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应用时间序列分析应用时间序列分析实验手册实验手册2目目录录目目录录.2第二章第二章 时间序列的预处理时间序列的预处理.3一、平稳性检验一、平稳性检验.3二、纯随机性检验二、纯随机性检验.9第三章第三章 平稳时间序列建模实验教程平稳时间序列建模实验教程.10一、模型识别一、模型识别.10二、模型参数估计（如何判断拟合的模型以及结果写法）二、模型参数估计（如何判断拟合的模型以及结果写法）.14三、模型的显著性检验三、模型的显著性检验.17四、模型优化四、模型优化.18第四章第四章 非平稳时间序列的确定性分析非平稳时间序列的确定性分析.19一、趋势分析一、趋势分析.19二、季节效应分析二、季节效应分析.34三、综合分析三、综合分析.38第五章第五章 非平稳序列的随机分析非平稳序列的随机分析.44一、差分法提取确定性信息一、差分法提取确定性信息.44二、二、ARIMA 模型模型.57三、季节模型三、季节模型.623第二章第二章 时间序列的预处理时间序列的预处理一、平稳性检验一、平稳性检验时序图检验和自相关图检验时序图检验和自相关图检验（一）时序图检验（一）时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征例例 2.1检验检验 1964 年年1999 年中国纱年产量序列的平稳性年中国纱年产量序列的平稳性1.在在 Eviews 软件中打开案例数据软件中打开案例数据图图 1：打开外来数据：打开外来数据4图图 2：打开数据文件夹中案例数据文件夹中数据：打开数据文件夹中案例数据文件夹中数据文件中序列的名称可以在打开的时候输入，或者在打开的数据中输入文件中序列的名称可以在打开的时候输入，或者在打开的数据中输入图图 3：打开过程中给序列命名：打开过程中给序列命名图图 4：打开数据：打开数据52.绘制时序图绘制时序图可以如下图所示选择序列然后点可以如下图所示选择序列然后点 Quick 选择选择 Scatter 或者或者 XYline；绘制好后可以双击图片对其进行修饰，如颜色、线条、点等绘制好后可以双击图片对其进行修饰，如颜色、线条、点等图图 1：绘制散点图：绘制散点图图图 2：年份和产出的散点图：年份和产出的散点图6010020030040050060019601970198019902000YEAROUTPUT图图 3：年份和产出的散点图：年份和产出的散点图（二）自相关图检验（二）自相关图检验例例 2.3导入数据，方式同上；导入数据，方式同上；在在 Quick 菜单下选择自相关图，对菜单下选择自相关图，对 Qiwen 原列进行分析；原列进行分析；可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳时间序列。可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳时间序列。图图 1：序列的相关分析：序列的相关分析7图图 2：输入序列名称：输入序列名称图图 2：选择相关分析的对象：选择相关分析的对象图图 3：序列的相关分析结果：序列的相关分析结果:1.可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳时间序列时间序列 2.看看 Q 统计量的统计量的 P 值：该统计量的原假设为值：该统计量的原假设为 X 的的 1 期，期，2 期期k 期的自相关系期的自相关系数均等于数均等于 0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于备择假设为自相关系数中至少有一个不等于 0，因此如图知因此如图知，该该 P 值都值都5%的的显著性水平显著性水平,所以接受原假设所以接受原假设,即序列是纯随机序列即序列是纯随机序列,即白噪声序列即白噪声序列(因为序列值之间彼此之间因为序列值之间彼此之间没有任何关联没有任何关联,所以说过去的行为对将来的发展没有丝毫影响所以说过去的行为对将来的发展没有丝毫影响,因此为纯随机序列因此为纯随机序列,即白噪声即白噪声序列序列.)有的题目平稳性描述可以模仿书本有的题目平稳性描述可以模仿书本 33 页最后一段页最后一段.