2009年高考全国卷1文科数学试题及答案(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修文科数学（必修+ +选修选修）本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第卷（非选择题）两部分第 I 卷卷 1 至至 2 页，第页，第 II卷卷 3 至至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷卷注意事项：注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式AB，()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP343VR次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPkn，一、选择题一、选择题（1）的值为sin585(A) (B) (C) (D) 22223232(2)设集合 A=4，5，6，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集=AB，则集合u （AB）中的元素共有(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个（3）不等式的解集为111xx（A） （B）011xxx x 01xx 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（C） （D）10 xx 0 x x（4）已知 tan=4,cot=,则 tan(a+)=a13(A) (B) (C) (D) 711711713713（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线222200 xyabab1 ，21yx 的离心率等于（A） （B）2 （C） （D）356（6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx(1)(1)fg（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种（8）设非零向量满足，则abc、abc，abcab，（A）150B）120 （C）60 （D）30（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为111ABCABC1AABC的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB1CC(A) (B) (C) (D) 34547434 (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为3cos(2)yx4(,0)3(A) (B) (C) (D) 6432（11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到的距离为， , 3Q 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3 (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 （12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 AF 交 C 于点 B。22:12xCylAl若精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (D) 32320092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修文科数学（必修 选修选修）第第卷卷注意事项：注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第第卷共卷共 7 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_.10()xy337x y（14）设等差数列的前项和为。若，则_.nannS972S 249aaa(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若OAOOAMOAM圆的面积为，则球的表面积等于_.M3O（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，m12:10:30lxylxy 与22则的倾斜角可以是m 1530456075其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，nannsnbnnT已知的通项公式.1133331,3,17,12, nnababTSb求a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效）在中，内角 A、b、c 的对边长分别为 a、b、c.已知，且ABC222acb，求 b.sin4cossinBAC(19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，SABCDABCDSD ABCD2AD ，点在侧棱上，。 2DCSDMSCABM =60证明：是侧棱的中点； MSC求二面角的大小。 SAMB (20)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（21） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数.42( )36f xxx （）讨论的单调性；( )f x （）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求( )yf xl的方程l (22)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于 A、B、C、D2:E yx222:(4)(0)Mxyrr四个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案答案一、选择题一、选择题（1）o585sin的值为(A) 22 (B)22 (C)32 (D) 32【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：2245sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo，故选择 A。(2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集UAB，则集合()UAB中的元素共有(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1）解：3,4,5,7,8,9AB ，4,7,9()3,5,8UABAB故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根定律：定律：()()()UUUABAB（3）不等式111 xx的解集为（A）011xxx x （B）01xx （C） 10 xx （D）0 x x【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：0040)1()1(|1|1|11122 xxxxxxxx，故选择 D。（4）已知 tana=4,cot=13,则 tan(a+)=(A)711 (B)711 (C) 713 (D) 713【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解：由题3tan ，11712134tantan1tantan)tan( ，故选择 B。（5）设双曲线222200 xyabab1 ，的渐近线与抛物线21yx 相切，则该双曲线的离心率等于（A）3 （B）2 （C）5 （D）6【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线222200 xyabab1 ，的一条渐近线方程为abxy ，代入抛物线方程整理得02 abxax，因渐近线与抛物线相切，所以0422 ab，即5522 eac，故选择 C。（6）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，则 )1()1(gf（A）0 （B）1 （C）2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf，故选择 C。（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有345261315121625 CCCCCC，故选择 D。（8）设非零向量a、b、c满足cbacba |,|，则 ba,（A）150 （B）120 （C）60 （D）30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（9）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为(A)34 (B) 54 (C) 74 (D) 34【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7）解：设BC的中点为 D，连结1AD，AD，易知1A AB 即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB.故选 D (10) 如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为(A)6 (B) 4 (C) 3 (D) 2【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数cos 2yx3的图像关于点43，0中心对称4232k 13()6kkZ由此易得min|6.故选 A（11）已知二面角l 为 600 ，动点 P、Q 分别在面, 内，P 到的距离为3，Q 到的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10）解:如图分别作,QAA AClC PBB于于于 PDlD 于，连,60 ,CQ BDACQPBD 则 2 3,3AQBP，2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当0AP ，即AP点与点重合时取最小值。故答案选 C。（12）已知椭圆22:12xCy的右焦点为 F,右准线l，点Al，线段 AF 交 C 于点 B。若3FAFB ,则AF =精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFB ,故2|3BM .又由椭圆的第二定义,得2 22|233BF |2AF.