四川省自贡市富顺县童寺学区2016届九年级数学上学期第一次段考试题含解析新人教版.doc

四川省自贡市富顺县童寺学区2016届九年级数学上学期第一次段考试题一、选择题（每题4分，共40分）1下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A（a3）x2=8 （a3）Bax2+bx+c=0C（x+3）（x2）=x+5D2下列方程中，常数项为零的是( )Ax2+x=1B2x2x12=12C2（x21）=3（x1）D2（x2+1）=x+23一元二次方程2x23x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是( )ABCD以上都不对4关于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0的一个根是0，则a的值为( )A1B1C1或1D5要得到抛物线y=（x4）2，可将抛物线y=x2( )A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位6抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么( )Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c07某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )A200（1+x）2=1000B200+200×2x=1000C200+200×3x=1000D2001+（1+x）+（1+x）2=10008下列说法：（1）平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点为对称中心；（2）只有正方形才既是中心对称图形，又是轴对称图形；（3）关于中心对称的两个图形是全等形，两个全等图形也一定成中心对称；（4）若将一个图形绕某定点旋转和另一个图形不重合，那么这两个图形不可能关于这个定点成中心对称，其中正确说法的个数是( )A1个B2个C3个D4个9二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1x21，y1与y2的大小关系是( )Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1y210将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是( )A60B90C120D180二、填空题（每题4分，共20分）11用_法解方程3（x2）2=2x4比较简便12一元二次方程x23x1=0与x2x+3=0的所有实数根的和等于 _13若关于y的方程ky24y3=3y+4有实根，则k的取值范围是_14关于x的方程x2xn=0没有实数根，则抛物线y=x2xn的顶点在第_象限15如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形ABCD，则它们的公共部分的面积等于_三、解答题：（每题8分，共32分）16解方程177x（5x+2）=6（5x+2）18若x1、x2是方程5x24x1=0的两个根，且点A（x1，x2）在第二象限，点B（m，n）和点A关于原点O对称，求的值19在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，9）（1）画出ABC，并求出AC所在直线的解析式（2）画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的A1B1C1，并求出ABC在上述旋转过程中扫过的面积四、解答题：（每题10分，共20分）20已知y=x2+2x+1 （1）把它配方成y=a（xh）2+k形式；（2）写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；（3）求出图象与y轴、x轴的交点坐标；（4）作出函数图象；（5）x取什么值时y0，y0；（6）设图象交x轴于A，B两点，求AMB面积21美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为_公顷，比2002年底增加了_公顷；在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是_年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两绿地面积的年平均增长率五、解答题：（每题12分，共24分）22某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=1623x（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？23如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF（1）DCF可以看做是BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？说明理由 （2）若CEB=60°，求EFD的度数六、解答题：24（14分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由2015-2016学年四川省自贡市富顺县童寺学区九年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A（a3）x2=8 （a3）Bax2+bx+c=0C（x+3）（x2）=x+5D【考点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：A、由于a3，所以a30，故（a3）x2=8 （a3）是一元二次方程；B、方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程；C、方程展开后是：x211=0，符合一元二次方程的定义；D、符合一元二次方程的定义故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断2下列方程中，常数项为零的是( )Ax2+x=1B2x2x12=12C2（x21）=3（x1）D2（x2+1）=x+2【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】要确定常数项，首先要把方程化成一般形式【解答】解：A、由原方程得 x2+x1=0，常数项是1故本选项错误；B、由原方程得 2x2x24=0，常数项是24故本选项错误；C、由原方程得 2x23x+1=0，常数项是1故本选项错误；D、由原方程得 