备考2022数学专题12 二次函数(解析版).docx
专题12 二次函数 专题知识回顾 1二次函数的概念:一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO(1)对称轴:(2)顶点坐标:(3)与y轴交点坐标(0,c)(4)增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式。(1)一般式 y=ax2 +bx+c(a0).已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.(2)顶点式 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。(3)交点式 已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式。4根据图像判断a,b,c的符号(1)a 确定开口方向 :当a>0时,抛物线的开口向上;当a<0时,抛物线的开口向下。(2)b 对称轴与a 左同右异。(3)抛物线与y轴交点坐标(0,c)5二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的根。抛物线y=ax2 +bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x轴有两个交点;=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x轴有一个交点;<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点。6函数平移规律:左加右减、上加下减.图像平移步骤(1)配方为: ,确定顶点(h,k)(2)对x轴, 左加右减;对y轴, 上加下减。7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等,那么对称轴专题典型题考法及解析 【例题1】(2019湖北荆州)二次函数y2x24x+5的最大值是 【答案】7【解析】y2x24x+52(x+1)2+7,即二次函数yx24x+5的最大值是7,故答案为:7【例题2】(2019广西贺州)已知抛物线的对称轴是直线,其部分图象如图所示,下列说法中:;当时,正确的是(填写序号)【答案】【解析】根据图象可得:,对称轴:,故正确;把代入函数关系式中得:,由抛物线的对称轴是直线,且过点,可得当时,故错误;,即:,故正确;由图形可以直接看出正确故答案为:【例题3】(2019贵州省毕节市)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如表:x(元)152030y(袋)252010若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。【解析】根据表格中的数据,利用待定系数法,求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可;利用每件利润×总销量总利润,进而求出二次函数最值即可(1) 依题意,根据表格的数据,设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为ykx+b得,解得故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为:yx+40(2)依题意,设利润为w元,得w(x10)(x+40)x2+50x+400整理得w(x25)2+22510当x2时,w取得最大值,最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元 专题典型训练题 一、选择题1.(2019广西河池)如图,抛物线的对称轴为直线,则下列结论中,错误的是ABCD【答案】【解析】由抛物线的开口方向判断与0的关系,由抛物线与轴的交点判断与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.由抛物线的开口向下知,与轴的交点在轴的正半轴上,可得,因此,故本选项正确,不符合题意;.由抛物线与轴有两个交点,可得,故本选项正确,不符合题意;.由对称轴为,得,即,故本选项错误,符合题意;.由对称轴为及抛物线过,可得抛物线与轴的另外一个交点是,所以,故本选项正确,不符合题意故选:2.(2019哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )A BC D【答案】B【解析】将抛物线y2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为y2(x2)2+3,故选B3.(2019湖北咸宁)已知点A(1,m),B(1,m),C(2,mn)(n0)在同一个函数的图象上,这个函数可能是()AyxBy=-2xCyx2Dyx2【答案】D【解析】A(1,m),B(1,m),点A与点B关于y轴对称;由于yx,y=-2x的图象关于原点对称,因此选项A、B错误;n0,mnm;由B(1,m),C(2,mn)可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,对于二次函数只有a0时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,D选项正确。4.(2019年陕西省)已知抛物线,当时,且当时, y的值随x值的增大而减小,则m的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】根据“当时,”,得到一个关于m不等式,在根据抛物线,可知抛物线开口向上,再在根据“当时, y的值随x值的增大而减小”,可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线,从而列出第二个关于m的不等式,两个不等式联立,即可解得答案因为抛物线,所以抛物线开口向上因为当时,所以 ,因为当时, y的值随x值的增大而减小,所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线,所以,联立不等式,解得5.(2019广西梧州)已知,关于的一元二次方程的解为,则下列结论正确的是ABCD【答案】A【解析】关于的一元二次方程的解为,可以看作二次函数与轴交点的横坐标,二次函数与轴交点坐标为,如图:当时,就是抛物线位于轴上方的部分,此时,或;又,;,故选:A6.(2019四川泸州)已知二次函数y(xa1)(xa+1)3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()Aa2Ba1C1a2D1a2【答案】D【解析】y(xa1)(xa+1)3a+7x22ax+a23a+6,抛物线与x轴没有公共点,(2a)24(a23a+6)0,解得a2,抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a,抛物线开口向上,而当x1时,y随x的增大而减小,a1,实数a的取值范围是1a27.(2019四川省雅安市)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2) 2+1,下列说法中错误的是( )Ay的最小值为1B图像顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C当x2时,y的值随x值的增大而增大,当x2时,y的值随x值的增大而减小D它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到【答案】C【解析】根据二次函数的性质进行判断,由二次函数y=(x-2) 2+1,得它的顶点是(2,1),对称轴为直线x=2,当x=2时,函数的最小值是1,图像开口向上,当x2时,y的值随x值的增大而增大,当x2时,y的值随x值的增大而减小,可由y=x2的图像向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以C是错误的,故选C二、填空题8.