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-高中数学专题练习题集-第 183 页 高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算与之间的互化关系也是高考的一个热点.3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等基础练习1.已知是等比数列，则=_.解析数列仍是等比数列,其首项是公比为所以, ，则数列的通项公式= 解析数列是等比数列，则3数列an满足a12，a21，并且(n2)，则数列an的第100项为 .解析 由已知可得：，n2，是等差数列，a100.一. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a_解析 由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解一元二次方程得q1(舍去，否则三个实数相等)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，所以Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Sn.考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。令，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是.考向二数列与函数的综合应用【例2】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则×并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】 设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7_解析 记公差为d，则f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)7(a43d3)3(a42d3)3(a42d3)3(a43d3)37a477(a43)37×3(a43)7a47.由已知，7(a43)37×3(a43)7a4714，即7(a43)37×3(a43)7(a43)0，(a43)34(a43)0.因为f(x)x34x在R上为增函数，且f(0)0，故a430，即a43，a1a2a77a47×321.考向三数列与不等式的综合应用热身：设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【答案】【例3】 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*. (1)设bn11，nN*，求证：数列 是等差数列；一、 设bn1·，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值(2)因为an>0，bn>0，所以ab<(anbn)2，从而1<an1.(*)设等比数列an的公比为q，由an>0知q>0.下证q1.若q>1，则a1<a2，故当n>logq时，an1a1qn>，与(*)矛盾； 若0<q<1，则a1>a2>1，故当n>logq时，an1a1qn<1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以1<a1.又bn1··bn(nN*)，所以bn是公比为的等比数列若a1，则>1，于是b1<b2<b3.又由a1得bn，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以a1，从而bn.所以a1b1. 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理【巩固练习】已知an为等比数列，下面结论中正确的是_.(1)a1a32a2 (2)aa2a (3)若a1a3，则a1a2 (4)若a3>a1，则a4>a2 解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2) 2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是_. 解析：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 中，已知，则的取值范围是 .答案：拓展错误!未指定书签。（2012年高考（广东理）设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.错误!未找到引用源。解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是. 【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算与之间的互化关系也是高考的一个热点.3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等基础练习1.已知是等比数列，则=_.解析数列仍是等比数列,其首项是公比为所以, ，则数列的通项公式= 解析数列是等比数列，则3数列an满足a12，a21，并且(n2)，则数列an的第100项为 .解析 由已知可得：，n2，是等差数列，a100.二. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a_解析 由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解一元二次方程得q1(舍去，否则三个实数相等)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，所以Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Sn.考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。令，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是.考向二数列与函数的综合应用【例2】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则×并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】 设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7_解析 记公差为d，则f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)7(a43d3)3(a42d3)3(a42d3)3(a43d3)37a477(a43)37×3(a43)7a47.由已知，7(a43)37×3(a43)7a4714，即7(a43)37×3(a43)7(a43)0，(a43)34(a43)0.因为f(x)x34x在R上为增函数，且f(0)0，故a430，即a43，a1a2a77a47×321.考向三数列与不等式的综合应用热身：设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【答案】【例3】 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*. (1)设bn11，nN*，求证：数列 是等差数列；二、 设bn1·，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值(2)因为an>0，bn>0，所以ab<(anbn)2，从而1<an1.(*)设等比数列an的公比为q，由an>0知q>0.下证q1.若q>1，则a1<a2，故当n>logq时，an1a1qn>，与(*)矛盾； 若0<q<1，则a1>a2>1，故当n>logq时，an1a1qn<1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以1<a1.又bn1··bn(nN*)，所以bn是公比为的等比数列若a1，则>1，于是b1<b2<b3.又由a1得bn，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以a1，从而bn.