2x2+x=0，常数项是0故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3一元二次方程2x23x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是( )ABCD以上都不对【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可【解答】解：2x23x+1=0，2x23x=1，x2x=，x2x+=+，（x）2=；一元二次方程2x23x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：（x）2=；故选C【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数4关于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0的一个根是0，则a的值为( )A1B1C1或1D【考点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解【解答】解：根据题意得：a21=0且a10，解得：a=1故选B【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于05要得到抛物线y=（x4）2，可将抛物线y=x2( )A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到【解答】解：y=（x4）2的顶点坐标为（4，0），y=x2的顶点坐标为（0，0），将抛物线y=x2向左平移4个单位，可得到抛物线y=（x4）2故选D【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标6抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么( )Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴方程以及抛物线与y轴的交点来判定系数a、b、c的符号【解答】解：根据图象知，抛物线的开口方向向下，则a0对称轴方程x=0，则0，故a、b同号，所以b0；又因为抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，则c0综上所述，a0，b0，c0故选B【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定7某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )A200（1+x）2=1000B200+200×2x=1000C200+200×3x=1000D2001+（1+x）+（1+x）2=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可【解答】解：一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即2001+（1+x）+（1+x）2=1000故选：D【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键8下列说法：（1）平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点为对称中心；（2）只有正方形才既是中心对称图形，又是轴对称图形；（3）关于中心对称的两个图形是全等形，两个全等图形也一定成中心对称；（4）若将一个图形绕某定点旋转和另一个图形不重合，那么这两个图形不可能关于这个定点成中心对称，其中正确说法的个数是( )A1个B2个C3个D4个【考点】中心对称图形；全等图形；轴对称图形；中心对称 【专题】推理填空题【分析】（1）根据平行四边形的性质及中心对称图形的定义进行判定；（2）在学过的图形中，举出一些既是中心对称图形，又是轴对称图形的反例；（3）根据两个图形成中心对称的定义，全等形的性质及它们之间的区别与联系进行判定；（4）根据两个图形成中心对称的定义进行判定【解答】解：（1）因为平行四边形绕对角线的交点旋转180°后能够与自身重合，所以平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点为对称中心，故说法正确；（2）矩形、菱形、圆等既是中心对称图形，又是轴对称图形，故说法错误；（3）关于中心对称的两个图形是全等形，但两个全等图形不一定成中心对称，故说法错误；（4）因为把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，所以若将一个图形绕某定点旋转和另一个图形不重合，那么这两个图形不可能关于这个定点成中心对称故说法正确故选B【点评】本题主要考查了平行四边形、全等形的性质，中心对称图形、轴对称图形、两个图形成中心对称的定义，属于基础题型，比较简单9二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1x21，y1与y2的大小关系是( )Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】对于二次函数y=x2+bx+c，根据a0，抛物线开口向下，在x1的分支上y随x的增大而增大，故y1y2【解答】解：a0，x1x21，y随x的增大而增大y1y2故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象性质10将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是( )A60B90C120D180【考点】旋转对称图形 【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数【解答】解：该图形被平分成三部分，因而图案绕其旋转的最小度数是=120°故选C【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键二、填空题（每题4分，共20分）11用因式分解法解方程3（x2）2=2x4比较简便【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x2），移项后可把（x2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便【解答】解：由方程3（x2）2=2x4知：两边有公因式x2，用因式分解法解方程3（x2）2=2x4比较简便【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用12一元二次方程x23x1=0与x2x+3=0的所有实数根的和等于 3【考点】根与系数的关系 