（三）平稳性检验还可以用：（三）平稳性检验还可以用：8单位根检验：单位根检验：ADF,PP 检验等；检验等；非参数检验：游程检验非参数检验：游程检验图图 1：序列的单位根检验：序列的单位根检验图图 2：单位根检验的方法选择：单位根检验的方法选择表示不包含截距项9图图 3：ADF 检验的结果检验的结果：如图如图，单位根统计量单位根统计量 ADF=-0.016384 都大于都大于 EVIEWS 给出的显著给出的显著性水平性水平 1%-10%的的 ADF 临界值，所以接受原假设，该序列是非平稳的。临界值，所以接受原假设，该序列是非平稳的。二、纯随机性检验二、纯随机性检验计算计算 Q 统计量，根据其取值判定是否为纯随机序列。统计量，根据其取值判定是否为纯随机序列。例例 2.3 的自相关图中有的自相关图中有 Q 统计量统计量，其其 P 值在值在 K=6、12 的时候均比较大的时候均比较大，不能拒绝原假不能拒绝原假设，认为设，认为 该序列是白噪声序列。该序列是白噪声序列。另外，小样本情况下，另外，小样本情况下，LB 统计量检验纯随机性更准确。统计量检验纯随机性更准确。10第三章第三章 平稳时间序列建模实验教程平稳时间序列建模实验教程一、模型识别一、模型识别1.打开数据打开数据图图 1：打开数据：打开数据2.绘制趋势图并大致判断序列的特征绘制趋势图并大致判断序列的特征图图 2：绘制序列散点图：绘制序列散点图11图图 3：输入散点图的两个变量：输入散点图的两个变量图图 4：序列的散点图：序列的散点图123.绘制自相关和偏自相关图绘制自相关和偏自相关图图图 1：在数据窗口下选择相关分析：在数据窗口下选择相关分析图图 2：选择变量：选择变量图图 3：选择对象：选择对象13图图 4：序列相关图：序列相关图4.根据自相关图和偏自相关图的性质确定模型类型和阶数根据自相关图和偏自相关图的性质确定模型类型和阶数如果样本如果样本(偏偏)自相关系数在最初的自相关系数在最初的 d 阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎 95的自相关的自相关系数都落在系数都落在 2 倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为常突然。这时，通常视为(偏偏)自相关系数截尾。截尾阶数为自相关系数截尾。截尾阶数为 d。本例：本例：自相关图显示延迟自相关图显示延迟 3 阶之后阶之后，自相关系数全部衰减到自相关系数全部衰减到 2 倍标准差范围内波动倍标准差范围内波动，这表这表明序列明显地短期相关明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾偏自相关图显示除了延迟偏自相关图显示除了延迟 1 阶的偏自相关系数显著大于阶的偏自相关系数显著大于 2 倍标准差之外倍标准差之外，其它的偏其它的偏自相关系数都在自相关系数都在 2 倍标准差范围内作小值随机波动倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾所以可以考虑拟合模型为所以可以考虑拟合模型为 AR(1)自相关系数自相关系数偏相关系数偏相关系数模型定阶模型定阶拖尾拖尾P 阶截尾阶截尾AR(p)模型模型Q 阶截尾阶截尾拖尾拖尾MA（q）模型）模型拖尾拖尾拖尾拖尾ARMA(P,Q)模型模型具体判别什么模型看书具体判别什么模型看书 58 到到 62 的图例。的图例。：就是常数项）。表示的是求出来的系数（其中模型中的模型：）（模型：模型：)1(MA)1(arB*)P(ARB*)2(ARB*)1(AR1B*)q(MAB*)2(MAB*)1(MA1ARMAB*)q(MAB*)2(MAB*)1(MA1MAB*)P(ARB*)2(ARB*)1(AR11ARtP2q2tXtq2tXtP2tX14二、模型参数估计二、模型参数估计根据相关图模型确定为根据相关图模型确定为 AR(1)，建立模型估计参数，建立模型估计参数在在 ESTIMATE 中按顺序输入变中按顺序输入变量量 cxccx(-1)或或者者 cxcar(1)选选择择 LS 参数估计方参数估计方法，查看输出结果，看参数显著性，该例中两个参数都显著。法，查看输出结果，看参数显著性，该例中两个参数都显著。细心的同学可能发现两个模型的细心的同学可能发现两个模型的 C 取值不同取值不同，这是因为前一个模型的这是因为前一个模型的 C 为截距项为截距项；后后者的者的 C 则为则为序列期望值序列期望值，两个常数的含义不同。，两个常数的含义不同。