所以a1b1. 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理【巩固练习】已知an为等比数列，下面结论中正确的是_.(1)a1a32a2 (2)aa2a (3)若a1a3，则a1a2 (4)若a3>a1，则a4>a2 解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2) 2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是_. 解析：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 中，已知，则的取值范围是 .答案：拓展错误!未指定书签。（2012年高考（广东理）设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.错误!未找到引用源。解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是. 高考基本不等式的应用【课程类型】一对一【课时设置】6小时【教学建议】本专题题目选自高考真题，高考模拟题，都是中等题和难题，适合提优。【知识梳理】1基本不等式如果a>0，b>0，那么(当且仅当ab时取“”)2基本不等式的推广与变形a，bR，；a，bR，ab.3极值定理已知x、yR，xyP，xyS.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值2；(2)如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件：各项均为正；积或和为定值；各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”【题型归纳】例1 已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_【解析】 方法一：由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，则m2，所以mn2n(n1)3237(当且仅当“n3”时，取等号)，故mn的最小值为7.方法二：由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，又(当且仅当“m4,n3”时，取等号)，即mn7.【点评】 二元最值问题可根据条件反映的二者之间的关系，然后代入消元后，转化为一元最值如yax类型的问题进行研究，也可以直接用基本不等式求最小值，应该注意“积”定的两个变量,这类问题主要是利用极值定理来求解 【迁移训练】不等式a23b2b(ab)对任意a、bR恒成立，则实数的最大值为_【解析】因为要求的最大值，所以只需要考查b(ab)>0的情况假设b(ab)>0，所以由a23b2b(ab)，设+1t>0，设h(t)(当t2时取等号)h(t)的最小值为2，故的最大值为2.例2已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 .【解析】解法一：，整理得 即，又，.解法二：同例1，转化为一元最值问题.【点评】 用基本不等式将等式转化为不等式求最值主要指用放缩的思想将条件里的等式转化为题目要研究的量的不等式，然后通过求不等式的解集来解决问题.【迁移训练】设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_【解析】 4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)2·2xy1，(2xy)2·21，解之得(2xy) 2，即2xy.例3【解析】由基本不等式推广形式知【点评】需要将转化时应考虑到基本不等式推广形式.【迁移训练】【解析】由条件知例4若实数x，y，z，t满足1xyzt10000，则的最小值为_【解析】 欲使值越小，必须使分子x最小，分母t最大，从而取x1，t10000，得2，所以最小值为.【点评】 本题含有四个变量，只有通过极端原理，将其中两个变量确定后，再由基本不等式求最小值对未知数的认识，可以是一个字母，也可以是一个整式多元问题在处理时方法有三种：一是消元；二是整体思想；三是运用极端假设法去掉某些元素，最终实现减少变元的目的【迁移训练】已知正实数x，y，z满足2x(x)yz，则的最小值为_【解析】 由题知2xyz，即x2，于是可将给定代数式化简得x22，当且仅当yz时取等号例5如图，圆心角为的扇形AOB的半径为1，C为的中点，点D、E分别在半径OA、OB上,若,则的最大值是 .【解析】（解法一）由余弦定理得，由得：，解得，所以时，的最大值为.（解法二）， , 以下同解法一.【点评】基本不等式作为求最值的一种重要的工具，可以结合很多数学知识来考察，解决问题的关键是根据掌握的数学知识将问题转化为前面4种题型里的一种来处理.【迁移训练】设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .【解析】由题设知，椭圆的中心到准线的距离，由，令得，（当且仅当时取等号）即椭圆的中心到准线的距离的最小值例6按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；若他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为，如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A，B两种产品的单价成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单价成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mAmB时，求证：h甲h乙；(2)设mAmB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)设(2)中的最大综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由【解析】设mAx，mBy.(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲；甲卖出产品B的满意度：h2甲.甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲；同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙.当xy时，h甲，h乙，故h甲h乙(2)当xy时，由(1)知h甲h乙，因为，且等号成立当且仅当y10.当y10时，x6，因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.(3)由(2)知h0，因为h甲·h乙，所以，当h甲，h乙时，有h甲h乙.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立【点评】 本题中的关键是对题干中的“满意度”和“综合满意度”的理解，建立好对应的函数模型后，对于形如y(a，d0)这样的函数，可以用基本不等式求解值域【迁移训练】心理学家研究某位学生的学习情况后发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1；若在t(t>0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a<0)，存留量随时间变化的曲线如图181所示当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”(1)若a1，t5，求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围【解析】 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意知，y2(xt)(t>4)，所以yy2y1(xt)(t>4)(1)当a1，t5时，y(x5)121，当且仅当x14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天3） y(xt) 2，当且仅当即x(t4)4时取等号，由题意(t4)4>t，所以4<a<0.