备考2022数学专题06 二次函数的图象性质及应用（解析版）.docx

专题06 二次函数的图象性质及应用一 选择题1. （唐山市遵化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(-1,0)，下列结论：ab<0，b2-4ac>0，a-b+c<0，c=1，当x>-1时，y>0其中正确结论的个数是()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解析】有图象可知，a<0，b>0，则ab<0，故正确；图象与x轴两个交点，则b2-4ac>0，故正确；图象过点(-1,0)，则a-b+c=0，故错误；图象过点(0,1)，则c=1，故正确；由图象可知，当x>-1时，一部分函数值大于0，有一个函数值等于0，还有一分部小于0，故错误；由上可得，正确的结论是，有3个；故选：B2.（合肥168中一模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，在下列五个结论中：2a-b<0；abc<0；a+b+c<0；a-b+c>0；4a+2b+c>0，错误的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】：由函数图象开口向下可知，a<0，由函数的对称轴x=-b2a>-1，故b2a<1，a<0，b>2a，所以2a-b<0，正确； a<0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c<0，故abc<0；正确；当x=1时，y=a+b+c<0，正确；当x=-1时，y=a-b+c<0，错误；当x=2时，y=4a+2b+c<0，错误；故错误的有2个故选：B3.（宿州市一模）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBPx，CQy，那么y与x之间的函数图象大致是（）ABCD【解析】设BPx，CQy，则AP242+x2，PQ2（6x）2+y2，AQ2（4y）2+62；APQ为直角三角形，AP2+PQ2AQ2，即42+x2+（6x）2+y2（4y）2+62，化简得：y整理得：y根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应故选：D4.（淮北市名校联考一模）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，直线l经过点A，且垂直于AB，分别与AB、AC相交于点M，N.直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中AMN的面积是y(cm2)，直线l的运动时间是x(s)则y与x之间函数关系的图象大致是()A. B. C. D. 【解析】过点C作CDAB于D，AC2+BC2=64+36=100=AB2，故ABC为直角三角形，sinCAB=CDAC=CBAB=610=35，则cosCAB=45，tanCAB=34，故CD=ACsinCAB=8×35=4.8，同理AD=6.4，(1)当0x6.4，如图1， tanCAB=MNAM=34，即MN=34x，y=12×AMMN=12×x×34x=38x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；(2)当6.4<x10时，如图2， 同理：MN=43(10-x)，y=12x×43(10-x)=-23(x-5)2+503，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=5，故选：B二 填空题5.（江西省初中名校联盟一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2-2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为_【解析】y=x2-2x+3 =(x-1)2+2，将二次函数y=x2-2x+3的图象先向左平移1个单位，得到的抛物线的解析式为：y=x2+2，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为：y=x2故答案为：y=x26.（南通市崇川区一模）抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点(-1,0).若关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是_【解析】抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点(-1,0)-b2=11-b+c=0，得b=-2c=-3即抛物线解析式为y=x2-2x-3，当y=t时，t=x2-2x-3，即x2-2x-3-t=0，关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，t=x2-2x-3有实数根，y=x2-2x-3=(x-1)2-4，当-1<x4时，x=1时，y有最小值-4，当x=4时，y取得最大值5，t的取值范围是-4t<5，故答案为：-4t<57.（合肥168中一模）如图，抛物线y=x2+bx+92与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_【解析】令x=0，则y=92，点A(0,92)，B(-b,92)，抛物线的对称轴为x=-b2，直线OB的解析式为y=-92bx，抛物线的顶点C在直线OB上，y=94顶点C的纵坐标为12×92=94，即4×1×92-b24×1=94，解得b1=3，b2=-3，由图可知，-b2×1>0，b<0，b=-3，对称轴为直线x=-32×1=32，点D的坐标为(32,0)，设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则n=9294+32m+n=0，解得m=-92n=92，所以，y=x2-92x+92故答案为：y=x2-92x+92三 简答题8.（淮北市名校联考一模）我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x2和y=(x-1)2都是“数轴函数”(1)抛物线y=x2-4x+4和抛物线y=x2-6x是“数轴函数”吗？请说明理由；(2)若抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”，求该抛物线的表达式【解析】(1)抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”，抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”；理由：y=x2-4x+4=(x-2)2，抛物线顶点坐标为(2,0)，在x轴上，y=x2-6x=(x-3)2-9，抛物线的顶点坐标为(3,-9)，在第四象限，抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”；(2)抛物线y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16，顶点坐标为(-m,-m2+16)，由于抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”，分两种情况：当顶点在x轴上时，-m2+16=0，解得m=±4，抛物线表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32；当顶点在y轴上时，-m=0，解得m=0，抛物线表达式为y=2x2+16，综上，抛物线表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+169.