图图 1：建立模型：建立模型15图图 2：输入模型中变量，选择参数估计方法：输入模型中变量，选择参数估计方法图图 3：参数估计结果：参数估计结果图图 4：建立模型：建立模型16图图 5：输入模型中变量，选择参数估计方法：输入模型中变量，选择参数估计方法图图 6：参数估计结果：参数估计结果tB703332.01132034.81txAR模型：17三、模型的显著性检验三、模型的显著性检验检验内容：检验内容：整个模型对信息的提取是否充分；整个模型对信息的提取是否充分；参数的显著性检验，模型结构是否最简。参数的显著性检验，模型结构是否最简。图图 1：模型残差：模型残差18图图 2：残差的平稳性和纯随机性检验：残差的平稳性和纯随机性检验对残差序列进行白噪声检验，可以看出对残差序列进行白噪声检验，可以看出 ACF 和和 PACF 都没有显著异于零，都没有显著异于零，Q 统计量统计量的的 P 值都远远大于值都远远大于 0.05，因此可以认为残差序列为白噪声序列，模型信息提取比较充分。，因此可以认为残差序列为白噪声序列，模型信息提取比较充分。常数和滞后一阶参数的常数和滞后一阶参数的 P 值都很小，参数显著；因此整个模型比较精简，模型较优。值都很小，参数显著；因此整个模型比较精简，模型较优。四、模型优化四、模型优化当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。当几个模型都是模型有效参数显著的，此时需要选择一个更好的模型，即进行优化。当几个模型都是模型有效参数显著的，此时需要选择一个更好的模型，即进行优化。优化的目的，选择相对最优模型。优化的目的，选择相对最优模型。优化准则：优化准则：最小信息量准则（最小信息量准则（An Information Criterion）指导思想指导思想似然函数值越大越好似然函数值越大越好未知参数的个数越少越好未知参数的个数越少越好AIC 准则的缺陷准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时在样本容量趋于无穷大时，由由 AIC 准则选择的模型不收敛于真实模型准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真它通常比真实模型所含的未知参数个数要多实模型所含的未知参数个数要多但是本例中滞后二阶的参数不显著，不符合精简原则，不必进行深入判断。但是本例中滞后二阶的参数不显著，不符合精简原则，不必进行深入判断。)(2)ln(2未知参数个数nAIC)(ln()ln(2未知参数nnSBC19第四章第四章 非平稳时间序列的确定性分析非平稳时间序列的确定性分析第三章介绍了平稳时间序列的分析方法，但是自然界中绝大多数序列都是非平稳的，第三章介绍了平稳时间序列的分析方法，但是自然界中绝大多数序列都是非平稳的，因而对非平稳时间序列的分析跟普遍跟重要，人们创造的分析方法也更多。这些方法分为因而对非平稳时间序列的分析跟普遍跟重要，人们创造的分析方法也更多。这些方法分为确定性时序分析和随机时序分析两大类，本章主要介绍确定性时序分析方法。确定性时序分析和随机时序分析两大类，本章主要介绍确定性时序分析方法。一个序列在任意时刻的值能够被精确确定一个序列在任意时刻的值能够被精确确定（或被预测或被预测），则该序列为确定性序列则该序列为确定性序列，如正如正弦序列、周期脉冲序列等。而某序列在某时刻的取值是随机的，不能给以精确预测，只知弦序列、周期脉冲序列等。而某序列在某时刻的取值是随机的，不能给以精确预测，只知道取某一数值的概率道取某一数值的概率，如白噪声序列等如白噪声序列等。Cramer 分解定理说明每个序列都可以分成一个确分解定理说明每个序列都可以分成一个确定序列加一个随机序列，平稳序列的两个构成序列均平稳，非平稳时间序列则至少有一部定序列加一个随机序列，平稳序列的两个构成序列均平稳，非平稳时间序列则至少有一部分不平稳。本章先分析确定性序列不平稳的非平稳时间时间序列的分析方法。分不平稳。本章先分析确定性序列不平稳的非平稳时间时间序列的分析方法。确定性序列不平稳通常显示出非常明显的规律性，如显著趋势或者固定变化周期，这确定性序列不平稳通常显示出非常明显的规律性，如显著趋势或者固定变化周期，这种规律性信息比较容易提取，因而传统时间序列分析的重点在确定性信息的提取上。种规律性信息比较容易提取，因而传统时间序列分析的重点在确定性信息的提取上。常用的确定性分析方法为因素分解。分析目的为：常用的确定性分析方法为因素分解。分析目的为：克服其他因素的影响，单纯测度克服其他因素的影响，单纯测度某一个确定性因素的影响某一个确定性因素的影响；推断出各种因素彼此之间作用关系及它们对序列的综合影响推断出各种因素彼此之间作用关系及它们对序列的综合影响。