备考2022数学第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题（解析版）.docx

第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型-“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 （3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。【典型例题】【例1】如图，是等边三角形，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是_.【答案】【解析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，DE=EG，DF=FH，的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,当G、E、F、H四个点在同一直线上时，的周长最小，是等边三角形，A=B = ，D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，ADG= ，BDH= ，EDG=DGE，FDH=DHF，GDH=，DGE+DHF=，EDG+FDH=，EDF=.故答案是：.【名师点睛】关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.【例2】如图，在O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为_【答案】【解析】作OHAB，延长DC交O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出BCDECA得出CDCE=BCAC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为【详解】解：作OHAB，延长DC交O于E，如图，AH=BH=AB=，CDOC，CD=CE，ABD=DEA，BCD=ECA，BCDECA，CDCE=BCAC，CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，CD=，当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为故答案为【名师点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点之间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长；利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A,连接AB,则AB与直线L的交点即为P点，根据对称性可知AB的长即为PA+PB的最小值，求出AB的值即可.【针对练习】1如图，AOB=60°，点P是AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（）ABC6D3【答案】D【详解】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120°，此时PMN周长最小，作OHCD于H，则CH=DH，OCH=30°，OH=OC=，CH=OH=,CD=2CH=3故选D2如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A130°B120°C110°D100°【答案】B【详解】如图，作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AHBAD120°，HAA60°AAMAHAA60°MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°故选B3如图，四边形ABCD中，C=，B=D=，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（ ）ABCD【答案】D【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即1+2+3=130°，由作图可知，1=G，3=H，AGH的内角和为180°，则2（1+3）+ 2=180°，又联立方程组，解得2=80°故选D4如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）Ay=-By=-Cy=-D【答案】A【详解】连接COAC=AO，BC=OB，AB是线段OC的垂直平分线直线AB的解析式为，直线OC的解析式为y=2x，设C（a，2a）CB=OB=4，解得：a=0（舍去）或a=，C（，）设直线BC为，把C（，）代入得：，解得：k=，直线BC为过O作OQAC于Q交AB于点P，连接PC，则PC+PQ=OQ最短直线OQ直线BC，直线OQ的解析式为：故选A5如图：等腰ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（）A6B8C9D10【答案】C【详解】连接AD，MAABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=12×6×AD18，解得：AD6EF是线段AC的垂直平分线，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC，MC+DMMA+DMAD，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短（CM+MD）+CDAD+12BC6+12×66+39故选C6如图，在ABC中，动点P，Q在边BC上（P在Q的左边），且，则的最小值为（ ）A8BC9D【答案】D【详解】过点A作AEBC，作ADBC，P是点P关于AD的对称点，当P,A,Q共线时AP+AQ=AP+AQ=PQ最短，BE=3，AE=4，PP=8,又PQ=2， ,则的最小值为，故选D7如图，在中，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（ ）ABCD【答案】C【详解】在RtABO中，OBA=90°，A（4，4），AB=OB=4，AOB=45°，点D为OB的中点，BC=3，OD=BD=2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为y=x，设直线EC的解析式为y=kx+b，解得：，直线EC的解析式为y=x+2，解得，P（，），故选C8如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则BDM的周长最小值为( )A5 cmB6 cmC8 cmD10 cm【答案】C【详解】如图，连接ADABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=BCAD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）EF是线段AB的垂直平分线，点B关于直线EF的对称点为点A，AD的长为BM+MD的最小值，BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）故选C9如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE1，AF3，P为BD上一动点，则线段EPFP的长最短为( )A3B4C5D6【答案】B【详解】在DC上截取DG=FD=ADAF=43=1，连接EG，则EG与BD的交点就是PAE=DG，且AEDG，四边形ADGE是平行四边形，EG=AD=4故选B10在平面直角坐标系中，RtAOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4把AOB绕点A顺时针旋转120°，得到ADC边OB上的一点M旋转后的对应点为M，当AM+DM取得最小值时，点M的坐标为（）A（0， ）B（0，）C（0，）D（0，3）【答案】A【详解】把AOB绕点A顺时针旋转120°，得到ADC，点M是BO边上的一点，AMAM，AMDM的最小值AMDM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D，连接AD交OB于M，则ADAMDM的最小值，过D作DEx轴于E，OAD120°，DAE60°，ADAO3，DE×3，AE，D（，），D（ ，），设直线AD的解析式为ykxb，直线AD的解析式为yx，当x0时，y，M（0，），故选A11如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径ON上的点若O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）A2BCD1【答案】C【详解】解：作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA，AA，OB，点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60°，PA=PA，点B是弧AN的中点，BON=30°，AOB=AON+BON=90°，又OA=OA=1，AB=PA+PB=PA+PB=AB=故选C12直线yx4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PCPD值最小时点P的坐标为（ ）.A(3，0)B(6，0)C(，0)D(，0)【答案】C【详解】作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（6，0）和点B（0，4），因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（3，2），点D（0，2）再由点D和点D关于x轴对称，可知点D的坐标为（0，2）设直线CD的解析式为y=kx+b，直线CD过点C（3，2），D（0，2），所以，解得：，即可得直线CD的解析式为y=x2令y=x2中y=0，则0=x2，解得：x=，所以点P的坐标为（，0）故答案选C13如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，PCD的度数是（）A30°B15°C20°D35°【答案】A【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，ABC是等边三角形，D为AC的中点，BDAC，PA=PC， 14如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点分别是的中点，则的最大值是_【答案】【详解】解：点分别是的中点，当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，连接并延长交于点，连接，是的直径，故答案为：15如图，AOB60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分AOB，OP8，当PMN周长取最小值时，OMN的面积为_【答案】【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，PMCM，OPOC，COAPOA30°；点P关于OB的对称点为D，PNDN，OPOD，DOBPOB，OCODOP8，CODCOA+POA+POB+DOB2POA+2POB2AOB120°，COP=COP=60°，COP与POD是等边三角形，四边形OCPD是菱形，CD垂直平分OP，PCDPDC30°，OMPM，PNON，PCMMPC30°，PMN60°，同理PNM60°，PMPN，四边形PMON是菱形，OP8，MN，OMN的面积S菱形PMON××8×16如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数是_【答案】120°【详解】解：如图所示，当三角形三边在同一条直线上周长最短，作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN周长的最小值.作DA延长线AH， DAB=120°，HAA=60°，AAM+A=HAA=60°.A关于BC和CD的对称点A、A，MAA=MAA，NAD=A，且MAA+MAA=AMN，NAD+A=ANM，AMN+ANM=MAA+MAA+NAD+A=2(AAM+A)=2×60°=120°.故答案为120°.17如图，在中，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是_.【答案】【详解】解：如图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，AC=3，BC=4，ACB=90°，AB=5. ,=2.4.故答案为：2.4.18如图，AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 【答案】9【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， PM=CM，OP=OC，COA=POA； 点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB， OC=OD=OP=5cm，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60°， COD是等边三角形， CD=OC=OD=6cmPMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=6cmSOCD=在等边三角形OCD中，SOMN=SOCD=SPMN=SPCD=S四边形PMON= SOMN+ SPMN=+=919如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_【答案】（，）【详解】解：作N关于OA的对称点N，连接NM交OA于P，则此时，PM+PN最小，OA垂直平分NN，ON=ON，NON=2AON=60°，NON是等边三角形，点M是ON的中点，NMON，点N（3，0），ON=3，点M是ON的中点，OM=1.5，PM=，P（，）故答案为：（，）20如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC=12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为_cm；连接BD，则ABD的面积最大值为_cm2【答案】； . 【解析】【详解】如图，作DGAC与G，DHBC与H，EDG=90°-GDF，HDF=90°-GDF，GDE=HDF，又DGE=DHF，DE=DF，DGEDHF，DG=DH,点D在ACF的平分线上.AC=12，CD=cos45°×AC=6.当运动到DEAC时，此时四边形CFD，E是正方形， CDEF12，DD=12-6.，点D运动的路径长为2（12-6）=（）cm；由题意知，当运动到DEAC时，ABD的面积最大，BC=tan30°×AC=6. SABD=SABC+S梯形ACFD-SADF= =.故答案为(1). ； (2). .21如图，RtABC中，BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_【答案】【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AEAC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；RtABC中，BAC=90°，AB=3，AC=6，BC=9，SABC=ABAC=BCAF，3×6=9AF，AF=2，AA'=2AF=4，A'FD=DEC=90°，A'DF=CDE，A'=C，AEA'=BAC=90°，AEA'BAC，A'E=，即AD+DE的最小值是，故答案为