2 11 x112 xd1 x1 1 0 11121 x1 x 11 x2dx 11121 xdx 11x1 x2 arcsinx1 121arcsin1 arcsin 121212112D(X)E(X2)E(X)0 22（答案由耿娇提供）15.设X 的概率密度函数为 2 x,0 x10,其他求X 的方差DX。fx21解：DXE又E1XEX2XE2x1002112xfxdx2 x2dx003x2fxdx2 x3dxD12X=-232118（答案由黄丽提供）16 设 X 的概率密度为 x,0 x 1fx2 x,1 x 20,其他求 EX2及 X 的方差DX。11170141261212222EXx dx 2 x xdx 1 0133271 DX EX2 EX 1 66解：1EX21x dx 322 x2 x3dx（答案由黄丽提供）i149n2E(x)23.n(n )22221149n22E(x)234.n 1222221135n2 nn22E(x)23.n 122222n21157n2 nn22E(x)234.n 2n 1422222111111n2n2 nn22E(x)2(234.n)n 1n 2n42222222211n 12n2 2n3 1 ()222n 232n2 4n322n 232n2 4n32lim E(x)4 limn n 22n 2 62D(x)E(x2)E(x)2 6 4 218.E(x)22x2cos2xdx2x2(1 cos2x)dx0E(x)222x2x22cos2xdx22(1 cos2x)dx212212D(x)E(x)E(x)2121219.(1)A10 x2dx10ydy11A16A6(2)fx12ydy60 x(x)0fy2x2012ydx60 xy02y00 x1others0 x1others0y1others0y1othersE(x)103x3dx3423123E(y)10102y2dy1E(xy)6x3dx0y2dycov(x,y)13202430（答案由计华提供）20Cov(X,Y)D(X)D(Y)E(X)E(abX)abE(X)E(XY)E(aX bX2)aE(X)bE(X2)Cov(X,Y)aE(X)bE(X2)aE(X)b(E(X)2bD(X)D(Y)D(abX)b2D(X)D(X)D(Y)b D(X)1(b 0)1(b 0)（答案由计华提供）21.已知随机变量X与Y的相关系数为，求 X1aXb与Y1cYd的相关系数，其中a,b,c,d 均为常数解：cov(X1,Y1)cov(aXb,cYd)E(X1,Y1)E(X1)E(Y1)E(acXYadXbcYbd)E(aXb)E(cYd)acE(XY)adE(X)bcE(Y)bdaE(X)bcE(Y)dacE(XY)adE(X)bcE(Y)bdacE(X)E(Y)adE(X)bcE(Y)bdacE(XY)E(X)E(Y)acCOV(X,Y)因为：D(X1)D(aXb)a2D(X)D(Y1)D(cYd)c2D(Y)COV(X1,Y1)acCOV(X,Y)X1Y1D(X1)D(Y1)ac D(X)D(Y)又因为：COV(X,Y)=D(X)D(Y)acX1Y1ac（答案由刘莎莎提供）22.解：1 1E(XY)xy(x y)dxdy 0 01311(x y)dy x,0 x 1 fX(x)020,其他1715E(X)x(x)dx,E(X2)x2(x)dx 21221200D(X)E(X2)E(X)2111114411(x y)dx y,0 y 1fY(y)020,其他1715E(Y)y(y)dy,E(Y2)y2(y)dy 21221200D(Y)E(Y2)E(Y)Cov(X,X)D(X)21111144111,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)144144111Cov(Y,X)E(XY)E(X)E(Y),Cov(Y,Y)D(Y)1441441 11144144协方差矩阵:111 144144Cov(X,X)Cov(X,Y)11,11D(X)D(X)D(X)D(Y)Cov(Y,X)1Cov(Y,Y),111D(Y)D(Y)D(Y)D(X)1 111相关系数矩阵:11 1123 设 X 的分布律为X-1012P0.3a0.2bE(x)=0.5，求 PX21解：E(x)=0.5即（-1）0.3+10.2+2b=0.5b=0.3又0.3+a+0.2+0.3=1a=0.2PX21=PX1+PX-1=PX=1+PX=2+PX=-1=0.2+0.3+0.3=0.8（答案由钱贾蕾提供）24.随机变量x的概率密度为2A 1 x,1 x 1 f(x)=0,其他求（1）常数A（2）E(x)解：(1)f(x)dx A 1 x2111令x sin x1,1,，2 22Acosdsin122A2cos2112A 21（2）E(x)=21x 1 x2dx x(2)()1 x2dx12123222()(1 x)2 043（答案由桑圣莉提供）25.pX 093124pX 13*99121144pX 23*2*99121110220pX 33*2*1*911212109220Ex4 2*9 3*1 0.39922022032 0pX492 1pX4492 4pX22012 9pX2204 4*9 9*192Ex9922022022222DxExEx90.3 0.3222（答案由宋颖提供）26.解：设第一种方案的盈亏情况为X1，第二种方案为 X2，第三种方为E(X1)=(-350)0.1+3000.2+5000.7=60E(X2)=00.1+4500.2+4500.7=121.5E(X3)=1000.1+1500.2+(-100)0.7=-30由题意可知，期望值越大，则方案越佳。因此，第二方案最佳。（答案由徐春燕提供）27.由题意可知：甲，乙相互独立E（X1）=8.69E(X2)=8.64案X1X2X3P-35001001030045015020500450-10070X3。E(X1X2)=E(X1)E(X2)=75.0816E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=17.33(答案由薛嵋月提供)1x28.随机变量 X的密度分布函数为 f(x)=e,-x+,求E（X），E（X2）,D(X)。