一、趋势分析一、趋势分析绘制序列的线图，观测序列的特征，如果有明显的长期趋势，我们就要测度其长期趋绘制序列的线图，观测序列的特征，如果有明显的长期趋势，我们就要测度其长期趋势，测度方法有：趋势拟合法、平滑法。势，测度方法有：趋势拟合法、平滑法。（一）（一）趋势拟合法趋势拟合法1.线性趋势拟合线性趋势拟合例例 1：以澳大利亚政府：以澳大利亚政府 1981-1990 年每季度消费支出数据为例进行分析。年每季度消费支出数据为例进行分析。图图 1：导入数据：导入数据20图图 2：绘制线图，序列有明显的上升趋势：绘制线图，序列有明显的上升趋势长期趋势具备线性上升的趋势，所以进行序列对时间的线性回归分析。长期趋势具备线性上升的趋势，所以进行序列对时间的线性回归分析。图图 3：序列支出（：序列支出（zc）对时间（）对时间（t）进行线性回归分析）进行线性回归分析21图图 4：回归参数估计和回归效果评价：回归参数估计和回归效果评价可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好，序列具有明显线性趋势。可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好，序列具有明显线性趋势。图图 5：运用模型进行预测：运用模型进行预测22图图 6：预测效果（偏差率、方差率等）：预测效果（偏差率、方差率等）图图 7：绘制原序列和预测序列的线图：绘制原序列和预测序列的线图23图图 8：原序列和预测序列的线图：原序列和预测序列的线图图图 9：残差序列的曲线图：残差序列的曲线图可以看出残差序列具有平稳时间序列的特征，我们可以进一步检验剔除了长期趋势后可以看出残差序列具有平稳时间序列的特征，我们可以进一步检验剔除了长期趋势后的残差序列的平稳性，第三章知识这里不在叙述。的残差序列的平稳性，第三章知识这里不在叙述。242.曲线趋势拟合曲线趋势拟合例例 2：对上海证券交易所：对上海证券交易所 1991.1-2001.10 每月月末上正指数序列进行拟合。每月月末上正指数序列进行拟合。图图 1：导入数据：导入数据图图 2：绘制曲线图：绘制曲线图可以看出序列不是线性上升，而是曲线上升，尝试用二次模型拟合序列的发展。可以看出序列不是线性上升，而是曲线上升，尝试用二次模型拟合序列的发展。25图图 3：模型参数估计和回归效果评价：模型参数估计和回归效果评价因为该模型中因为该模型中 T 的系数不显著，我们去掉该项再进行回归分析。的系数不显著，我们去掉该项再进行回归分析。图图 4：新模型参数估计和回归效果评价：新模型参数估计和回归效果评价26图图 5：新模型的预测效果分析：新模型的预测效果分析图图 6：原序列和预测序列值：原序列和预测序列值27图图 7：原序列和预测序列值曲线图：原序列和预测序列值曲线图图图 8：计算预测误差：计算预测误差28图图 9：对预测误差序列进行单位根检验：对预测误差序列进行单位根检验拒绝原假设拒绝原假设，认为序列没有单位根认为序列没有单位根，为平稳序列为平稳序列，说明模型对长期趋势拟合的效果还不错说明模型对长期趋势拟合的效果还不错。同样，序列与时间之间的关系还有很多中，比如指数曲线、生命曲线、龚柏茨曲线等等，同样，序列与时间之间的关系还有很多中，比如指数曲线、生命曲线、龚柏茨曲线等等，其回归模型的建立、参数估计等方法与回归分析同，这里不再详细叙述。其回归模型的建立、参数估计等方法与回归分析同，这里不再详细叙述。29（二）（二）平滑法平滑法除了趋势拟合外，平滑法也是消除短期随机波动反应长期趋势的方法，而其平滑法可除了趋势拟合外，平滑法也是消除短期随机波动反应长期趋势的方法，而其平滑法可以追踪数据的新变化。平滑法主要有移动平均方法和指数平滑法两种，这里主要介绍指数以追踪数据的新变化。平滑法主要有移动平均方法和指数平滑法两种，这里主要介绍指数平滑方法。平滑方法。例例 3：对北京市：对北京市 1950-1998 年城乡居民定期储蓄所占比例序列进行平滑。年城乡居民定期储蓄所占比例序列进行平滑。图图 1：打开序列，进行指数平滑分析：打开序列，进行指数平滑分析图图 2：系统自动给定平滑系数趋势：系统自动给定平滑系数趋势给定方法为选择使残差平方和最小的平滑系数给定方法为选择使残差平方和最小的平滑系数，该例中平滑系数去该例中平滑系数去 0.53，超过超过 0.5 用用一次平滑效果不太好一次平滑效果不太好30图图 3：平滑前后序列曲线图：平滑前后序列曲线图图图 4：用二次平滑修匀原序列：用二次平滑修匀原序列可以看出，平滑系数为可以看出，平滑系数为 0.134，平均差为，平均差为 4.067708，修匀或者趋势预测效果不错。