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第六章线性空间本讲稿第一页，共四十四页1、映射及相关概念、映射及相关概念（1）设）设 与与 是两个非空集合，如果对于是两个非空集合，如果对于 中的每个中的每个元素元素 ，按照某一对应法则，按照某一对应法则 ，都有，都有 中唯一一个确定的中唯一一个确定的元素元素 与之对应，则称与之对应，则称 为集合为集合 到到 的一个映射。并的一个映射。并记记上的一个上的一个变换变换。到自身的映射称为到自身的映射称为（2 2）集合）集合称称 为为 在映射在映射 下的下的像像，为为 在映射在映射 下的下的原像原像。s1 映射的基本概念映射的基本概念本讲稿第二页，共四十四页 （3 3）设）设 为集合为集合 到到 的一个映射的一个映射,用用 表示表示 在映射在映射 下的像的全体，称为下的像的全体，称为 在映射在映射 下的下的像的集像的集合合。如果。如果 ，则称，则称 为为满射满射。如果如果 ，就一定有，就一定有 ，则称，则称 为为单射单射。如果一个如果一个映射既是单射又是满射，就称为映射既是单射又是满射，就称为双射双射。本讲稿第三页，共四十四页 （4 4）若）若 和和 都是集合都是集合 到到 的映射，且对每个的映射，且对每个 都有都有 ，则称，则称 与与 相等相等，记为，记为 。（5 5）设）设 为集合为集合 上的一个变换，如果对每个上的一个变换，如果对每个 都有都有 ，则称，则称 为为 的的恒等变换恒等变换或或单位变换单位变换，记为，记为 。本讲稿第四页，共四十四页 的一个映射。映射的乘法一般不满足的一个映射。映射的乘法一般不满足的一个映射，的一个映射，为集合为集合（6 6）设）设到到是集合是集合到到的映射，乘积的映射，乘积定义为定义为 则则是是到到 交换律，但满足结合律，即若交换律，但满足结合律，即若分别是集合分别是集合 到到 ，到到，到到的映射，则有的映射，则有本讲稿第五页，共四十四页（7 7）设）设为集合为集合到到的一个映射，如果存在的一个映射，如果存在到到的映射的映射，使得，使得 则称则称是是可逆映射可逆映射，并称，并称是是的的逆映射逆映射，记为，记为 。是可逆映射的充分必要条件是是可逆映射的充分必要条件是为双射。为双射。本讲稿第六页，共四十四页2 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质例例 1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量.向量向量的基本属性是可以按平形四边形规律相加，也可以与实数作数的基本属性是可以按平形四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法量乘法.我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的的这两种运算来描述的.本讲稿第七页，共四十四页例例 2为了解线性方程组，我们讨论过以为了解线性方程组，我们讨论过以 n 元有序数组元有序数组作为元素的作为元素的 n 维向量空间维向量空间.对于它们，也有加对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：法和数量乘法，那就是：例例 3对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法，譬如说，考虑全体定义在区间乘法，譬如说，考虑全体定义在区间上的连续函数上的连续函数.我我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数乘积还是连续函数.本讲稿第八页，共四十四页定义定义 1 设设 V 是一个非空集合，是一个非空集合，P 是一个数域是一个数域.在集合在集合 V 的的元素之间定义了一种代数运算，叫做元素之间定义了一种代数运算，叫做加法加法；这就是说，给出了；这就是说，给出了一个法则，对于一个法则，对于中任意两个元素中任意两个元素与与在在中都有唯一中都有唯一的一个元素的一个元素与它们对应，称为与它们对应，称为与与的的和和，记为，记为在数域在数域与集合与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做的元素之间还定义了一种运算，叫做数量数量乘法乘法；这就是说，对于数域；这就是说，对于数域 P 中任一数中任一数 k 与与 V 中任一元素中任一元素乘积乘积，记为，记为如果加法与数量乘法满足下述规则，那么如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称为数域称为数域上的上的线性空间线性空间.在在中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与它们对应，称为 与与的的数量数量本讲稿第九页，共四十四页加法满足下面四条规则：加法满足下面四条规则：3）在）在 V 中有一个元素中有一个元素 0，对于，对于V 中任一元素中任一元素都有都有（具有这个性质的元素（具有这个性质的元素 0 称为称为 V 的的零元素零元素）；）；4）对于对于V 中每一个元素中每一个元素都有都有中的元素中的元素使得使得称为称为的的负元素负元素）.