2解：(1)E(X)=xf(x)dx01x1x1x e dxx e dxx exdx0222101xxde xdex22011(1)(1)220(2)E(X2)x2f(x)dx01x11x2 e dxx2 exdxx2 exdx0222102x12xx de x de22010 x21x2e dx e dx220 xde xdex00 x112(3)D(X)E(X2)E(X)20221,k=1,2,3,4,5。求5（答案由余倩提供）29.设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=EX,EX2,E(X 2)2。解:已知此为离散的随机变量，且 PX=k=,k=1,2,3,4,5。所以1 2 3 4 5=3E(X)151515151515X 1,2,3,4,5.X21,4,9,1 6,2 5.1515151515E(X2)1+4+9+16+25=11(X 22)9,1 6,2 5,3 6,4 9.1+1 6511+2 5+3 6551+4 9=2 751E(X 2)52（答案由禹琴提供）30 ve vt(t 0)p(t)P(t)解：其它0即 p(t)服从指数分布由此得 E(t)=1/v（答案由张玲玉提供）31.某人的一串钥匙有 N 把，其中只有一把能开自己的门，他们随意地试用这些要是。试求试用次数的数学期望与方差。假设：（1）每次把试用过的钥匙分开；（2）每次把试用过的钥匙又混杂进去。解：(1)设每一把钥匙为能开门的那把概率为 F(x)F(x)n1nE(x)xx111nn22n21n12D(x)E(x)E(x)xxnx1nx111n2n21(n1)(2n1)()62122(2)11F(x)(1)x1nn(x 1,2,3.n)1E(x)x(1)nx1n2nx111nn(几何分布 E(x)=p)n1111 pD(x)2x(1)x12 n(n1)pnx1nn1D(x)x(1)nx1x1（答案由张文沛提供）32.12f(t)dt 1220Axex0dx 122A2exAe2x2222dx222110A211A 2E(x)0 xf(x)dx 2120 x2ex222dxxdex xex22222x2e22d x0022ex022dx22(2)Px Ex P x 212222xexx2d 2222 ex e222（答案由张晓珍提供）33 15000 件产品中有 1000 件废品，从中抽取 150 件进行检查，求查得的废品数的数学期望。解：本题符合二项分布，则有公式 E（x）npp所以 E（x）15011015100011500015（答案由赵晓凡提供）342min120s1(0 x2)f(x)20(x0 andx2)abE(X)1 s2(ba)2D(X)1200s12（答案由赵逸凡提供）35解：由题可得Xp234npqn-1+qpn-1pq+qpppq+qqppppq+qqqp(q=1-p)所以服从几何分布由此得：E(X)=(1/p-p)+(1/q-q)=p2-p+1/p(1-p)（答案由宗希捷提供）36、设二维随机向量（X,Y）只能取下列数组中的值：（0,0），（1,1），1（1，1/3），（2,0），且这些组值的概率依次为6求E解：Y0X011613511，12，12。3X,EY及（X,Y）的协方差CovX,Y。1013011202XP5120001615122512555由此得出EX12 12124YP07121311211311113 E Y 由此得出312336071213112XYP11311113E XY 由此得出31233613513 Cov(X,Y)EXY EXEY1336364144(答案由张瑜提供)37.设（X,Y）服从区域D的均匀分布（见下图）。求（1）X,Y的联合密度；（2）数学期望E(X),E(Y),E(XY).y1D012x解：（1）由题意可知，S=2 1=12f(x,y)=1=1S00 x 2,0y 1其他(2)E(X)=+?1x2x+2xf(x,y)dxdy=xdydx+xdydx蝌-蝌蝌0010122=蝌x dx+(-x2+2x)dx=101+?1x2x+21E(Y)=蝌yf(x,y)dxdy=蝌ydydx+蝌ydydx=-00103+1x2-x+21E(XY)=蝌xyf(x,y)dxdy=蝌xydydx+xydydx=-00103(答案由黄凤提供)38解：因 为（X，Y）在 矩 形 区 域 D=(x,y)a x b,c y d内dc0ab1a x b,c y d f(x,y)b a.d c0其他又f(x)f(x,y)dy1d=cb a.d c0其他axbd c=b a.d caxb0其他f(y)f(x,y)dxb a=b a.d ccyd0其他E(x)x.f(x)dx=(d c)xb a.d cdxbx=a2b a.d cd c2=(d c)(b a)(b a)2b a.d cE(y)=y.f(y)dy=(b a)yb a.d cdy(b a)(d c)(d c)2b a.d cbddyE(xy)=adxcxy.1b a.d c=a=bx(d2c2)2b a.d cdx(d c)(d c)(b a)(b a)4b a.d cCov(x,y)E(xy)E(x).E(y)=(d2c2)(b2a2)4ba.d c(d2c2)(b2a2)(ba)(d c)4ba.d c22=0 xy 0 x与y不相关又f(x,y)f(x)f(y)x与y独立（答案由阚梁燕提供）阚梁燕提供）39、设随即向量x,y具有联合密度函数 1fx,yR20 x2 y 2Rx2 y2 R2(R 0)试证：X 与 Y 不相关，但不独立。证：1、当x2 y2 R2时，ExyRRR2x2xydydxR2x2R2，因为R2x2xyxy2R2x2dy/22R2x2R22R2 R x 0所以Exy 0当x2 y2 R2时，Exy 0ExRRR2x2x22R2x2x2x R xdydxR2x2R2，R2x22dy，2RR23222x R2 x23R x2RR2dx 2RRR/R 0，所以Ex0同理得Ey0因为Exy ExEy，即Covx,y 0，所以 X 与 Y 不相关fXxfYy2、因为12dy RR2RR12fx,ydx dx RR2Rfx,ydy Rx2 y2 R2，x2 y2 R2所以fx,y fXxfYy，即 X 与 Y 不独立