，修匀或者趋势预测效果不错。31图图 5：二次平滑效果图：二次平滑效果图例例 4：对于有明显线性趋势的序列，我们可以采用：对于有明显线性趋势的序列，我们可以采用 Holt 两参数法进行指数平滑两参数法进行指数平滑对北京市对北京市 1978-2000 年报纸发行量序列进行年报纸发行量序列进行 Holt 两参数指数平滑两参数指数平滑图图 1：报纸发行量的曲线图：报纸发行量的曲线图32图图 2：Holt 两参数指数平滑（指定平滑系数）两参数指数平滑（指定平滑系数）图图 3：预测效果检验：预测效果检验33图图 4：系统自动给定平滑系数时平滑效果：系统自动给定平滑系数时平滑效果图图 5：原序列与预测序列曲线图：原序列与预测序列曲线图（其中（其中 FXSM 为自己给定系数时的平滑值，为自己给定系数时的平滑值，FXSM2 为系统给定系数时的平滑值）为系统给定系数时的平滑值）34二、季节效应分析二、季节效应分析许多序列有季节效应许多序列有季节效应，比如比如：气温气温、商品零售额商品零售额、某景点旅游人数等都会呈现明显的季某景点旅游人数等都会呈现明显的季节变动规律。节变动规律。例例 5：以北京市：以北京市 1995-2000 年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析操作。年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析操作。图图 1：建立月度数据新工作表：建立月度数据新工作表图图 2：新工作表中添加数据：新工作表中添加数据35图图 3：五年的月度气温数据：五年的月度气温数据图图 4：进行季节调整（移动平均法）：进行季节调整（移动平均法）36图图 5：移动平均季节加法：移动平均季节加法图图 6：12 个月的加法调整因子个月的加法调整因子37图图 7：打开三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）：打开三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）图图 8：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）取值：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）取值38图图 9：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）曲线图：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）曲线图另外季节调整还可以用另外季节调整还可以用 X11，X12 等方法进行调整。等方法进行调整。三、综合分析三、综合分析前面两部分介绍了单独测度前面两部分介绍了单独测度长期趋势和季节效应的分析方法，这里介绍既有长期趋势长期趋势和季节效应的分析方法，这里介绍既有长期趋势又有季节效应的复杂序列的分析方法。又有季节效应的复杂序列的分析方法。附录附录 1.11对对 19932000 年中国社会消费品零售总额序列进行确定性分析年中国社会消费品零售总额序列进行确定性分析39图图 1：绘制：绘制 19932000 年中国社会消费品零售总额时序图年中国社会消费品零售总额时序图可以看出序列中既有长期趋势又有季节波动可以看出序列中既有长期趋势又有季节波动图图 2：进行季节调整：进行季节调整40图图 3：12 个月的季节因子个月的季节因子图图 4：经季节调整后的序列：经季节调整后的序列 SSA41图图 5：对经季节调整后序列进行趋势拟合：对经季节调整后序列进行趋势拟合图图 6：趋势拟合序列：趋势拟合序列 SSAF 与序列与序列 SSA 的时序图的时序图42图图 7：扩展时间区间后预测长期趋势值：扩展时间区间后预测长期趋势值 SSAF图图 8：经季节调整预测：经季节调整预测 2001 年年 12 个月的零售总额值个月的零售总额值43图图 9：预测：预测 2001 年年 12 个月的零售总额值个月的零售总额值图图 10：预测序列与原序列的时序图：预测序列与原序列的时序图44第五章第五章 非平稳序列的随机分析非平稳序列的随机分析非平稳序列的确定性分析原理简单操作方便易于解释，但是只提取确定性非平稳序列的确定性分析原理简单操作方便易于解释，但是只提取确定性信息，对随机信息浪费严重；且各因素之间确切的作用关系没有明确有效的判信息，对随机信息浪费严重；且各因素之间确切的作用关系没有明确有效的判断方法。