【分析】首先需要通过判别式来判定这两根方程是否有实数根，再根据根与系数的关系即可求得答案【解答】解：x23x1=0，a=1，b=3，c=1，b24ac=130，方程有两个不相等的实数根；设这两个实数根分别为x1与x2，则x1+x2=3；又x2x+3=0，a=1，b=1，c=3，b24ac=110，此方程没有实数根一元二次方程x23x1=0与x2x+3=0的所有实数根的和等于3故答案为：3【点评】此题考查了判别式与一元二次方程根的关系，以及根与系数的关系（如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=，x1x2=）解题时要注意这两个关系的合理应用13若关于y的方程ky24y3=3y+4有实根，则k的取值范围是k【考点】根的判别式；一元一次方程的定义 【分析】首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再根据方程有实根可得=b24ac0，再代入a、b、c的值再解不等式即可【解答】解：ky24y3=3y+4，移项得：ky24y33y4=0，合并同类项得：ky27y7=0，方程有实数根，0，（7）24k×（7）=49+28k0，解得：k，故答案为：k【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14关于x的方程x2xn=0没有实数根，则抛物线y=x2xn的顶点在第一象限【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】求出抛物线y=x2xn的对称轴x=，可知顶点在y轴的右侧，根据x2xn=0在实数范围内没有实数根，可知开口向上的y=x2xn与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限【解答】解：抛物线y=x2xn的对称轴x=，可知抛物线的顶点在y轴的右侧又关于x的一元二次方程x2xn=0没有实数根，开口向上的y=x2xn与x轴没有交点抛物线y=x2xn的顶点在第一象限故答案为：一【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键15如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形ABCD，则它们的公共部分的面积等于【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理 【专题】几何综合题【分析】作BFAD，垂足为F，WEBF，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积【解答】解：如图，作BFAD，垂足为F，WEBF，垂足为E，四边形WEFD是矩形，BAB=30°，BAF=60°，FBA=30°，WBE=60°，BF=ABsin60°=，AF=ABcos60°=，WE=DF=ADAF=，EB=WEcot60°=，EF=BFBE=，SBFA=，SBEW=，SWEFD=，公共部分的面积=SBFA+SBEW+SWEFD=；法2：连接AW，如图所示：根据旋转的性质得：AD=AB，DAB=60°，在RtADW和RtABW中，RtADWRtABW（HL），BAW=DAW=DAB=30°，又AD=AB=1，在RtADW中，tanDAW=，即tan30°=WD，解得：WD=，SADW=SABW=WDAD=，则公共部分的面积=SADW+SABW=故答案为【点评】本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解三、解答题：（每题8分，共32分）16解方程【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出一元一次方程，求出即可【解答】解：x2+2x+3=0，（x+）2=0，x+=，x1=x2=【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中177x（5x+2）=6（5x+2）【考点】解一元一次方程 【分析】去括号后移项、合并同类项得出x216x12=0，求出b24ac的值，再代入x=求出即可【解答】解：去括号得：35x2+14x=30x+12，移项得：35x216x12=0，b24ac=（16）24×35×（12）=1936，x=，x1=，x2=【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，主要考查学生解方程的能力，题目比较好，难度也适中18若x1、x2是方程5x24x1=0的两个根，且点A（x1，x2）在第二象限，点B（m，n）和点A关于原点O对称，求的值【考点】解一元二次方程-因式分解法；关于原点对称的点的坐标 【专题】计算题；因式分解【分析】用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，确定点A的坐标，根据关于原点对称的点的坐标，得到点B坐标，求出m，n的值，代入代数式求出代数式的值【解答】解：方程化为：（5x+1）（x1）=05x+1=0或x1=0x1=，x2=1因为点A（x1，x2）在第二象限，所以x10，x20方程5x24x1=0的两个根是x1=，x2=1又因为点B和点A关于原点对称，所以m=，n=1所以=【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据各象限的特点和关于原点对称的点的特征，确定m，n的值代入代数式求出代数式的值19在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，9）（1）画出ABC，并求出AC所在直线的解析式（2）画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的A1B1C1，并求出ABC在上述旋转过程中扫过的面积【考点】作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；扇形面积的计算 【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法将A（1，2），C（2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；（2）根据AC的长度，求出S=S扇形+SABC，就即可得出答案【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求，设AC所在直线的解析式为y=kx+b（k0），A（1，2），C（2，9），解得，y=7x5；（2）如图所示，A1B1C1即为所求，由图可知，S=S扇形+SABC，=+2×71×5×1×7×2×2×，=【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积等于S=S扇形+SABC是解决问题的关键四、解答题：（每题10分，共20分）20已知y=x2+2x+1 （1）把它配方成y=a（xh）2+k形式；（2）写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；（3）求出图象与y轴、x轴的交点坐标；（4）作出函数图象；（5）x取什么值时y0，y0；（6）设图象交x轴于A，B两点，求AMB面积【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点 