（南通市崇川区一模）某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴其中购买型、型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系型号金额型设备型设备投资金额x(万元)x5x24补贴金额y(万元)y1=kx(k0)2y2=ax2+bx(a0)2.84(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户共投资10万元购买型、型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？【解析】(1)设购买型设备补贴的金额的解析式为：y1=kx，购买型设备补贴的金额的解析式为y2=ax2+bx，由题意，得：2=5k，或4a+2b=2.816a+4b=4，解得：k=25，a=-15b=95，y1的解析式为：y1=25x，y2的函数解析式为：y2=-15x2+95x.(2)设投资型设备a万元，型设备(10-a)万元，补贴金额为W万元：所以W=y1+y2=25(10-a)+(-15a2+95a)=-15(a-72)2+12920所以当a=3或4时，W的最大值=325，所以投资型设备7万元，型设备3万元；或投资型设备6万元，型设备4万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为325万元10.（江西省初中名校联盟一模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与y轴相交于点A.y与x的部分对应值如下表(m为整数)：x0m2y-3-4-3(1)直接写出m的值和点A的坐标(2)求出二次函数的关系式(3)过点A作直线l/x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象请你结合新图象回答：当直线y=x+n与新图象只有一个公共点P是(s,t)且t5时，求n的取值范围【解析】(1)根据抛物线的轴对称性可知：m=1，由表格知，图象过(0,-3)图象与y轴相交于A点，A(0,3)；(2)抛物线的顶点坐标为(1,-4)，设抛物线的关系式为：y=a(x-1)2-4，抛物线y轴相交于A(0,-3)，a-4=-3，解得，a=1，二次函数的关系式为：y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3；(3)新图象如图所示，当y=x+n与y=x2-2x-3交于点(0,-3)时，n=-3，当y=x+n与y=x2-2x-3交于(s,t)，t=5时，s2-2s-3=5，解得，s=-2(交点在y轴右边，舍去)，或s=4，y=x+n与新图象交于(4,5)，则5=4+n，n=1，当直线y=x+n与新图象只有一个公共点P是(s,t)且t5时，-3<n1；当y=x+n与y=x2-2x-3只有一个交点时，则x2-2x-3=x+n，即x2-3x-3-n=0，=9-4(-3-n)=0，n=-214，当直线y=x+n与新图象只有一个公共点时，n<-214综上，n的取值范围为：-3<n1或n<-21411.（合肥市天鹅湖教育集团一模）某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN3m，AM10m，MAN45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，ABCD，C90°设BCxm，四边形ABCD面积为S（m2）（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？【解析】（1）过D作DEAB于E，BCxm，DExm，A45°，AExm，SSAED+S矩形DEBCx2+（8x）xx2+8x，ABAE+EBx+（8x）8m，B点为定点，DE最大为3m，0x3；（2）Sx2+8x（x8）2+32，当x8时，S随x的增大而增大，0x3，当x3时，S取得最大值，S最大×（38）2+32，答：当x3m时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是12（芜湖市一模）（12分）如图，已知抛物线yax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点D，使得DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由【解析】（1）将点A（4，0）、B（1，0）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为yx2+x2；存在如图1，设D点的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为t2+t2过D作y轴的平行线交AC于E设直线AC的解析式为：ymx+n，则 ，解得：，由题意可求得直线AC的解析式为yx2E点的坐标为（t，t2）DEt2+t2（t2）t2+2tSDCASCDE+SADE×DE×OA×（t2+2t）×4t2+4t（t2）2+4当t2时，S最大4当D（2，1），DAC面积的最大值为413（宿州市一模）（14分）抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若MNC90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由【解析】（1）由题意得：，解得：，抛物线解析式为yx2+2x+3；（2）令x2+2x+30，x11，x23，即B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得：，直线BC的解析式为yx+3，设P（a，3a），则D（a，a2+2a+3），PD（a2+2a+3）（3a）a2+3a，SBDCSPDC+SPDBPDa+PD（3a）PD3（a2+3a）（a）2+，当a时，BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），yx2+2x+3（x1）2+4，OF1，EF4，OC3，过C作CHEF于H点，则CHEH1，当M在EF左侧时，MNC90°，则MNFNCH，设FNn，则NH3n，即n23nm+10，关于n的方程有解，（3）24（m+1）0，得m且m1；当M与F重合时，m1；当M在EF右侧时，RtCHE中，CHEH1，CEH45°，即CEF45°，作EMCE交x轴于点M，则FEM45°，FMEF4，OM5，即N为点E时，OM5，m5， 综上，m的变化范围为：m514.