随机分析方法的发展弥补了这些不足，为人们提供更加丰富、更加精断方法。随机分析方法的发展弥补了这些不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。确的时序分析工具。对非平稳时间序列的分析，要先提取确定性信息再研究随机信息。对非平稳时间序列的分析，要先提取确定性信息再研究随机信息。一、差分法提取确定性信息一、差分法提取确定性信息确定性信息的提取方法有第四章学习的趋势拟合、指数平滑、季节指数、确定性信息的提取方法有第四章学习的趋势拟合、指数平滑、季节指数、季节多元回归等，本章主要介绍差分法提取确定性信息。季节多元回归等，本章主要介绍差分法提取确定性信息。差分实质：自回归差分实质：自回归差分方式差分方式：对线性趋势序列进行对线性趋势序列进行 1 阶差分阶差分、对曲线趋势序列进行低阶差分对曲线趋势序列进行低阶差分、对固定周期序列进行周期差分对固定周期序列进行周期差分附录附录 1.21.2线性趋势：线性趋势：对对产出序列进行一阶差分产出序列进行一阶差分详细分析过程如下：详细分析过程如下：图图 1：导入数据：导入数据45图图 2：绘制线性图，观察序列的特征：绘制线性图，观察序列的特征观察发现序列具有较明显的线性趋势观察发现序列具有较明显的线性趋势图图 3：进行一阶差分运算：进行一阶差分运算46图图 4：一阶差分运算公式：一阶差分运算公式图图 5：一阶差分序列：一阶差分序列47图图 6：一阶差分曲线图：一阶差分曲线图观察一阶差分序列均值方差稳定，进一步进行平稳性分析。观察一阶差分序列均值方差稳定，进一步进行平稳性分析。图图 7：绘制一阶差分序列的相关图：绘制一阶差分序列的相关图48图图 8：自相关图均不显著，：自相关图均不显著，Q 统计量不显著统计量不显著因此，差分后序列问白噪声序列，一阶差分将序列的信息提取充分。因此，差分后序列问白噪声序列，一阶差分将序列的信息提取充分。附录附录 1.121.12曲线序列：曲线序列：北京市民用车拥有量序列差分分析北京市民用车拥有量序列差分分析图图 1：导入数据：导入数据49图图 2：绘制原序列曲线图：绘制原序列曲线图可以看出可以看出，1950 年到年到 1999 年北京市居民民用车拥有量序列具有曲线趋势年北京市居民民用车拥有量序列具有曲线趋势，现用现用低阶差分法提取确定性信息。低阶差分法提取确定性信息。图图 3：绘制一阶差分序列的曲线图：绘制一阶差分序列的曲线图50图图 4：一阶差分序列曲线图：一阶差分序列曲线图可以看出一阶差分序列仍然具有趋势，继续进行差分分析；二阶差分的命令可以看出一阶差分序列仍然具有趋势，继续进行差分分析；二阶差分的命令的的D(QC,2)，低阶差分的命令为，低阶差分的命令为 D(QC,K)。图图 5：对原序列进行二阶差分：对原序列进行二阶差分51图图 6：二阶差分序列曲线图：二阶差分序列曲线图从二阶差分序列曲线图可以看出二阶差分序列中没有中长期趋势，二阶差分提从二阶差分序列曲线图可以看出二阶差分序列中没有中长期趋势，二阶差分提取了长期趋势。取了长期趋势。图图 7：自相关分析：自相关分析图图 8：对序列的二阶差分序列进行自相关分析：对序列的二阶差分序列进行自相关分析52图图 9：二阶差分序列相关图：二阶差分序列相关图可以看出二阶差分序列具有短期相关性的特征，无确定性信息，为平稳序列。可以看出二阶差分序列具有短期相关性的特征，无确定性信息，为平稳序列。附录附录 1.131.13固定周期序列：固定周期序列：奶牛月产奶量序列差分分析奶牛月产奶量序列差分分析图图 1 1：导入数据（月度数据）：导入数据（月度数据）53图图 2 2：绘制序列曲线图：绘制序列曲线图可以看出本序列既有长期趋势又有周期性因素，因此我们首先进行一阶差可以看出本序列既有长期趋势又有周期性因素，因此我们首先进行一阶差分提取趋势特征，再进行分提取趋势特征，再进行 1212 步周期差分提取周期信息。步周期差分提取周期信息。图图 3 3：一阶差分序列曲线图：一阶差分序列曲线图可以看出序列不再具有趋势特征，一阶差分提取了线性趋势可以看出序列不再具有趋势特征，一阶差分提取了线性趋势54图图 4 4：对序列进行一阶差分：对序列进行一阶差分图图 5 5：对一阶差分序列进行：对一阶差分序列进行 1212 步周期差分步周期差分55图图 6 6：绘制周期差分后序列：绘制周期差分后序列上述操作也可以用上述操作也可以用 D(OP,1,12)D(OP,1,12)命令来实现命令来实现，即一阶即一阶1212 步差分步差分，因此直因此直接绘制序列接绘制序列 D(OP,1,12)D(OP,1,12)的时序图结果如图的时序图结果如图 6 6。