【专题】计算题【分析】（1）利用配方法可把一般式变形为y=（x+2）21；（2）根据二次函数的性质求解；（3）求自变量为0时所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；求函数值为0时所对应的自变量的值可确定抛物线与x轴的交点坐标；（4）利用描点法画函数图象；（5）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围和函数图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可；（6）先计算出AB，然后根据三角形面积公式求解【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+2）21；（2）抛物线的开口向上，顶点M的坐标（2，1），对称轴为直线x=2，最小值为1；（3）当x=0时，y=x2+2x+1=1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），当y=0时，x2+2x+1=0，解得x1=2+，x2=2，则抛物线与x轴的交点坐标为（2+，0），（2，0）；（4）如图，（5）当x2或x2+时，y0；当2x2+时，y0；（6）如图，AB=2+（2）=2，所以AMB面积=×2×1=【点评】本题考查了二次函数的三种常见形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）也考查了二次函数的性质21美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为60公顷，比2002年底增加了4公顷；在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是2002年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两绿地面积的年平均增长率【考点】一元二次方程的应用；折线统计图 【分析】（1）根据统计图能看出2003年的绿化面积和2002年的绿化面积（2）设04，05两年绿地面积的年平均增长率为x，根据计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，可列方程求解【解答】解：（1）2003年的绿化面积为60公顷，2002年绿化的面积为56公顷6056=4，比2002年底增加了4公顷，这三年中增长最多的是2002年（2）设04，05两年绿地面积的年平均增长率为x，依题意有60（1+x）2=72.6x=10%或x=210%（舍去）答：04，05两年绿地面积的年平均增长率10%【点评】本题考查折线统计图及一元二次方程的应用的知识，从上面可看出每年对应的公顷数，以及2003年和2005年的公顷数，求出增长率五、解答题：（每题12分，共24分）22某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=1623x（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？【考点】二次函数的应用 【专题】应用题【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x30）元，那么m件的销售利润为y=m（x30），又m=1623x，y=（x30）（1623x），即y=3x2+252x4860，x300，x30又m0，1623x0，即x5430x54所求关系式为y=3x2+252x4860（30x54）（2）由（1）得y=3x2+252x4860=3（x42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法23如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF（1）DCF可以看做是BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？说明理由 （2）若CEB=60°，求EFD的度数【考点】旋转的性质；正方形的性质 【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明BCEDCF，据此即可解答；（2）由两个三角形全等的性质得出CFD的度数，再用等腰三角形的性质求EFD的度数【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，DC=BC，DCB=FCE，CE=CF，DCFBCE，则DCF可以看作是BCE绕点C顺时针旋转90°得到；（2）解：BCEDCF，DFC=BEC=60°，CE=CF，CFE=45°，EFD=15°【点评】此题主要考查正方形的特殊性质及全等三角形的判定的综合运用六、解答题：24（14分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由【考点】二次函数综合题；等边三角形的判定 【专题】压轴题【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长（3）存在，RtPNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得=1，=1，c=0，a=1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2+2x，故设P点的坐标为（m，m2+2m），则M点的坐标（m，），PFM是以PM为底边的等腰三角形PF=MF，即（m1）2+（m2+2m）2=（m1）2+（）2m2+2m=或m2+2m=，当m2+2m=时，即4m2+8m5=0=6480=160此式无解当m2+2m=时，即m22m=m=1+或m=1、当m=1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）、当m=1时，P点的坐标为（1，），M点的坐标为（1，），经过计算可知PF=PM，MPF为正三角形，P点坐标为：（1+，）或（1，）（3）当t=时，即N与F重合时PM=PN恒成立证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，在RtPNH中，PN2=（x1）2+（ty）2=x22x+1+t22ty+y2，PM2=（y）2=y2y+，P是抛物线上的点，y=x2+2x；PN2=1y+t22ty+y2=y2y+，1y+t22ty+y2=y2y+，移项，合并同类项得：y+2ty+t2=0，y（2t）+（t2）=0对任意y恒成立2t=0且t2=0，t=，故t=时，PM=PN恒成立存在这样的点【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高21