异面直线所成的角讲义(教师版)(6页).doc
-异面直线所成的角讲义(教师版)-第 5 页异面直线所成的角1.基础知识：2.平移法例1如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。例2在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小解：设BD的中点G，连接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120° AD与BC成60°的角。例3S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，BMANCS且，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB例4正的边长为a，S为所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角答案：45°例5A1C1B1NMA1C1B11111如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M、N分别是AB和AC的中点，若BCCACC1，求B1M与A1N所成角的余弦值解：连接MN，作NGB1M交B1C1于G，连接AG，易证GNA1就是B1M与A1N所成的角设：BCCACC12，则A1GA1N，GNB1M，cosGNA。B¢A¢ABC¢D¢CDFE例6如图的正方体中，E是AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线? (2)求直线BA和CC所成的角的大小； (3)求直线AE和CC所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA所成的角的余弦值解：(1) A¢Ï平面BC，又点B和直线CC都在平面BC内，且BÏCC, 直线BA与CC是异面直线 同理，正方体12条棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线BA成异面直线 (2) CCBB， BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角 ABB=45° BA和CC所成的角是45° (3) AABBCC，故AE和AA所成的锐角AAE是AE和CC所成的角在RtAAE中，tanAAE，所以AE和CC所成角的正切值是 (4)取BC的中点F，连EF、BF，则有EF()A¢B¢()AB, ABFE是平行四边形，从而BF()AE, 即BFAE且BF=AE. BF与BA所成的锐角ABF就是AE和BA所成的角A¢BFM设正方体各棱长为2，连AF，利用勾股定理求出ABF的各边长分别为AB2，AFBF，由余弦定理得：cosABF3.补形法例1：在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线A1M和D1N所成的角的余弦值？方法一：（平移法）方法二：（补形法）A1C1与BD1所成角的余弦值为课堂训练：ABCDM(第1题)N43ABCD(第2题)E668(第3题)MABCNC1A1B18ABCDE(第4题)7854451如图，四面体ABCD中，ACBD,且AC4，BD3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值2.如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值 3.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与CC1所成角的余弦值。 4.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若ACCDDA8，ABBD5，BC7，求BE与CD所成角的余弦值。答案；1，取AD中点E，则MEN90°；2，取AC中点F，连EF、BF，求得BEAD5，BFAC3； 3，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1MQa，则MPa；4，取AC中点F，连EF、BF，则EF4，BEBF3异面直线所成的角练习题. 如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是A BC D0. 在四棱锥PABCD中，底面是边长为1的菱形，底面ABCD，PA=1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为ABCD. 过空间一定点P的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有A0条B1条C4条D无数条. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1内取一点E，使AE与AB、AD所成的角都是60°，则线段AE的长为ABCD. 已知SABC是正四面体，M为AB之中点，则SM与BC所成的角的余弦值为 。. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值的大小是A B C D. 正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为A B C D. 在三棱锥PABC中，则两直线PC与AB所成角的大小是 .参考答案：1.D 2.A 3.C 4.C 5. 6.D 7.B 8.