图图 7 7：周期差分后序列的相关图：周期差分后序列的相关图56可以看出序列自相关系数可以看出序列自相关系数 1212 阶显著，说明还是有一定的周期性阶显著，说明还是有一定的周期性图图 8 8：对上面的序列再进行：对上面的序列再进行 1212 步差分，绘制曲线图步差分，绘制曲线图57图图 9 9：序列的相关图：序列的相关图可以看出可以看出 1212 阶相关系数仍然显著，且相关系数比阶相关系数仍然显著，且相关系数比 D12D1D12D1 序列的相关系数还大序列的相关系数还大，因此我们就进行到上一步骤即可。因此我们就进行到上一步骤即可。差分的方式小结差分的方式小结对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为 D(X)D(X)；对曲线趋势的序列对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的确定性信息低阶差分即可提取序列的确定性信息，命令为命令为 D(X,a)D(X,a)；对具有周期性特点的序列，对具有周期性特点的序列，k k 步差分即可提取序列的周期性信息，命令步差分即可提取序列的周期性信息，命令为为D(X,0,k)D(X,0,k)。对既有长期趋势又有周期性波动的序列对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶可以采用低阶k k 步差分的操作步差分的操作提取确定性信息，操作方法为提取确定性信息，操作方法为 D(X,aD(X,a，k)k)。非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用列，差分平稳序列可以使用 ARIMAARIMA 模型进行拟合。模型进行拟合。二、二、ARIMA 模型模型差分平稳序列在经过差分后变成平稳时间序列差分平稳序列在经过差分后变成平稳时间序列，之后的分析可以用之后的分析可以用 ARMAARMA 模模型进行，差分过程加上型进行，差分过程加上 ARMAARMA 模型对差分平稳序列进行的分析称为模型对差分平稳序列进行的分析称为 ARIMAARIMA 模型模型。获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算N白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束拟合拟合ARMA模型模型YN附录附录 1.141.14 分析分析 1952-19881952-1988 年中国农业实际国民收入指数序列年中国农业实际国民收入指数序列先观测序列的时序图，可知序列具有线性长期趋势，需要进行先观测序列的时序图，可知序列具有线性长期趋势，需要进行 1 1 阶差分。阶差分。58图图 1 1：1952-19881952-1988 年中国农业实际国民收入指数时序图年中国农业实际国民收入指数时序图再观测差分序列的时序图再观测差分序列的时序图图图 2 2：中国农业实际国民收入指数：中国农业实际国民收入指数 1 1 阶差分后序列的时序图阶差分后序列的时序图59图图 3 3：国农业实际国民收入指数：国农业实际国民收入指数 1 1 阶差分后序列的相关分析阶差分后序列的相关分析由图可知，序列由图可知，序列 1 1 阶自相关显著，序列平稳；阶自相关显著，序列平稳；Q Q 统计量统计量 P P 值小于值小于 0.050.05，非，非白噪声白噪声；同时同时，偏自相关拖尾偏自相关拖尾、自相关一步截尾自相关一步截尾，建立建立 ARIMAARIMA（0 0，1 1，1 1）模型模型。（建立（建立 ARIMAARIMA（0 0，1 1，1 1）模型，是因为偏自相关拖尾，所以第一个数值为）模型，是因为偏自相关拖尾，所以第一个数值为 0 0，然后因为序列进行了一阶差分然后因为序列进行了一阶差分，所以中间数值为所以中间数值为 1 1，又自相关图一阶截尾又自相关图一阶截尾，所以所以最后一个数值为最后一个数值为 1.1.）60图图 4 4：中国农业实际国民收入指数的：中国农业实际国民收入指数的 ARIMAARIMA（0 0，1 1，1 1）模型）模型图图 5 5：模型残差的相关性分析：模型残差的相关性分析从图从图 4 4 和图和图 5 5 分析可知，残差为白噪声，模型信息提取充分；模型参数显分析可知，残差为白噪声，模型信息提取充分；模型参数显著，模型精简，因此建立的著，模型精简，因此建立的 ARIMAARIMA（0 0，1 1，1 1）模型合格）模型合格,模型具体情况如下式模型具体情况如下式：（1-B1-B）S=5.0156+(1-0.7082B)S=5.0156+(1-0.7082B)图图 6 6：预测：预测 1989-20001989-2000 年农业实际国民收入指数年农业实际国民收入指数61图图 7 7：1989-20001989-2000 年农业实际国民收入指数预测图年农业实际国民收入指数预测图62三、季节模型三、季节模型1.1.