（合肥168中一模）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的正比例函数关系满足图中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的函数关系满足图中的图象(1)图中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为_，其中自变量x的取值范围是_；(2)若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？(3)上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图中图象的后半段一次函数的表达式【解析】(1)设函数的解析式为y=ax2，把点(1,60)代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x2(0x32)；(2)设需要开放x个普通售票窗口，由题意得，80x+60×51450，解得：x1438，x为整数且x取最小值，x=15，即至少需要开放15个普通售票窗口；(3)设普通售票的函数解析式为y=kx，把点(1,80)代入得：k=80，则y=80x，10点是x=2，当x=2时，y=160，即上午10点普通窗口售票为160张，由(1)得，当x=32时，y=135，图中的一次函数过点(32,135)，(2,160)，设一次函数的解析式为：y=mx+n，把点的坐标代入得：2m+n=16032m+n=135，解得：m=50n=60，则一次函数的解析式为y=50x+6015.（唐山市遵化市一模）如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A(3,3)，向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B(6,m)与y轴交于点C，(1)求直线BC的解析式；(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；(3)设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)由直线OA与反比例函数的图象交于点A(3,3)，得直线OA为：y=x，双曲线为：y=9x，点B(6,m)代入y=9x得m=32，点B(6,32)，(1分) 设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，将x=6，y=32，代入y=x+b得：b=-92，(1分) 所以，直线BC的解析式为y=x-92；(1分) (2)由直线y=x-92得点C(0,-92)，设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx-92 将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-92，得：36a+6b-92=329a+3b-92=3，(1分) 解得b=4a=-12(1分) 所以，抛物线的解析式为y=-12x2+4x-92；(1分) (3)存在把y=-12x2+4x-92配方得y=-12(x-4)2+72，所以得点D(4,72)，对称轴为直线x=4(1分) 得对称轴与x轴交点的坐标为E(4,0).(1分) 由BD=8，BC=72，CD=80，得CD2=BC2+BD2，所以，DBC=90°(1分) 又PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与BCD相似，则有：OEBC=PEDB，即462=PE22，得PE=43，有P1(4,43)，P2(4,-43) OEDB=PEBC，即422=PE62，得PE=12，有P3(4,12)，P4(4,-12)(3分) 所以，点P的坐标为(4,43)，(4,-43)，(4,12)，(4,-12)16.（无锡市四校联考）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围【解析】(1)设y=kx+b，直线y=kx+b经过点(40,300)，(55,150)，40k+b=30055k+b=150，解得：k=-10b=700故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，(2)由题意，得-10x+700240，解得x46， 30<x46， 设利润为w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)，w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000，-10<0，x<50时，w随x的增大而增大，x=46时，w最大=-10(46-50)2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10(x-50)2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得： 当45x55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元17.（无锡市四校联考）如图，一次函数y=12x-2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；(2)如图，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD/x轴交AB于点D，PE/y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；(3)如图，若点M在抛物线的对称轴上，且AMB=ACB，求出所有满足条件的点M的坐标【解析】(1)令y=12x-2=0，解得x=4，则A(4,0)令x=0，得y=-2，则B(0,-2)；二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A、B两点，-8+4b+c=0c=-2，解得b=52c=-2二次函数的关系式为y=-12x2+52x-2；当y=0时，-12x2+52x-2=0，解得x1=1，x2=4，则C(1,0)；(2)如图2，PD/x轴，PE/y轴，PDE=OAB，PED=OBAPDEOABPDPE=OAOB=42=2，PD=2PE设P(m,-12m2+52m-2)，则E(m,12m-2)PD+PE=3PE=3×-12m2+52m-2-(12m-2)=-32m2+6m=-32(m-2)2+6；0<m<4，当m=2时，PD+PE有最大值6；(3)当点M在直线AB上方时，则点M在ABC的外接圆上，如图1ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为(52,-t)，O1B=O1A，(52)2+(-t+2)2=(52-4)2+t2，解得t=2圆心O1的坐标为(52,-2)O1A=(52-4)2+22=52，即O1的半径半径为52.此时M点坐标为(52,12)；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2AO1=O1B=52，O1AB=O1BAO1B/x轴，O1BA=OABO1AB=OAB，O2在x轴上，点O2的坐标为 (32,0)O2D=1，DM=(52)2-12=212.此时点M的坐标为(52,-212).综上所述，点M的坐标为(52,12)或(52,-212)