备考2022中考数学 几何综合探究 专题练习（含答案）.docx

2020中考数学 几何综合探究 专题练习例题1. 如图，在等腰梯形中，点从点出发沿折线段以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，点从点出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点，点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止，设点、运动的时间是秒（1）当点到达终点时，求的值，并指出此时的长；（2）当点运动到上时，为何值能使?（3）设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围） 【答案】时，点到达终点，此时，所以的长为如图1，若，又，则四边形为平行四边形，从而,由得，解得，经检验：当时，有当点在上运动时，如图2，分别过点、作于点，于点， 则四边形为矩形，且，从而，于是，又，从而（注：用相似三角形求解亦可）当点在上运动时，如图1，过点作于点，由知，又，从而例题2. 如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，直线交的延长线于，过线段上的一个动点作，垂足分别为，设，矩形的面积为（1）求与之间的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？【答案】（1）正方形的边长为，又，又，（2）当时，矩形面积最大，最大面积为例题3. 如图，在平面直角坐标系中，点，动点以每秒个单位的速度从点出发沿向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向终点运动，过点作交于点，连结、，设运动时间为秒（1）求的度数；（2）当为何值时，；（3）设四边形的面积为，求关于的函数关系式；若一抛物线经过动点，当时，求的取值范围【答案】（1）过点作轴于点，（2），在直角三角形中，（3）解法一：过点作轴于点，则，轴，解法二：，当时，因为，所以，所以例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从点同时出发，以每秒个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连结，当两动点运动了秒时（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）（2）记的面积为，求与的函数关系式（3）当 秒时，有最大值，最大值是 （4）若点在轴上，当有最大值且为等腰三角形时，求直线的解析式【答案】（1）（2）在中，边上的高为，即（3）（4）由知，当有最大值时，此时在的中 点处，如图1设，则，为等腰三角形，若，则，此时方程无解若，即，解得若，即，解得，当为时，设直线的解析式为，将代入，得，解得直线的解析式为当为时，均在轴上，直线的解析式为（或直线为轴）当为时，在同一直线上，不存在，舍去故直线的解析式为，或例题5. 中，长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）过分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；（3）为何值时，以，为顶点的三角形与相似？ 【解析】当点在上时，当点在上时，由条件知，若四边形为矩形，需，即，当时，四边形为矩形由知，当时，四边形为矩形，此时，除此之外，当时，此时，又，当或时，以为顶点的三角形与相似【答案】（1）（2）当时，四边形为矩形（3）当或时，以为顶点的三角形与相似例题6. 如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒 若厘米，秒，则_厘米； 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比； 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围； 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【答案】 ， ，使，相似比为 ，即，当梯形与梯形的面积相等，即化简得，则， 时，梯形与梯形的面积相等梯形的面积与梯形的面积相等即可，则，把代入，解之得，所以所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等例题7. 如图，在矩形中，分别从、出发沿方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若， 当为何值时，以为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形 当为何值时，以、为顶点的四边形是平行四边形； 以、为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由ABDCPQMN【解析】 当点与点重合或点与点重合时，以， 为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点与点重合时，由，得（舍去），此时点与点不重合，符合题意当点与点重合时，由，得，此时不符合题意，故点与点不能重合， 由知，点只能在点的左侧，当点在点的左侧时，由得，舍去，当时，四边形是平行四边形；当点在点的右侧时，由得，舍去，当时，四边形是平行四边形当或者时，以、为顶点的四边形是平行四边形 过点分别作的垂线，垂足分别为点由于，点一定在点的左侧，若以、为顶点的四边形是等腰梯形，则点一定在点的右侧，且，即，可知当时不成立由于当时，以、为顶点的四边形是平行四边形，以、为顶点的四边形不能是等腰梯形【答案】见解析例题8. 正方形的边长为，是射线上的动点（不与点重合），直线交直线 于点，的平分线交射线于点 如图，当时，求线段的长； 当点在线段上时，设，求关于的函数解析式； 当时，求线段的长【解析】 在边长为2的正方形中，得，又，即，得 ， 当点在线段上时，过点作，垂足为点为的角平分线， 在正方形中，又，得在中，即，得 当时当点在线段上时，即，由得当点在线段延长线上时，在中，设交线段于点，是的平分线，即又，即，得【答案】见解析例题9. 如图，在梯形中，点分别在边上运动，并保持，垂足分别为（1）求梯形的面积；（2）求四边形面积的最大值（3）试判断四边形能否为正方形.若能，求出正方形的面积；若不能，请说明理由 CDABEFNMGH【解析】（1）分别过两点作于点，于点， 四边形为矩形， 在中， （2）， 四边形为矩形，设，则易证，则当时，四边形面积的最大值为 （3）四边形可以为正方形由（2）可知，设，则，若四边形为正方形，则即，解得 四边形能为正方形，其面积为【答案】见解析例题10. 如图，在中，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在上，且分别是的中点 求等腰梯形的面积； 操作：固定，将等腰梯形以每秒个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图）探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式【解析】 如图6，过点作于，为中点 又分别为的中点等腰梯形的面积为6. 四边形能为菱形.如图7，由，四边形是平行四边形当时，四边形为菱形，此时可求得秒时，四边形为菱形. 分两种情况：当时，重叠部分的面积为当时，与的函数关系式为当时，设与交于点，则作于，则重叠部分的面积为：【答案】见解析例题11. 如图1，四边形是正方形，点是上任意一点，于点，于点. 求证： 当点为边中点时，试探究线段与之间的数量关系， 并说明理由 若点为延长线上一点，其余条件不变请你在图2中画出图形，写出此时、之间的数量关系（不需要证明） 【解析】 四边形是正方形， ，理由如下：，由知， 如图【答案】见解析例题12. 如图，在梯形中，且， 求证：； 是梯形内一点，是梯形外一点，且， 当，时，求的值 【解析】 过作的垂线交于，则为矩形.，. ，是等腰直角三角形设，则，【答案】见解析例题13. 已知：如图，在梯形中，点分别在上， 且.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形. 【解析】（1）在梯形中， ，即 ，四边形是平行四边形 （2）过点作，垂足为 ， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是矩形【答案】见解析12