【方法与技巧】1不等式的应用主要有两类：(1)一类是不等式在其他数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通(2)一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用基本不等式的有关知识加以解决2对于函数ybx(a>0，b>0)的值域，主要依据基本不等式及函数的单调性应用基本不等式求最值，有两个注意点，一是等号不成立时，要研究函数的单调性；二是基本不等式只能求最大值或最小值，不能求出完整值域【强化训练】1. 设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_【解析】 由x2y3z0得y，代入得3，当且仅当x3z时取“”2. 设a>b>0，则a2的最小值是_【解析】224当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.3. 若a，b，c>0，且a2abacbc4，则2abc的最小值为_【解析】 由题意，(ab)(ac)4，(ab)(ac)24._5.若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_【解析】 x2y2xy1，(xy)2xy1，即(xy)221，(xy)2，xy.4. 若正实数x，y 满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .【解析】185. 已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是 _【解析】由题意得，所以，令，则（当且仅当时等号成立）8.定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是_【解析】易得，所以（当且仅当时取等号）1. 设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0） 的最大值为12，则的最小值为 . 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=10.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)设0<5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.高考三角函数复习该课程共计五次课（十个课时），主要内容为：第一讲 任意角的三角函数及诱导公式第二讲 三角函数的恒等变化第三讲 三角函数的图像和性质第四讲 平面向量第五讲 解三角形本教程把三角函数图像和性质从三角函数诱导公式中分离出来，主要是因为大部分学生针对三角函数的图像和性质重视度不够高，造成在解三角函数题的时候只是能够解决前面的基础问题，不能够得满分。本课程针对高三基础较差学生、艺体类成绩较好的学生进行设计，在课程中没有设计相关训练和课后练习，不过在例题的选择上都是相同知识点，两道相关例题，老师在使用的时候可以选择一道作为讲解，另一道作为学生训练使用。第一讲 任意角的三角函数及诱导公式一、知识要点1任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。2正角和负角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。3终边相同的角、区间角与象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。4弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。圆的周长为，圆周所对的圆心角为，所以，弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。5三角函数定义：如图，在ABC中，C=90° 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即特殊角的三角函数：0sin01cos10tan01不存在cot不存在10记忆方法：正弦特殊角的值分别是、。三角函数定义：在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则； ；根据三角函数的定义可以得到：正弦在一、二象限为正，余弦在一、四象限为正、正切在一、三象限为正，记忆方法：常用三角函数分别为正弦、余弦、正切，小学学习书写比划分别是：横、竖、撇，特殊在第一象限都为正，所以分别以第一象限画横、竖、撇，所过象限为正。或者：一全正，二正弦，三正切，四余弦。6同角三角函数关系式7三角函数诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。把需要化简的角度改写成的形式，针对k的奇偶性进行化简。（1），.（2），.（3），.（4），.（5），.（6），.二、典型例题：题型1：象限角例1已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，则令 ，得 解得 从而或代回或点评：从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；例2若sincos0，则在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限解析：答案：B；sincos0，sin、cos同号。当sin0，cos0时，在第一象限，当sin0，cos0时，在第三象限，因此，选B。例3若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 限答案：B解析：A、B是锐角三角形的两个内角，AB90°，B90°A，cosBsinA，sinBcosA，故选B。题型2：三角函数定义例4已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解析：因为过点，所以，。当；当，；。例5已知角的终边上一点，且，求的值。解析：由题设知，所以，得，从而，解得或。当时， ；当时， ；当时， 。题型3：诱导公式例6 tan300°+的值是（ ）A1B1C1D1解析：答案：B tan300°tan(360°60°)tan60°1。例7化简：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）当时，原式。当时，原式。点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。题型4：同角三角函数的基本关系式例8已知，试确定使等式成立的角的集合。解析：，又，即得或所以，角的集合为：或。例9（1）证明：；（2）求证：。解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式证法一：右边=证法二：要证等式，即为只要证 2（）（）=即证：即1=，显然成立，故原式得证。点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。（2）证法一：由题义知，所以。左边=右边。原式成立。证法二：由题义知，所以。又，证法三：由题义知，所以。点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。例10. 已知,(0,),则=（）A1BCD1解析故选A 点评：本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 例11已知,(0,),则=（）A1BCD1解析：方法一 ,故选A 方法二： ,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 第二讲 三角恒等变形及应用一、知识要点1两角和与差的三角函数2二倍角公式3三角函数式的化简常用方法：A 利用“奇变偶不变，符号看象限”把存在大于的角度进行化简；利用，把和角进行展开，化简； 逆用二倍角公式（降次公式）讲角度化成一样的，利用辅助角公式，将函数名化成一样的，最后结果出现的形式。二典型例题题型1：两角和与差的三角函数例1已知，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得÷得点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2已知求。分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