备考2022数学专题09 不等式与不等式组（解析版）.docx

专题09 不等式与不等式组知识点1：不等式1.用符号“”“”“ ”“”表示大小关系的式子叫做不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。4.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。知识点2：一元一次不等式一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。知识点3：一元一次不等式组一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。【例题1】（2020新疆）不等式组2(x-2)2-x，x+22x+33的解集是（）A0x2B0x6Cx0Dx2【答案】A【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集2(x-2)2-xx+22x+33，解不等式，得：x2，解不等式，得：x0，则不等式组的解集为0x2。【例题2】（2020连云港）不等式组2x-13，x+12的解集在数轴上表示为（）ABCD【答案】C【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可解不等式2x13，得：x2，解不等式x+12，得：x1，不等式组的解集为1x2，表示在数轴上如下：【例题3】（2020凉山州）若不等式组2x3(x-3)+13x+24x+a恰有四个整数解，则a的取值范围是 【答案】-114a-52【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围解不等式2x3（x3）+1，得：x8，解不等式3x+24x+a，得：x24a，不等式组有4个整数解，1224a13，解得：-114a-52【例题4】（2020北京）解不等式组：5x-32x，2x-13x2【答案】见解析。【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集解不等式5x32x，得：x1，解不等式2x-13x2，得：x2，则不等式组的解集为1x2【例题5】（2020济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少最少费用是多少？【答案】见解析。【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；（2）设有a辆大货车，（12a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由题意可得：2x+3y=6005x+6y=1350，解得：x=150y=100，答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，（2）设有a辆大货车，（12a）辆小货车，由题意可得：150a+100(12-a)15005000a+3000(12-a)54000，6a9，整数a6，7，8；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用5000×6+3000×648000元，当有7辆大货车，5辆小货车时，费用5000×7+3000×550000元，当有8辆大货车，4辆小货车时，费用5000×8+3000×452000元，480005000052000，当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元不等式与不等式组单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1（2020株洲）下列哪个数是不等式2（x1）+30的一个解？（）A3B-12C13D2【答案】A【解析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可解不等式2（x1）+30，得x-12，因为只有3-12，所以只有3是不等式2（x1）+30的一个解，2（2020贵阳）已知ab，下列式子不一定成立的是（）Aa1b1B2a2bC12a+112b+1Dmamb【答案】D【解析】根据不等式的基本性质进行判断A.在不等式ab的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a1b1，原变形正确，故此选项不符合题意；B.在不等式ab的两边同时乘以2，不等号方向改变，即2a2b，原变形正确，故此选项不符合题意；C.在不等式ab的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a12b，不等式12a12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+112b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D.在不等式ab的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即mamb，或mamb，或mamb，原变形不正确，故此选项符合题意3（2020株洲）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（）A1B-32C43D4或4【答案】B【解析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可点A（a，2）是第二象限内的点，a0，四个选项中符合题意的数是-324（2020衢州）不等式组3(x-2)x-43x2x-1的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【答案】C【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解3(x-2)x-43x2x-1，由得x1；由得x1；故不等式组的解集为1x1，在数轴上表示出来为：5（2020苏州）不等式2x13的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【答案】C【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可移项得，2x3+1，合并同类项得，2x4，x的系数化为1得，x2在数轴上表示为：6（2020广元）关于x的不等式x-m07-2x1的整数解只有4个，则m的取值范围是（）A2m1B2m1C2m1D3m2【答案】C【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可不等式组整理得：xmx3，解集为mx3，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，1，2m17（2020天水）若关于x的不等式3x+a2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A7a4B7a4C7a4D7a4【答案】D【解析】先解不等式得出x2-a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出22-a33，解之可得答案3x+a2，3x2a，则x2-a3，不等式只有2个正整数解，不等式的正整数解为1、2，则22-a33，解得：7a48（2020广东）不等式组2-3x-1，x-1-2(x+2)的解集为（）A无解Bx1Cx1D1x1【答案】D【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集解不等式23x1，得：x1，解不等式x12（x+2），得：x1，则不等式组的解集为1x19（2020重庆）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）A5B4C3D2【答案】B【解析】设还可以买x个作业本，根据总价单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论设还可以买x个作业本，依题意，得：2.2×7+6x40，解得：x4110又x为正整数，x的最大值为410（2020杭州）若ab，则（）Aa1bBb+1aCa+1b1Da1b+1【答案】C【解析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断CA、设a0.5，b0.4，ab，但是a1b，不符合题意；B、设a3，b1，ab，但是b+1a，不符合题意；C、ab，a+1b+1，b+1b1，a+1b1，符合题意；D、设a0.5，b0.4，ab，但是a1b+1，不符合题意11.(2019甘肃省陇南市)不等式2x+93（x+2）的解集是（）Ax3 Bx3 Cx3Dx3【答案】A 【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可去括号，得2x+93x+6，移项，合并得x3系数化为1，得x3。【点拨】本题属于一元一次不等式的解集问题。12.从3，1，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程=1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A3B2CD【答案】B【解析】根据不等式组无解，求得a1，解方程得x=，于是得到a=3或1，即可得到结论解：得，不等式组无解，a1，解方程=1得x=，x=为整数，a1，a=3或1，所有满足条件的a的值之和是2【点评】本题属于不等式无解的问题，但也考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键二、填空题（每空3分，共30分）13（2020鄂州）关于x的不等式组2x4x-50的解集是 【答案】2x5【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分2x4x-50由得：x2，由得：x5，所以不等式组的解集为：2x5，故答案为2x514.