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第五章弯曲应力本讲稿第一页，共六十四页mmF FS SM一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM，又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S.5-1 纯弯曲纯弯曲mmF FS S mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩.弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力；剪力；剪力；剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力又有切应力又有切应力又有切应力.本讲稿第二页，共六十四页二、分析方法二、分析方法二、分析方法二、分析方法平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上，剪力等于段任一横截面上，剪力等于段任一横截面上，剪力等于段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲三、纯弯曲+FF+FaFFaaCDAB本讲稿第三页，共六十四页deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution regularity Distribution regularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stressof stressEstablish the formulaEstablish the formula变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 本讲稿第四页，共六十四页一、实验一、实验一、实验一、实验1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线本讲稿第五页，共六十四页2.2.2.2.提出假设提出假设提出假设提出假设（a a a a）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；（b b b b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压压，只受单向拉压压，只受单向拉压.推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层本讲稿第六页，共六十四页dx图（图（图（图（b b）yzxO应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（图（图（图（a a）d dx x二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系图（图（图（图（c c）yzyxOObbybbOO本讲稿第七页，共六十四页三、物理关系三、物理关系所以所以所以所以Hookes LawHookes LawMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比离成正比离成正比离成正比.应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径r r r r?本讲稿第八页，共六十四页yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系 横截面上内力系为垂直于横截面的横截面上内力系为垂直于横截面的横截面上内力系为垂直于横截面的横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，空间平行力系，空间平行力系，空间平行力系，这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内力分量力分量力分量力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得（1 1）（2 2）（3 3 3 3）本讲稿第九页，共六十四页将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1 1 1）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2 2 2）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足本讲稿第十页，共六十四页将将将将代入代入代入代入得到得到得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩.本讲稿第十一页，共六十四页讨论讨论 （1 1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 MyMy 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判根据梁变形的情况直接判根据梁变形的情况直接判根据梁变形的情况直接判断断断断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为为为为正号正号正号正号).).凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（为负号）；为负号）；为负号）；为负号）；（2 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数本讲稿第十二页，共六十四页（1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy本讲稿第十三页，共六十四页zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式本讲稿第十四页，共六十四页5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之比之比 l/h 5（细长梁）时，纯弯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。似成立。横力弯曲横力弯曲本讲稿第十五页，共六十四页横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围本讲稿第十六页，共六十四页弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与本讲稿第十七页，共六十四页强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用（2 2 2 2）设计截面）设计截面）设计截面）设计截面（3 3 3 3）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1 1 1）强度校核强度校核强度校核强度校核 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力本讲稿第十八页，共六十四页例题例题例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板材料，压板材料，压板材料，压板材料的弯曲许用应力的弯曲许用应力的弯曲许用应力的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力F F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解：（解：（解：（解：（1 1）作出弯矩图的最大弯矩为）作出弯矩图的最大弯矩为）作出弯矩图的最大弯矩为）作出弯矩图的最大弯矩为FaFa；（2 2）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数（3 3）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷本讲稿第十九页，共六十四页80y1y22020120z例题例题例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力为为为为 t t=30MPa =30MPa，许用压应力为许用压应力为许用压应力为许用压应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴z z的的的的惯性矩为惯性矩为惯性矩为惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4，y y1 1 =52mm=52mm，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m本讲稿第二十页，共六十四页FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：解：解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z本讲稿第二十一页，共六十四页22例例 3 (书例书例5.2)已知已知：s s=100 MPa，P=25.3 kN。