故选 A20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修文科数学（必修选修选修）第第卷卷注意事项：注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第第卷共卷共 7 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）（13）10()xy的展开式中，73x y的系数与37x y的系数之和等于_.【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13）解: 因rrrrryxCT 10101)1(所以有373101010()2240CCC （14）设等差数列na的前n项和为nS。若972S ，则249aaa_.【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。 （同理 14）解: na是等差数列,由972S ,得599,Sa58a 2492945645()()324aaaaaaaaaa。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为R，圆 M 的半径为r，则 32 r，即32 r由题得3)2(22 RR，所以 164422 RR。（16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为211|13| d，由图知直线m与1l的夹角为o30，1l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于00754530 o或00153045 o。故填写或三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)设等差数列na的前n项和为ns，公比是正数的等比数列nb的前n项和为nT，已知1133331,3,17,12, nnababTSb求a的通项公式.【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。解：设 na的公差为d，数列 nb的公比为0 q，由3317ab得212317dq 3312TS得24qqd 由及0q 解得2, 2 dq故所求的通项公式为112(1)21,3 2nnnannb 。(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业在ABC中，内角ABC、的对边长分别为abc、.已知222acb，且sin4cossinBAC，求b.【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得Abcbcacos2222 ，又 0,222 bbca，bAbcb2cos22 ，即2cos2 Acb 由正弦定理得sinsinbBcC又由已知得 sin4cossinBACsin4cossinBAC，所以4 cosbcA 故由解得4 b(19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD ，2DCSD，点M在侧棱SC上，60ABM（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的大小。 （同理 18）解法一：解法一：（I）作MECD交SD于点 E，则MEAB，ME 平面 SAD连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作MFAB，垂足为 F，则 AFME 为矩形设MEx，则SEx，222(2)2AEEDADx2(2)2,2MFAExFBx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x 即1ME ，从而12MEDC所以M为侧棱SC的中点（）222MBBCMC，又60 ,2ABMAB,所以ABM为等边三角形，又由（）知 M 为 SC 中点2,6,2SMSAAM，故222,90SASMAMSMA取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,BGAM GHAM,由此知BGH为二面角SAMB的平面角连接BH，在BGH中，22312223,2222BGAMGHSMBHABAH所以2226cos23BGGHBHBGHBG GH 二面角SAMB的大小为6arccos()3解法二解法二: :以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz设( 2,0,0)A，则( 2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)BCS（）设(0)SMMC,则2222(0,),( 2,)1111MMB又(0,2,0),60ABMB AB故| |cos60MBABMBAB即222422( 2)()()111解得1，即SMMC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由(0,1,1), ( 2,0,0)MA，得 AM 的中点2 1 1(, )22 2G又2 31(,),(0, 1,1),(2,1,1)222GBMSAM 0,0GBAMMSAM所以,GBAM MSAM因此,GB MS等于二面角SAMB的平面角6cos,3| |GB MSGB MSGBMS 所以二面角SAMB的大小为6arccos()3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第i局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( iAi， “第j局乙获胜”为事件(3,4,5)jBj 。（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则4343BBAAA ，由于各局比赛结果相互独立，故34343434( )()()()P AP AABBP AAP BB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3434() ()() ()P A P AP B P B52. 04 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而54354343ABAAABAAB ，由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343ABAAABAAPBP 648. 06 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0)()()()()()()()()()()(5435434354354343 APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP（21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数42( )36f xxx.（）讨论( )f x的单调性；（）设点 P 在曲线( )yf x上，若该曲线在点 P 处的切线l通过坐标原点，求l的方程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）366( )464 ()()22fxxxx xx令( )0fx 得026 x或26 x；令( )0fx 得26 x或260 x因此， xf在区间)0 ,26( 和),26( 为增函数；在区间)26,( 和)26, 0(为减函数。（）设点)(,(00 xfxP，由l过原点知，l的方程为0()yfx x，因此000()()f xx fx，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业即0)64(6303002040 xxxxx，整理得0)2)(1(2020 xx，解得20 x或20 x因此切线l的方程为xy2 或2 2yx (22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于 A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。解：解：（）将抛物线2:E yx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160 xxr E与M有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根12xx、由此得2212212( 7)4(16)070160rxxxxr A解得215164r又0r 所以r的取值范围是15(,4)2（II） 设四个交点的坐标分别为11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。则由（I）根据韦达定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则2112211212 |() |()2Sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr令216rt，则22(72 ) (72 )Stt 下面求2S的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )(72 )(72 )(144 )2Sttttt 331 7272144128()()2323ttt 当且仅当72144tt，即76t 时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。方法 2：设四个交点的坐标分别为11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx则直线 AC、BD 的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy 解得点 P 的坐标为)0 ,(21xx。设21xxt ，由216rt 及（）得7(0, )2t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积| )22(212121xxxxS 则4)(2(2122122112xxxxxxxxS 将721 xx，txx 21代入上式，并令2)(Stf ，得)270(34398288)27()27()(232 tttttttf，2( )2456982(27)(67)fttttt ，令( )0ft 得67 t，或27 t（舍去）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业当670 t时，( )0ft ；当67 t时( )0ft ；当2767 t时，( )0ft 故当且仅当67 t时，)(tf有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为)0 ,67(