(2019黑龙江哈尔滨)二次函数的最大值是 【答案】8【解析】a10,y有最大值,当x6时,y有最大值8故答案为89. (2019黑龙江大庆)如图抛物线y(p>0),点F(0,p),直线l:yp,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1l,BB1l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_(只用a,b表示).【答案】【解析】先由边相等得到A1FB190°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到A1OB1的高,求出三角形面积.设Ax,则B180°x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1,BFB1,所以A1FB190°,所以A1FB1是直角三角形,A1B1,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:yp,A1OB1的高为,所以A1OB1的面积··10.(2019江苏镇江)已知抛物线yax24ax4a1(a0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2a1的最小值是 【答案】【解析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据线段AB的长不大于4,求出a的取值范围,再利用二次函数的增减性求代数式a2a1的最小值yax24ax4a1a(x2)21,该抛物线的顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x2抛物线过点A(m,3),B(n,3)两点,当y3时,a(x2)213,(x2)2,当a0时,x2±A(2,3),B(2,3)AB2线段AB的长不大于4,24aa2a1(a)2,当a,(a2a1)min(a)211.(2019江苏镇江)已知抛物线过点,两点,若线段的长不大于4,则代数式的最小值是【答案】【解析】抛物线过点,两点,线段的长不大于4,的最小值为:;故答案为12.(2019内蒙古赤峰)二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:b0;ab+c0;一元二次方程ax2+bx+c+10(a0)有两个不相等的实数根;当x1或x3时,y0上述结论中正确的是 (填上所有正确结论的序号)【答案】【解析】由图可知,对称轴x1,与x轴的一个交点为(3,0),b2a,与x轴另一个交点(1,0),a0,b0;错误;当x1时,y0,ab+c0;正确;一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点,由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的交点,一元二次方程ax2+bx+c+10(a0)有两个不相等的实数根;正确;由图象可知,y0时,x1或x3正确;故答案为三、解答题13.(2019北京市)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上(1)求点B的坐标(用含的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围【答案】见解析。【解析】先求出A点的坐标为,由平移规律求得点B的坐标;由A、B两点的纵坐标相同,得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程;根据a的符号分类讨论分析解答即可.(1)当x=0时,抛物线;抛物线与y轴交点A点的坐标为,由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为;即.(2) 由A、B两点的纵坐标相同,得A、B为对称点.抛物线对称轴方程为;即直线.(3) 当时,. 分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点A和点P;也不可能同时经过点B和点Q,所以线段PQ和抛物线没有交点.当时,. 分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点A和点P;但当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰好有一个公共点,此时,即. 综上所述:当时,抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.14.(2019辽宁本溪)工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本16元,工厂将该产品进行网络批发,批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系.(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若一次性批发量不超过60件,当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?【答案】见解析。【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.认真观察图象,分别写出该定义域下的函数关系式,定义域取值全部是整数;根据利润=(售价-成本)×件数,列出利润的表达式,求出最值(1) 当0x20且x为整数时,y=40;当20x60且x为整数时,y=-x+50;当x60且x为整数时,y=20;(2)设所获利润w(元),当0x20且x为整数时,y=40,w=(40-16)×20=480元,当0x20且x为整数时,y=40,当20x60且x为整数时,y=-x+50,w=(y-16)x=(-x+50-16)x,w=-x2+34x,w=-(x-34)2+578,-0,当x=34时,w最大,最大值为578元答:一次批发34件时所获利润最大,最大利润是578元15(2019湘潭)湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?(2)小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?【答案】见解析。【解析】根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组即可解题;根据题意,可设A种礼盒降价m元/盒,则A种礼盒的销售量为:(10+)盒,再列出关系式即可(1)根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,则有,解得故该店平均每天销售A礼盒10盒,B种礼盒为20盒(2)设A种湘莲礼盒降价m元/盒,利润为W元,依题意总利润W(120m72)(10+)+800化简得Wm2+6m+1280(m9)2+1307a0当m9时,取得最大值为1307,故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元16. (2019广西省贵港市)如图,已知抛物线的顶点为,与轴相交于点,对称轴为直线,点是线段的中点(1)求抛物线的表达式;(2)写出点的坐标并求直线的表达式;(3)设动点,分别在抛物线和对称轴上,当以,为顶点的四边形是平行四边形时,求,两点的坐标【答案】见解析。【解析】函数表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;、,则点,设直线的表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可(1)函数表达式为:,将点坐标代入上式并解得:,故抛物线的表达式为:;(2)、,则点,设直线的表达式为:,将点坐标代入上式得:,解得:,故直线的表达式为:;(3)设点、点,当是平行四边形的一条边时,点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,即:,解得:,故点、的坐标分别为、;当是平行四边形的对角线时,由中点定理得:,解得:,故点、的坐标分别为、;故点、的坐标分别为或、或