（2019铜仁）如果不等式组的解集是xa4，则a的取值范围是【答案】a3【解析】解这个不等式组为xa4，则3a+2a4，解这个不等式得a3故答案a3【点拨】本题属于明确不等式组解集，求范围问题。15（2020攀枝花）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票反而合算【答案】33【解析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可设x人进公园，若购满40张票则需要：40×（51）40×4160（元），故5x160时，解得：x32，则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，则再多1人时买40张票较合算；32+133（人）则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算16（2020岳阳）不等式组x+30，x-10的解集是 【答案】3x1【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集解不等式x+30，得：x3，解不等式x10，得：x1，则不等式组的解集为3x117（2020黑龙江）若关于x的一元一次不等式组x-102x-a0有2个整数解，则a的取值范围是 【答案】6a8【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案解不等式x10，得：x1，解不等式2xa0，得：xa2，则不等式组的解集为1xa2，不等式组有2个整数解，不等式组的整数解为2、3，则3a24，解得6a818（2020滨州）若关于x的不等式组12x-a0，4-2x0无解，则a的取值范围为 【答案】a1【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案解不等式12xa0，得：x2a，解不等式42x0，得：x2，不等式组无解，2a2，解得a119（2020哈尔滨）不等式组x3-1，3x+52的解集是 【答案】x3【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可x3-13x+52，由得，x3；由得，x1，故此不等式组的解集为：x320（2020黔东南州）不等式组5x-13(x+1)12x-14-13x的解集为 【答案】2x6【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集解不等式5x13（x+1），得：x2，解不等式12x14-13x，得：x6，则不等式组的解集为2x621（2020遂宁）若关于x的不等式组x-24x-132x-m2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是 【答案】1m4【解析】解不等式组得出其解集为2xm+23，根据不等式组有且只有三个整数解得出1m+232，解之可得答案解不等式x-24x-13，得：x2，解不等式2xm2x，得：xm+23，则不等式组的解集为2xm+23，不等式组有且只有三个整数解，1m+232，解得1m422（2020黔西南州）不等式组2x-63x，x+25-x-140的解集为 【答案】6x13【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可2x-63xx+25-x-140，解得：x6，解得：x13，不等式组的解集为：6x13三、解答题（8个小题，共54分）23（5分）（2020武威）解不等式组：3x-5x+12(2x-1)3x-4，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】见解析。【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集解不等式3x5x+1，得：x3，解不等式2（2x1）3x4，得：x2，则不等式组的解集为2x3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：24（5分）（2020上海）解不等式组：10x7x+6，x-1x+73【答案】见解析。【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解10x7x+6x-1x+73，解不等式得x2，解不等式得x5故原不等式组的解集是2x525（5分）（2020扬州）解不等式组x+50，3x-122x+1，并写出它的最大负整数解【答案】见解析。【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案解不等式x+50，得x5，解不等式3x-122x+1，得：x3，则不等式组的解集为x5，所以不等式组的最大负整数解为526（6分）（2020苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）（1）当a20时，求b的值；（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18a26，求b的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由a的取值范围结合a502b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论【解析】（1）依题意，得：20+2b50，解得：b15（2）18a26，a502b，50-2b1850-2b26，解得：12b16答：b的取值范围为12b1627（6分）（2020辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？【答案】见解析。【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30m）本，根据总价单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论【解析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，解得：x=70y=50答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30m）本，依题意，得：70m+50（30m）1600，解得：m5答：学校最多可购买甲种词典5本28（8分）（2020长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？【答案】见解析。【分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论【解析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意，得：x+3y=282x+5y=50，解得：x=10y=6答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m62.4，解得：m5.4，又m为正整数，m的最小值为6答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地29（9分）（2020菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案【答案】见解析。【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m根跳绳，则购买（54m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意，得：2x+5y=324x+3y=36，解得：x=6y=4答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元（2）设购买m根跳绳，则购买（54m）个毽子，依题意，得：6m+4(54-m)260m20，解得：20m22又m为正整数，m可以为21，22共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子30（10分）（2020自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是 ；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2【答案】见解析。【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；（3）原式变形2和4距离x最小值为4（2）6；根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可【解析】（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；如图所示，满足|x+3|+|x1|4的x范围为x3或x1；当a为1或5时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2