解解：求求：校核校核心心轴轴的强度。的强度。计算简图如图。计算简图如图。(1)求弯矩图求弯矩图支反力支反力本讲稿第二十二页，共六十四页23(1)求弯矩图求弯矩图(2)确定危险截面确定危险截面 I截面截面 II截面截面 III截面截面本讲稿第二十三页，共六十四页24(3)强度校核强度校核 I截面本讲稿第二十四页，共六十四页 II截面本讲稿第二十五页，共六十四页 III截面 结论 注意注意满足强度要求。满足强度要求。最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。本讲稿第二十六页，共六十四页一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力5-4 5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件横力弯曲时横力弯曲时,横截面上既有正应力横截面上既有正应力,又有切应力。又有切应力。推导切应力公式的方法：推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件平衡条件求出切应力。求出切应力。按截面形状，分别讨论。按截面形状，分别讨论。本讲稿第二十七页，共六十四页1.1.1.1.矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁（1 1）两个假设）两个假设）两个假设）两个假设（a a a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；（b b b b）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2本讲稿第二十八页，共六十四页（2 2）分析方法）分析方法）分析方法）分析方法（a a）用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截取从梁中截取从梁中截取从梁中截取 d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所以两截面所以两截面所以两截面所以两截面同一同一同一同一y y处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；（b b）假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mBmB1 1，在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1，nBnB1 1上两个法向上两个法向上两个法向上两个法向 内力不等内力不等内力不等内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxmmhnyABA1B1ABB1A1mnxzyymmFN2FN1本讲稿第二十九页，共六十四页mnnmxyzOyABA1B1bdxmmhn（c c）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF FS S.故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力.根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的各点的各点的各点的切应力方向均与截面侧边平行切应力方向均与截面侧边平行切应力方向均与截面侧边平行切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFSmm本讲稿第三十页，共六十四页ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS（3 3）公式推导）公式推导）公式推导）公式推导 假设假设假设假设mm-mm，n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM，两截面，两截面，两截面，两截面上距中性轴上距中性轴上距中性轴上距中性轴 y y1 1 处的正应力为处的正应力为处的正应力为处的正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A1 1为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积.式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A1 1对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.A A1 1本讲稿第三十一页，共六十四页化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A A1 1ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFS本讲稿第三十二页，共六十四页b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度.yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩.（4 4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定.本讲稿第三十三页，共六十四页y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）=0=0=0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，式中，式中，A=bhA=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.本讲稿第三十四页，共六十四页z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A1 12.2.2.2.工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y.研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为HoyBxbzh本讲稿第三十五页，共六十四页Ozydxy则，距中性层则，距中性层 y处的切应力公式为处的切应力公式为:本讲稿第三十六页，共六十四页 minminozy maxmax maxmax（a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；抛物线规律变化；抛物线规律变化；抛物线规律变化；（b b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上.这也是整这也是整这也是整这也是整个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力.最小切应力发生最小切应力发生在在 y y=h h/2/2 处处切应力分布如图。切应力分布如图。因为因为:(1):(1)腹板切应力近似为均匀分布腹板切应力近似为均匀分布;(2)(2)腹板负担了绝大部分剪力。腹板负担了绝大部分剪力。本讲稿第三十七页，共六十四页383 圆形截面梁圆形截面梁 切应力分布的切应力分布的特点特点(1)边缘各点的切应力与圆周相切；边缘各点的切应力与圆周相切；(2)y轴上各点的切应力沿轴上各点的切应力沿y轴。轴。假设假设(1)AB弦上各点的切应力作用线通过同一点弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；(2)AB弦上各点的切应力沿弦上各点的切应力沿 y轴的分量轴的分量 y相等。相等。本讲稿第三十八页，共六十四页39所以，对所以，对 y可用矩形截面梁的公式可用矩形截面梁的公式式中，式中，b为为AB弦的长度，弦的长度，Sz*为为AB弦以外的面弦以外的面积对积对z轴的静矩。轴的静矩。最大切应力最大切应力最大切应力发生在中性轴上。最大切应力发生在中性轴上。中性轴上的切应力的方向？中性轴上的切应力的方向？本讲稿第三十九页，共六十四页40最大切应力是平均切应力的最大切应力是平均切应力的1.33倍。倍。中性轴处中性轴处本讲稿第四十页，共六十四页二、强度条件二、强度条件 实心截面梁正应力与切应力的比较实心截面梁正应力与切应力的比较本讲稿第四十一页，共六十四页42 对矩形截面梁对矩形截面梁 对圆形截面梁对圆形截面梁本讲稿第四十二页，共六十四页三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1 1 1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，MM 较小，而较小，而较小，而较小，而F FS S较大时较大时较大时较大时,要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；（2 2 2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；（3 3 3 3）各向异性材料各向异性材料各向异性材料各向异性材料(如木材如木材如木材如木材)的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力要校核切应力要校核切应力.本讲稿第四十三页，共六十四页F例题例题例题例题4 4 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起重量起重量起重量起重量(包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F F=30 kN.=30 kN.跨长跨长跨长跨长l l=5 =5 m.m.吊车大梁吊车大梁吊车大梁吊车大梁ABAB由由由由20a20a工字钢制成工字钢制成工字钢制成工字钢制成.其许其许其许其许用弯曲正应力用弯曲正应力用弯曲正应力用弯曲正应力 =170MPa,=170MPa,许用弯曲切应力许用弯曲切应力许用弯曲切应力许用弯曲切应力 =100MPa=100MPa，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度.+37.5 kNm5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F F 在梁在梁在梁在梁中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力 .（a a）正应力强度校核）正应力强度校核）正应力强度校核）正应力强度校核由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得20a20a工字钢的工字钢的工字钢的工字钢的所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为本讲稿第四十四页，共六十四页+FSmax5mABFC（b b）切应力强度校核）切应力强度校核）切应力强度校核）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载F F在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座A A处所示，处所示，处所示，处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中，查型钢表中，查型钢表中，查型钢表中，20a20a号工字钢，有号工字钢，有号工字钢，有号工字钢，有d d=7mm=7mm据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.本讲稿第四十五页，共六十四页例题例题例题例题5 5 简支梁简支梁简支梁简支梁ABAB如图所示如图所示如图所示如图所示.l l2m2m，a a0.2m.0.2m.梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为q q为为为为10kN/m10kN/m，F F200kN.200kN.材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为 =160MPa=160MPa，100MPa100MPa，试选择工字钢型号试选择工字钢型号试选择工字钢型号试选择工字钢型号.解：（解：（解：（解：（1 1）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8 kNm41.8 kNm45 kNm（2 2）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表，选用查型钢表，选用查型钢表，选用查型钢表，选用22a22a工字钢，其工字钢，其工字钢，其工字钢，其WWz z309cm309cm3 3F FR RA AF FR RB B本讲稿第四十六页，共六十四页47 查型钢表(p.353)单位为:cm本讲稿第四十七页，共六十四页（3 3）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力 腹板厚度腹板厚度腹板厚度腹板厚度 d d=0.75cm=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN210kN查表得查表得查表得查表得 maxmax超过超过超过超过 很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面.现已现已现已现已25b25b工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算查表得查表得查表得查表得d d=1cm=1cm所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为25b25b的工字钢的工字钢的工字钢的工字钢.本讲稿第四十八页，共六十四页 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1 1m m。胶合面的许可切应力为。胶合面的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：例题6目录本讲稿第四十九页，共六十四页4.4.按胶合面强度条件计算许可载按胶合面强度条件计算许可载荷荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 目录本讲稿第五十页，共六十四页5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值1.1.1.1.合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载 按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件FlFlFl/4/4FlFl/8/8Fl l/4/4l l/4/4l l/2/2本讲稿第五十一页，共六十四页2.2.2.2.合理地设置支座位置合理地设置支座位置合理地设置支座位置合理地设置支座位置 当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动a a=0.207=0.207l l 时，最大弯矩减小时，最大弯矩减小时，最大弯矩减小时，最大弯矩减小.aalq0.02140.0214qlql2 2lqqlql2 2/2/2本讲稿第五十二页，共六十四页二二.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面本讲稿第五十三页，共六十四页54 几种常用截面的比较几种常用截面的比较用比值用比值来衡量来衡量可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等环形、槽形、工字形等)比较经济合比较经济合理。理。本讲稿第五十四页，共六十四页合理放置截面合理放置截面本讲稿第五十五页，共六十四页2.2.2.2.对于脆性材料制成的梁对于脆性材料制成的梁对于脆性材料制成的梁对于脆性材料制成的梁,宜采用宜采用宜采用宜采用T T字形等对中性轴不对称的截字形等对中性轴不对称的截字形等对中性轴不对称的截字形等对中性轴不对称的截 面且将翼缘置于受拉侧面且将翼缘置于受拉侧面且将翼缘置于受拉侧面且将翼缘置于受拉侧.三、根据材料特性选择截面形状三、根据材料特性选择截面形状三、根据材料特性选择截面形状三、根据材料特性选择截面形状1.1.1.1.对于塑性材料制成的梁对于塑性材料制成的梁对于塑性材料制成的梁对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面.zy y1 1y y2 2 cmaxcmax tmaxtmax 要使要使要使要使y y1 1/y y2 2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力应力应力应力本讲稿第五十六页，共六十四页四、采用等强度梁四、采用等强度梁对如图的简支梁对如图的简支梁:只有中点处的截面上达到只有中点处的截面上达到最大正应力。最大正应力。梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁应力，则称为等强度梁应力，则称为等强度梁应力，则称为等强度梁.本讲稿第五十七页，共六十四页58 中点受集中力作用的简支等强度梁中点受集中力作用的简支等强度梁弯矩方程为弯矩方程为:横截面采用横截面采用矩形截面矩形截面本讲稿第五十八页，共六十四页59(1)高度为常数高度为常数h，确定宽度，确定宽度 b=b(x)本讲稿第五十九页，共六十四页60 根据剪切强度设计根据剪切强度设计最小宽度最小宽度剪力剪力本讲稿第六十页，共六十四页61(2)宽度为常数宽度为常数b，确定高度，确定高度 h=h(x)同理可得同理可得本讲稿第六十一页，共六十四页62鱼腹梁本讲稿第六十二页，共六十四页63 机械上常用的机械上常用的等强度轴等强度轴本讲稿第六十三页，共六十四页小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施本讲稿第六十四页，共六十四页