小学思维数学讲义：鸡兔同笼问题(二)-带详解(7页).doc
-小学思维数学讲义：鸡兔同笼问题(二)-带详解-第 6 页鸡兔同笼问题（二）教学目标1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）显然，鸡的只数就是（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲两个量的“鸡兔同笼”问题变例【例 1】 某次数学竞赛，共有道题，每道题做对得分，没做或做错都要扣分，小聪得了分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 做错 (道)，因此，做对的 (道)【答案】道【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道【答案】道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共道试题.做对一题得分，没有做一题或做错一题都要倒扣分.刘钢得了分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题假设刘钢道题全对，可得分（分），但他实际上只得分，少了（分），因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得分，没做或做错一道题倒扣分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少（分）分中含有多少个，就是刘钢没做或做错多少道题所以，刘钢没做或做错题为（道），做对题为（道）【答案】道【巩固】 某次数学竞赛，试题共有道，每做对一题得分，每做错一题倒扣分。小红最终得分，做对的题比做错的题多_道。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法【解析】 ，做错道题，做对道题，对的比错的多道。【答案】多道【巩固】 次数学竞赛有道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对_题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题【解析】 设答对了道题，那么，所以，也就是小宇答对了8道题。【答案】题【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得92分，小华在此次比赛中答错了_ 道题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题【解析】 假设他全答对了，应该的18×8=144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题少8+5=13分，答错了52÷13=4道题。【答案】题【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_天。【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题【解析】 方法一：假设他没有休息他会得（元），休息一天会少（元），所以他休息了（天），他工作了天方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30÷(4+1)=6天。【答案】天【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】假设思想方法【解析】 三人共得(分)，比满分(分)少(分)因此三个人共做错：(道)题，共答对了(道)题【答案】【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各射了10发，共得208分，其中张明比李华多64分，则张明射中_发。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 张明得分（20864）2136分，根据鸡兔同笼，张明脱靶（20×10136）（2012）2，射中8发。【答案】发【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20分，不答或答错一题扣12分。两人各解答了10道题，一共得208分，又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题【解析】 小刚得了（分）,如果小刚道题都做对了，应得分，实际得分，所以错了（道），做对了（道）。【答案】道【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得(分).那么第二次只做对(题)得分是(分).两次相差(分).比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加分.两者两差数就可减少(分).(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对(题).第一次得分.第二次得分.法二：答对30题，也就是两次共答错(题).第一次答错一题，要从满分中扣去(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去(分).答错题互换一下，两次得分要相差 (分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答错题数是(题).第一次答错(题).第一次得分(分).第二次得分 (分).【答案】第一次得分分.第二次得分分.【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 每个三口之家可以少花（元），每个二口之家可以少花（元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以这8个家庭中有（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有（人）【答案】人【例 6】 一张数学试卷，只有道选择题做对一题得分，做错一题倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做对 题，做错 题，没做 题 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】假设思想方法，祖冲之杯【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索 小明得了分，而且只有做对了题目才能得分，所以可以知道小明至少做对道题目，否则一定低于(分)； 再假设他做对题，发现即使另外四题都错，小明仍然有(分)，超过了分，所以小明至多做对道题目； 综上，可以断定小明做对了道题 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题 假设剩下题全部没做，那么小明应得(分) 但是只得了分，说明又倒扣了分，说明错了道题，道题没做 所以小明做对了道题，做错了道题，没做道题【答案】对了道题，做错了道题，没做道题【例 7】 一批钢材，用小卡车装载要辆，用大卡车装载只要辆已知每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，那么这批钢材有多少吨？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨利用假设法，假设只用辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，所以要剩下 (吨)根据条件，要装完这吨钢材还需要(辆)小卡车这样每辆小卡车能装(吨)由此可求出这批钢材有吨【答案】吨【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，你好想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好再见”根据这段对话，则钢笔每支是 元，笔记本每本是 元【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】 一共花了元。如果是买本笔记本可以少花元，即元。所以每本笔记本元，每支钢笔元【答案】元【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. (680-8×40)÷(8+4)=30(张), 这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张). 解二:譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560. 比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).【答案】4分有30张,8分有70张.【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚，其中5角的硬币比1元的硬币多20元，喜羊羊的存钱罐中总共有_钱。【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第3题【解析】 元。枚，枚，元。【答案】元【例 11】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币小同共存了多少钱？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有（个），2分币有（个）， （分）【答案】分【例 12】 现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 方法一：假设50个油桶都是大桶，则共装油千克，而这小桶所装油则为0这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少千克，所以小桶有：(个)，大桶有：(个).方法二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各个，现在共有50个桶，在剩下的个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的倍，那么在这30个桶中，应该有个大桶，个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个解：(个) (个) (大桶)(个) (大桶共有)(个) (小桶共有)【答案】大桶个，小桶个【例 13】 大、小猴共只，它们一起去采摘水蜜桃猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘千克，一只小猴子一小时可摘千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘千克一天，采摘了小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了千克水蜜桃在这个猴群中，共有小猴子多少只？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失一天中，猴王监视了小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采千克，那样猴群只能采摘(千克)；这是一天也就是小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘(千克)，比实际多采了(千克)而每只小猴子被假设成大猴子，会多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【答案】只【例 14】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年. 【答案】年【例 15】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了. 根据前面的公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. 【答案】小时【例 16】 箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的倍多只，每次从箱子里取出只白球、只红球如果经过若干次以后，箱子里剩下只白球、只红球那么箱子里原有红球多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设每次一起取只白球和只红球，由于每次拿得红球都是白球的倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的倍多由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是个按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的倍多，即(只)但是实际上最后剩了只红球，比假设多剩只，因为每一次实际取得与假设相比少只，所以可以知道一共取了(次)所以可以知道原来有红球(只)【答案】只【例 17】 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是25。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第10题【解析】 车库中，平均每2辆车有5个轮子，也就是说，平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道，1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为31【答案】:
