专题28第5章相似三角形之旋转相似备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

28第5章相似三角形之旋转相似一、单选题1在RtABC中，BAC90°，AD是ABC的中线，ADC45°，把ADC沿AD对折，使点C落在C的位置，CD交AB于点Q，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出ADDCBD，ACAC，ADCADC45°，CDCD，进而求出C、B的度数，求出其他角的度数，可得AQAC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案【解答】解：如图，过点A作AEBC，垂足为E，ADC45°，ADE是等腰直角三角形，即AEDEAD，在RtABC中，BAC90°，AD是ABC的中线，ADCDBD，由折叠得：ACAC，ADCADC45°，CDCD，CDC45°+45°90°，DACDCA（180°45°）÷267.5°CAD，B90°CCAE22.5°，BQD90°BCQA67.5°，ACAQAC，由AECBDQ得：，故选：A【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键2如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC于点F，连接DF，给出下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；SABF：S四边形CDEF2：5，其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】根据四边形ABCD是矩形，BEAC，可得ABC=AFB=90°，又BAF=CAB，于是AEFCAB，故正确；根据点E是AD边的中点，以及ADBC，得出AEFCBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故正确；过D作DMBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据AEFCBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SAEF=SABF，SABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=SACD-SAEF=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=SABF，故正确【解答】如图，过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90°，ADBC，BEAC于点F，EACACB，ABCAFE90°，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEADBC，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；AEFCBF，SAEFSABF，SABFS矩形ABCD，SAEFS矩形ABCD，又S四边形CDEFSACDSAEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，SABF：S四边形CDEF2：5，故正确；故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题3已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，则CH的长为_.【答案】【解析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明ANGADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明ADGCDE得到DAG=DCE，从而说明ADMCHM，得到，最后算出CH的长.【解答】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，GNA=90°，DN=FN=EN=GN，MAD=GAN，MDA=GNA=90°，ANGADM，DF=EG=2,DN=NG=1，AD=AB=3，解得：DM=，MC=，AM=，ADM+MDG=EDG+CDG，ADG=EDC，在ADG和CDE中，ADGCDE（SAS），DAG=DCE，AMD=CMH，ADM=CHM=90°，ADMCHM，即，解得：CH=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.4如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，则DH的长为_ 【答案】【解析】延长GE交AB于点M，作于首先求出AG、AH，由ADN，得，求出DN、AN，HN，在中利用勾股定理即可解决问题【解答】延长GE交AB于点M，作于N四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，四边形BFGM是矩形，点H为AG的中点，在中，故答案为【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题5如图，在ABC中，AB5，D为边AB上动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_【答案】5【解析】如图，构造等腰RtCBG，CBG=90°，则由CGECBD，得GE=BD，即可求得点E运动的路径长【解答】如图：作GBBC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，CBG=90°，CG=BC，GCB=45，四边形CDEF是正方形，CE=DC，ECD=45，BCD+DCG =GCE+DCG =45，BCD =GCE，且，CGECBD，即GE=BD，BD=5，点E运动的路径长为GE=BD=5【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为_【答案】或【解析】根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；答案如图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，同即可求出EF【解答】解：，点是的中点，又点在正方形的对称轴上，分以下两种情况讨论：如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，在正方形中，由折叠可知，设，则，解得，；如答案图2当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则，同理可得，综上所述，折痕的长为或【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题7如图，在中，为边上一点，连接，作交于点，连接猜想线段与之间的数量关系，并证明【答案】，见解析【解析】过点作交于点，通过证明，可得，即在中，故，即【解答】解：证明：如图，过点作交于点，则，在中，即【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键8已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且（1）点与点重合时，如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ； 如图2，时，猜想和的关系，并说明理由；（2）时，如图3，时，若求的长度；如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值【答案】（1）AE=FC；AEFC；AE=2FC；AEFC；理由见解析；（2）FC = 6；MN的最小值为【解析】（1）利用SAS证出ABECDF，从而证出AE=FC，A=DCF，然后证出ACF=90°即可得出结论；根据相似三角形的判定证出ABECDF，从而得出A=DCF，然后证出ACF=90°即可得出结论；（2）作GDBC于点D，交AC于点G；作GHAB于点H，交AB于点H；DMAC，利用SAS证出EDGFDC，从而得出EG=FC，令DC=a，BD=2a，根据三角形的面积公式即可求出a值，从而求出结论；连接MD和MC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=，从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H，然后证出四边形NMHG为平行四边形，从而求出结论【解答】（1）解：ABC=EDF=90°，ABCA=90°ABEEDC=CDFEDCABE=CDFAB=CB，DE=DFABECDFAE=FC，A=DCFDCFBCA=90°ACF=90°AEFC故答案为：AE=FC；AEFC；证明：AE=2FC；AEFCDFDEEDF=ABC=90°ABE=CDF·ABECDFA=DCF，A+ACB=90°DCF+ACB=90°ACF=90°；即FCAE·（2）解：作GDBC于点D，交AC于点G；作GHAB于点H，交AB于点H；DMAC四边形BDGH为矩形DB=HGABC=90°，A=HGA =ACB=45°DC=DGDEDFEDG=FDCEDGFDC（SAS）EG=FCBD=2CD令DC=a，BD=2aAG=EG=，MD=·解得，（舍）FC = EG=6，AB=10BC=5CD=由易证ECF=90°在RtEDF和RtECF中，点M为EF的中点，连接MD和MCDM=CM=点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H当NMMH时，MN的最小，易知MNBC，MHAB，CH=取BC的中点G，连接NG，则CG=NG为ABC的中位线NGABMHNG四边形NMHG为平行四边形此时MN=GH=CGCH=即MN的最小值为【点睛】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质9如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于 BC 的长.（1）求EOF 的度数.（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：AOECFO.（3）若OE=OF，求的值.【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）【解析】(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明OBE和OCG全等，从而得出BOECOG，BEOCGO，OEOG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出FOE和GOF全等，得出EOF的度数；(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出OAE=FCO=45°，结合BOE=COG得出AEO=COF，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案【解答】解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.点O为正方形ABCD的中心， OB=OC，BOC90°，OBEOCG45°OBEOCG（SAS）. BOECOG，BEOCGO，OEOG.EOG90°，BEF的周长等于BC的长， EFGF. EOFGOF（SSS）.EOFGOF45°(2).连接OA 点O为正方形ABCD的中心， OAEFCO45°BOECOG， AEOBOEOBEBOE45°，COFCOGGOFCOG45° AEOCOF，且OAEFCO AOECFO (3).AOECFO，即AE ×CO，CFAO÷OEOF，AECO，CFAO 点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键10在和中，与在同一条直线上，点与点重合，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，若，求和的面积【答案】和的面积分别为2和【解析】过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDCAEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求【解答】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，AC=2，又，在BAC和DEC中，由旋转性质知，BDCAEC，故，在DMC中，BDCAEC，BDC和AEC的面积分别为2和【点睛】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDCAEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方11问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，与相交于点点在边上，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，直接写出的长 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：【解析】问题背景：通过得到，再找到相等的角，从而可证；尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，然后利用对应边成比例即可得到答案【解答】问题背景：，BAC=DAE， ，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，；尝试应用：连接CE，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，由于，即，又，即，又，；拓展创新：如图，在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，ADE=BAD+ABD，ABC=ABD+CBD，ADE=ABC，又DAE=BAC，又DAE=BAC，BAD=CAE，设CD=x，在直角三角形BCD中，由于CBD=30°，【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键12在中，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，求DN的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到BCDACD45°，BCEACF90°，于是得到DCEDCF135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）证得CDFCED，根据相似三角形的性质得到，即CD2CECF；（3）如图，过D作DGBC于G，于是得到DGNECN90°，CGDG，当CD2，时，求得，再推出CENGDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：，CD是中线，在与中，； （2）证明：，即 （3）如图，过D作于点G，则，当，时，由，得 在中， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键13ABE内接于O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，COBE （1）如图1，求证：COAB；（2）如图2，BO平分ABE，求证：ABBE；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ETAB于T，P2AET，ET18，OP25，求O半径的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）O半径的长是【解析】（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得CEB=COB，根据COBAEB可得COA=COB，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；（2）过点O作OFBE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=AB，BF=BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得AEB=EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得DBO=AET，根据P2AET可得P=ABE，进而可得POB=PBO，即可证明OP=PB，由ETB=PDB=90°可证明BETPBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案【解答】（1）如图，连接CE、OA，COB和CEB分别是所对的圆心角和圆周角，CEB=COB，COBAEB，CEB=AEB，COA=COB，OA=OB，OCAB（2）如图，过点O作OFBE于F，OB平分ABE，ODAB，OFBE，OD=OF，BD=AB，BF=BE，BD=，BF=，BD=BF，AB=BE（3）AB=BE，AEB=EAB，COB=AEB，COB=BAE，ETAB，OCAB，BAE+AET=COB+DBO，DBO=AET，OB平分ABE，ABE=2DBO=2AET，P=2AET，P=ABE，AEB=OBO，AEB=EAB，POB=PBO，OP=PB，ETB=PDB=90°，BETPBD，ET=18，OP=25，2BD2=18×25，解得：BD=15，（负值舍去）PD=20，OD=OP-PD=5，OB=，即O半径的长是【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键14如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求的值，（3）若DM1，CM2，求正方形AEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由正方形的性质得ACD=AFG=45°，进而根据对顶角的性质得CFM=ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明ACFABE，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由MFCMCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长【解答】（1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，ACD=AFG=45°，CFM=AFG，CFM=ACM=45°，CMF=AMC，MFCMCA；（2）四边形ABCD是正方形，ABC=90°，BAC=45°，AC=AB，同理可得AF=，EAF=BAC=45°，CAF+CAE=BAE+CAE=45°，CAF=BAE，ACFABE，；（3）DM=1，CM=2，AD=CD=1+2=3，AM=，MFCMCA，即，FM=，AF=AMFM=，AF=，即正方形AEFG的边长为【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题15如图1，若点P是ABC内一点，且有PBC=PCA=PAB，则称点P是ABC的“等角点”（1）如图1，ABC=70°，则APB= （2）如图2，在ABC中，ACB=90°，点P是ABC的“等角点”， 若BAC=45°求的值； 求tanPBC的值；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）结合题意，可得，结合ABC=70°，即可计算得；（2）由BAC=45°，ACB=90°，可得 ,；结合点P是ABC的“等角点”，得，从而得到，通过相似比即可得到答案；由（2）可知，相似比可得CP和AP的关系，通过证明，得；将CP、AP关系式代入到三角函数，从而完成求解【解答】（1） PBC=PCA=PABABC=70°（2）BAC=45°，ACB=90°ABC=45° , 点P是ABC的“等角点”PBC =PAB 由（2）得 ACB=90° PBC=PCA，即 【点睛】本题考查了相似三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、直角三角形、三角函数的性质，从而完成求解16如图，在中，AC8=90°，BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1若a=45，则的形状为_；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示） 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK；【解析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，EKC =90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证AECBGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得CAE=CBG，由tan的表示可得，易证CAECBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【解答】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，A=45°，ACB=90°，A=CBA=45°，CA=CB，DEAB，DEB=90°，DK=KB，EK=KB=DK= BD，KEB=KBE，EKD=KBE+KEB=2KBE，DCB=90°，DK=KB，CK=KB=KD= BD，KCB=KBC，EK=KC，DKC=KBC+KCB=2KBC，EKC=EKD+DKC=2（KBE+KBC）=2ABC=90°，ECK是等腰直角三角形（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q=45°，DEAE，AED=90°，DAE=45°，ADE是等腰直角三角形，DE=AE=BG，1+3=2+4=90°，1=2，3=4，AC=BC，AECBGC（SAS），CE=CG，5=BCG，ECG=ACB=90°，ECG是等腰直角三角形，KD=KB，DE=BG，KE=KG，CK=EK=KG，BEAE= BEBG=EG=EKKG =2CK（3）解：结论：BE-AEtan=2CK理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于QDEAE，ACB=90°，CAE+EQA=90°,CBG+CQB=90°EQA=CQB，CAE=CBG，在RtACB中，tan=，在RtADE中，tan= ， DE=AE·tanCAECBG，ACE=BCG，ECG=ACB=90°，KD=KB，DE=BG，KE=KG，EG=2CK，BEBG=EG=2CK，BEDE=2CK，BEAEtan=2CK【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.17如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，过点A作AD平分BAC交O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DGAB于点G，连接BD(1)求证：AEDDGB；(2)求证：EF是O的切线；(3)若，OA4，求劣弧的长度(结果保留)【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）先证ACB=ADB=90°，再由平行得，由垂直得，再根据角度转换得，即可证明AEDDGB；（2）连接，证明，即可证明，从而解决本题；（3）先证，得到，再根据OA=4，然后求出，从而求出弧长.【解答】（1）AB为直径，ACB=ADB=90°，DGAB，AD平分BAC，EAD=DAG，（2）连接，EF是O的切线；（3），OA=4，AB=8，.【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质定理是解决本题的关键.18如图1，抛物线ya（x+2）（x6）（a0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A（1）若ACD的面积为16求抛物线解析式；S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N求的最大值；（2）如图2，直线yx12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足MAB75°的点M有且只有两个，求a的取值范围【答案】（1），t0时，最大值为2；（2）【解析】（1）由题意，令y=0，解得C（-2，0），D（6，0）得CD=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，A（0，-12a），即OA=12a，由SACD=48a=16，解得：a，所求抛物线的解析式为y(x+2)(x6)= x2x4；由于SP1P-SC1C=SCC1，且MSC=NSP1MSCNSP1得，设S（t，0）（0t6），则SP=(t+2)(t6)，SC=t+2，可得t=0时，最大值为2；（2）分两种情况讨论，由直线y=x-12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA=OB=12a，OAB=OBA=45°，当点N在y轴的左侧时，此时MAO=30°得直线AM的解析式为：得点M的横坐标为得当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与中直线AE关于AB的对称直线交于点F，易证：EBAFBA，得BAF=75°，BF=BE=，FBO=90°，得直线AF的解析式为：，点G横坐标为，点A关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为：（4，-12a），则，得，因此满足MAB=75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：【解答】解：（1）由题意，令y0，解得x12，x26C（2，0），D（6，0）CD8令x0，解得y12a，且a0A（0，12a），即OA12aSACD48a16，解得：所求抛物线的解析式为由题意知，SP1PSC1CSCC1，且MSCNSP1MSCNSP1设S（t，0）（0t6），则SP，SCt+20t6t0时，最大值为2；（2）由题意，直线yx12a与x轴交于点B得B（12a，0），OAOB12a，OABOBA45°如图2当点M在y轴的左侧时，此时MAO30°设直线AM与x轴交于点E，则OE又A（0，12a），直线AM的解析式为：由得：解得：点M的横坐标为当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与中直线AE关于AB的对称直线交于点F，易证：EBAFBA，得BAF75°，BFBE，FBO90°直线AF的解析式为：由，解得：点G横坐标为，点A关于抛物线对称轴x2的对称点的坐标为：（4，12a），则，得，故要使满足MAB75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与其他函数图象相结合的问题，解题过程中利用相似三角形的判定与性质、方程组、全等三角形的判定及性质的知识，关键是结合图形找出相应的关系，贯穿了数形结合思想的应用19已知，如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在上取一点（点在第二象限），连接，使，连接并延长交轴于点，过点作于点，连接、若时，求值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）先令代入抛物线的解析式中求得与轴交点的坐标，根据可得的坐标，从而得的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图2，设，证明，列比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得，则是等腰直角三角形，得，由，得，求得，证明是等腰直角三角形，及，则，代入可得的值，并根据（2）中的点只在第一象限进行取舍【解答】（1）如图1，当时，把，代入抛物线中得：解得：抛物线的解析式为；（2）如图2，设过作轴于；（3）如图3，连接，延长交轴于由（2）知：，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，不符合题意，舍去【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定定理与性质、平行线分线段成比例定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，本题较难的是（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键20如图，函数yx2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn（）求m，n的值以及函数的解析式；（）设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD求证：BCDOBA；（）对于（）中所求的函数yx2+bx+c，（1）当0x3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在txt+1内的最大值为p，最小值为q，若pq3，求t的值【答案】（I）m1，n3，yx2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值4；y最小值0；（2）t1或t2【解析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得BD