北京市房山区2013届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)新人教B版.doc
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150分,考试时间为120分钟 。2. 第卷选择题和第卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置,在试卷上作答无效。3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求自己保存好。第I卷 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上。1.已知集合 ( )(A) (B)(C)(D)【答案】C【解析】,因为,则或,选C.2.如果,那么“”是“”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,所以,即,所以。所以“”是“”的必要不充分条件,选B.3.如图,是圆的切线,切点为,交圆于两点,则=( )(A)(B) (C)(D)【答案】B【解析】连结,则因为为切线,所以,所以,即圆的半径为1,在直角三角形中,所以,所以为正三角形,所以,选B.4.在平面直角坐标系中,点的直角坐标为.若以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标可以是 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】因为点P的直角坐标为,所以,设极角为 ,则,所以,(因为点P在第四象限)所以点P的极坐标,选A.5.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为 ( )(A)5(B)6 (C)7(D)8 【答案】C【解析】第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;第四次循环,;第五次循环,;第六次循环,;第七次循环,满足条件,输出,选C.6.已知函数,则对任意,若,下列不等式成立的是( ) (A) (B)(C) (D)【答案】D 【解析】当时,所以。当时,所以,即函数为偶函数,且当时,函数单调递增,所以,即,所以,选D. 7.直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由圆的方程可知圆心坐标为,半径为。圆心到直线的距离。又,因为,所以,即,解得,即的取值范围是,选B.8.如图,边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动,则的最大值是 ( )(A)(B) (C)(D)4【答案】A 【解析】设,因为,所以,则,所以,即,同理,。所以,所以当时,的最大值为2,选A.第II卷 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。9.是虚数单位,则_.【答案】【解析】.10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 【答案】【解析】由三视图可知该几何体是底面是正方体,一条侧棱垂直于底面的四棱锥。底面边长为1,高为2,所以四棱锥的体积为。11已知函数(>0, )的图象如图所示,则_,=_. 【答案】,;【解析】由图象可知,即,又,所以。所以。又,即,所以。因为,所以当时,。12.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 种. 【答案】120【解析】分两步计算;第一步,先安排甲学校参观,因为甲学校连续参观两天,从7天中找连续的两天,可以是周一周二,可以是周二周三,可以是周三周四,可以是周四周五,可以是周五周六,可以是周六周日,有种方法第二步,安排另两所学校,因为另两所学校各参观一天,从剩下的5天中任选2天,有种方法最后,两步方法数相乘,共有种方法13.设是定义在上不为零的函数,对任意,都有,若,则数列的前项和的取值范围是 . 【答案】【解析】因为,所以令,得,即。因为,所以,即,所以数列是公比为,首项为的等比数列,所以。所以,即,所以的前项和的取值范围是,即。14. 是抛物线的焦点,过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点,设,则:若且,则的值为;(用和表示).【答案】 ;或【解析】设,抛物线的焦点坐标。过焦点且倾斜角为的直线方程为,代入得。当时,方程为,所以,解得。又,所以。由知,则,所以,即。三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15(本小题共13分)已知的三个内角,所对的边分别是,,,.()求的值; ()求的面积. 16.(本小题共13分)今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:高一年级高二年级高三年级10人6人4人(I)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;(II)若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为,求随机变量的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)在直三棱柱中,=2 ,.点分别是 ,的中点,是棱上的动点.(I)求证:平面;(II)若/平面,试确定点的位置,并给出证明;(III)求二面角的余弦值.18(本小题共13分)已知函数(I)当时,求函数的单调递减区间;(II)求函数的极值;(III)若函数在区间上恰有两个零点,求的取值范围19.(本小题共14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,一个顶点为,离心率为(I)求椭圆的方程;(II)设直线与椭圆相交于不同的两点当时,求的取值范围20(本小题共13分)在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列(I)求点的坐标;(II)设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:;(III)设,等差数列的任一项,其中是中的最大数,求的通项公式北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(理科)一、选择题(每题5分,共40分)题号12345678答案CBBACDBA二、填空题(每题5分,共30分)9; 10. ; 11. ,; 12. 120; 13. ; 14. ;或三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共80分)15(本小题共13分)解:(I)解 5分(II)由(I)知 , 7分 10分 13分16(本小题共13分)解:(I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件,则答:若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为. 4分(II)解法1:的所有取值为0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为.所以 6分; ;. 11分 随机变量的分布列为:01234 12分所以13分解法2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为. 5分则随机变量服从参数为4,的二项分布,即.7分随机变量的分布列为:01234所以 13分17(本小题共14分)(I) 证明:在直三棱柱中,点是的中点, 1分, 平面 2分平面,即 3分又平面 4分 (II)当是棱的中点时,/平面.5分证明如下:连结,取的中点H,连接, 则为的中位线 ,6分由已知条件,为正方形,为的中点, 7分,且四边形为平行四边形又 8分/平面 9分(III) 直三棱柱且依题意,如图:以为原点建立空间直角坐标系,10分,则,设平面的法向量, 则,即, 令,有 12分又平面的法向量为,=, 13分设二面角的平面角为,且为锐角 14分18(本小题共13分)解:(I)依题意,函数的定义域为, 当时, 2分由得,即解得或,又,的单调递减区间为 4分(II),(1)时,恒成立在上单调递增,无极值. 6分(2)时,由于所以在上单调递增,在上单调递减,从而 9分(III)由(II)问显然可知,当时,在区间上为增函数,在区间不可能恰有两个零点 10分当时,由(II)问知,又,为的一个零点 11分若在恰有两个零点,只需即 13分(注明:如有其它解法,酌情给分)19(本小题共14分)解:(I)依题意可设椭圆方程为 ,则离心率为故,而,解得, 4分故所求椭圆的方程为. 5分(II)设,P为弦MN的中点,由 得 ,直线与椭圆相交, , 7分,从而,(1)当时 (不满足题目条件),则 ,即 , 9分把代入得 ,解得 , 10分 由得,解得故 11分(2)当时直线是平行于轴的一条直线, 13分综上,求得的取值范围是 14分20(本小题共13分)解:(I) 2分 3分(II)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为: 5分把代入上式,得,的方程为:. 7分当时, = 9分(III),T中最大数. 10分设公差为,则,由此得13分11分 - 15 -