2022届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形作业试题1含解析新人教版202106302130.doc
第四章 三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题考点自测1.2020全国卷,5分在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A. B. C. D.2.2017 山东,5分在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形()A.无解 B.有一解C.有两解D.解的个数不确定4.多选题已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.若A>B,则必有sin A>sin BB.若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或B=135°C.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2)D.若acos B=bcos A,则ABC是等腰三角形5.2019全国卷,5分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面积为. 6.2019浙江,6分在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45°,则BD=,cosABD=. 7.2016全国卷,5分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=. 8.2020深圳市高三统一测试在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)= (a-c)sin C,b=2,则ABC的外接圆面积为. 9.湖北高考,5分如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m. 图4-4-1拓展变式1.(1)2020江淮十校联考ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin A-bsin B=2csin C,cos A=,则=()A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC中,b=2,a+c=(a>c),且满足2asin Bcos C+2csin Bcos A=b,则a-c=. 2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(1)若<cos A,则ABC的形状为. (2)若c-acos B=(2a-b)cos A,则ABC的形状为. 3.2020河南洛阳4月模拟在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若ABC的面积S满足4S+c2=a2+b2,c=,a=4,且b>c,求b的值;(2)若a=,A=,且ABC为锐角三角形,求ABC周长的取值范围.4.2018全国卷,12分在平面四边形ABCD中,ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.5.(1)解三角形与数列、基本不等式综合设ABC的角A,B,C成等差数列,且满足sin(A-C)-sinB=-,BC延长线上有一点D,满足BD=2,则ACD面积的最大值为()A.1 B. C. D.(2)新课标全国,5分在平面四边形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,则AB的取值范围是. 6.2020山东,5分某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2. 图4-4-6答 案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=16+9-2×4×3×=9,AB=3,所以cos B=,故选A.2.A由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即2sin Bcos C=sin Acos C,又cos C0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.3.Cbsin A=12<a<b,三角形有两解.4.ACD对于A,在ABC中,若A>B,则a>b,由=,得sin A>sin B,A正确;对于B,由=得sin B=sin A=×=,因为a>b,所以B<A,所以B=45°,B错误;对于C,由条件可得BC·sin C<AB<BC,即a<<a,解得<a<2,C正确;对于D,由acos B=bcos A得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A-B)=0,又A,B为三角形的内角,所以A=B,故ABC是等腰三角形,D正确.故选ACD.5.6因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos,得c=2 ,所以a=4,所以ABC的面积S=acsin B=×4 ×2×sin=6.6. 在RtABC中,易得AC=5,sin C=.在BCD中,由正弦定理得BD=×sinBCD=×=,sinDBC=sin180°-(BCD+BDC)=sin(BCD+BDC)=sinBCDcosBDC+cosBCDsinBDC=×+×=.又ABD+DBC=90°,所以cosABD=sinDBC=.7.解法一因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由正弦定理=,得b=.解法二因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=-×+×=.由正弦定理=,得c=.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=.解法三因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,由正弦定理=,得c=.从而b=acos C+ccos A=.8.利用正弦定理将已知等式转化为(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=,因为0°<B<180°,所以B=60°.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理知,2R=,R=,所以ABC的外接圆面积S=R2 =.9.100由题意,得BAC=30°,ABC=105°.在ABC中,因为ABC+BAC+ACB=180°,所以ACB=45°.因为AB=600 m,由正弦定理可得=,即BC=300 m.在RtBCD中,因为CBD=30°,BC=300 m,所以tan 30°=,所以CD=100 m.1.(1)D因为ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asin A-bsin B=2csin C,利用正弦定理将角化为边可得2a2-b2=2c2,由及余弦定理可得cos A=,化简得=1,即=1,故选D.(2)因为2asin Bcos C+2csin Bcos A=b,所以2sin Asin Bcos C+2sin Csin Bcos A=sin B.在锐角三角形ABC中,sin B>0,所以2sin Acos C+2sin Ccos A=,即sin(A+C)=,所以sin B=,cos B=.因为b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,所以ac=1.因为(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且a>c,所以a-c=.2.(1)钝角三角形已知<cos A,由正弦定理,得 <cos A,即sin C<sin Bcos A,所以sin(A+B)<sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0,所以cos Bsin A<0.又sin A>0,于是有cos B<0,即B为钝角,所以ABC是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,又C=-(A+B),所以sin C=sin(A+B ),所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,所以A=或B=A(B=-A舍去),所以ABC为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4S=a2+b2-c2,所以4×absin C=2abcos C,所以tan C=,又0<C<,所以C=.由余弦定理及c=,a=4,得cos=,解得b=3或b=.因为b>c=,所以b=3.(2)由正弦定理及a=,A=得=,故b=2sin B,c=2sin C=2sin(-B).则ABC的周长为+2sin B+2sin(-B)=+cos B+3sin B=+2sin(B+).由题意可知解得<B<.所以<B+<,故<sin(B+)1,因此三角形ABC周长的取值范围为(3+,3.4.(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB<90°,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2×BD×DC×cosBDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.5.(1)B因为ABC的角A,B,C成等差数列,所以B=,又sin(A-C)-sin B=-,所以A=B=C=,设ABC的边长为x,由已知有0<x<2,则SACD=x(2-x)sin=x(2-x)()2=(当且仅当x=2-x,即x=1时取等号),故选B.图D 4-4-1(2)(-,+)如图D 4-4-1,作PBC,使B=C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB,PC于A,D两点(不与端点重合),且使BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在PBC中,可求得BP=+,在QBC中,可求得BQ=-,所以AB的取值范围是(-,+).6.+4图D 4-4-2如图D 4-4-2,连接OA,作AQDE,交ED的延长线于Q,AMEF于M,交DG于E',交BH于F',记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P,设OP=3m,则DP=5m,不难得出AQ=7,AM=7,于是AE'=5,E'G=5,AGE'=AHF'=,AOH为等腰直角三角形,又AF'=5-3m,OF'=7-5m,AF'=OF',5-3m=7-5m,得m=1,AF'=5-3m=2,OF'=7-5m=2,OA=2,则阴影部分的面积S=××(2)2+×2×2-=(+4)(cm2).