简单季节模型简单季节模型附录附录 1.131.13 对对 1962.11962.11975.121975.12 平均每头奶牛月产奶量序列进行分析平均每头奶牛月产奶量序列进行分析根据前面的分析可知，经过根据前面的分析可知，经过 1 11212 步差分后，步差分后，opop 变成平稳时间序列。变成平稳时间序列。图图 1 1：序列：序列 D(OP,1,12)D(OP,1,12)的相关分析图的相关分析图经过相关分析看出自相关图具有短期相关性经过相关分析看出自相关图具有短期相关性，是平稳时间序列是平稳时间序列；Q Q 统计量统计量的的P P 值有小于值有小于 0.050.05 的情况，因此序列为平稳非白噪声序列。又观测自相关和偏自的情况，因此序列为平稳非白噪声序列。又观测自相关和偏自相关图，识别方程为一阶自回归方程相关图，识别方程为一阶自回归方程63图图 2 2：序列：序列 D(OP,1,12)D(OP,1,12)的的 AR(1)AR(1)模型模型图图 3 3：模型残差的相关分析：模型残差的相关分析分析可知残差为白噪声，因而模型提取信息充分；观测图分析可知残差为白噪声，因而模型提取信息充分；观测图 2 2 可知模型参数可知模型参数显著，因而显著，因而 ARAR（1 1）模型可以提取平稳序列）模型可以提取平稳序列 D(OP,1,12)D(OP,1,12)的信息。的信息。模型的具体信息为模型的具体信息为（1-B1-B）(1-B(1-B)12OP=OP=B2126.0112.2.乘积季节模型乘积季节模型当序列中长期趋势、季节效应、随机波动可以很容易分开，我们用简单季当序列中长期趋势、季节效应、随机波动可以很容易分开，我们用简单季节模型进行分析；但更为常见的是序列的三个部分不能简单分开，而是相互关节模型进行分析；但更为常见的是序列的三个部分不能简单分开，而是相互关联，这时要用乘积季节模型。联，这时要用乘积季节模型。64附录附录 1.171.17试分析试分析 1948-19811948-1981 年美国女性（大于年美国女性（大于 2020 岁）月度失业率序列岁）月度失业率序列首先观测序列的时序图首先观测序列的时序图图图 1 1：1948-19811948-1981 年美国女性（大于年美国女性（大于 2020 岁）月度失业率序列时序图岁）月度失业率序列时序图由时序图可知，序列既有长期趋势又有周期性，因此进行由时序图可知，序列既有长期趋势又有周期性，因此进行 1 1 阶阶1212 步差分步差分图图 2 2：进行：进行 1 1 阶阶1212 步差分步差分65图图 3 3：D(S,1,12)D(S,1,12)的时序图的时序图从时序图可以看出从时序图可以看出 D(S,1,12)D(S,1,12)均值稳定，也没有明显的周期性，方差有界均值稳定，也没有明显的周期性，方差有界；通过相关分析通过相关分析，具体分析序列的平稳性具体分析序列的平稳性，如图如图 4 4。图图 4 4 中可以看出自相关两阶显中可以看出自相关两阶显著，但是著，但是 1212 阶也是显著的，因此在趋势平稳中又包含了周期性因素。阶也是显著的，因此在趋势平稳中又包含了周期性因素。图图 4 4：D(S,1,12)D(S,1,12)的相关分析的相关分析66用用 ARMAARMA 模型拟合序列模型拟合序列 D(S,1,12)D(S,1,12)尝试如下：尝试如下：图图 5 5：AR(1,12)AR(1,12)模型拟合序列模型拟合序列 D(S,1,12)D(S,1,12)图图 6 6：AR(1,12)AR(1,12)模型拟合序列模型拟合序列 D(S,1,12)D(S,1,12)的残差相关图的残差相关图可以看出模型残差非白噪声，模型提取信息不充分。可以看出模型残差非白噪声，模型提取信息不充分。67图图 7 7：MA(1,12)MA(1,12)模型拟合序列模型拟合序列 D(S,1,12)D(S,1,12)图图 8 8：MA(1