本讲稿第十页，共四十四页数量乘法满足下面两条规则：数量乘法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：本讲稿第十一页，共四十四页几个线性空间的例子：几个线性空间的例子：按通常的多项式加法和数按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域与多项式的乘法，构成一个数域 P 上的线性空间上的线性空间.如果只考虑如果只考虑其中次数小于其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的上的一个线性空间，用一个线性空间，用表示表示.例例 1 数域数域 P上一元多项式环上一元多项式环例例 2 元素属于数域元素属于数域 P的的矩阵，按矩阵的加法和矩阵与矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域数的数量乘法，构成数域 P 上的一个线性空间，用上的一个线性空间，用表示表示.例例 3 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间构成一个实数域上的线性空间.本讲稿第十二页，共四十四页例例 4 数域数域 P 按照自身的加法与乘法，即构成一个自身上按照自身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间的线性空间.线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量.线性空间有时也称为线性空间有时也称为向量空间向量空间.线性空间的一些简单性质：线性空间的一些简单性质：零元素是唯一的零元素是唯一的.1.负元素是唯一的负元素是唯一的.2.4.如果如果那么那么或者或者本讲稿第十三页，共四十四页3 3 维数维数基与坐标基与坐标定义定义 2设设 V 是数域是数域 P 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V 中一组向量，中一组向量，是数域是数域 P 中的数，那么向量中的数，那么向量称为向量组称为向量组的一个的一个线性组合线性组合.有时我们也说向量有时我们也说向量可以用向量组可以用向量组线性表出线性表出.本讲稿第十四页，共四十四页定义定义 3设设（1）（2）是是 V 中两个向量组中两个向量组.如果（如果（1）中每个向量都可以用向量组）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么向量组（）线性表出，那么向量组（1）可以用向量组（）可以用向量组（2）线性）线性表出表出.如果（如果（1）与（）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（与（2）称为）称为等价等价的的.本讲稿第十五页，共四十四页定义定义 4 线性空间线性空间 V中向量中向量称为线性相关，称为线性相关，如果在数域如果在数域 P 中有中有 r 个不全为零的数个不全为零的数使使（3）如果向量如果向量不线性相关，就称为不线性相关，就称为线性无关线性无关.换句话说，换句话说，向量组向量组称为线性无关，如果等式（称为线性无关，如果等式（3）只有在）只有在时才成立时才成立.元素组的线性相关性有如下结论：元素组的线性相关性有如下结论：单个向量单个向量1.是线性相关的充分必要条件是是线性相关的充分必要条件是两个以上的向量两个以上的向量线性相关的充分必要条件是其中线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合有一个向量是其余向量的线性组合.本讲稿第十六页，共四十四页2.如果向量组如果向量组线性无关，而且可以被线性无关，而且可以被线性表出，那么线性表出，那么由此推出两个等价的线性无关的向量组，必定含有由此推出两个等价的线性无关的向量组，必定含有3.如果向量组如果向量组线性无关，但向量组线性无关，但向量组线性相关，那么线性相关，那么可以被可以被线性表出，而且表法是唯一的线性表出，而且表法是唯一的.相同个数的向量相同个数的向量.本讲稿第十七页，共四十四页定义定义 5 如果在线性空间如果在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量，但个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为就称为 n 维的维的；如；如果在果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称就称无限无限维维的的.定义定义 6 在在 维线性空间维线性空间中，中，个线性无关的向量个线性无关的向量相关，因此相关，因此可以被基可以被基线性表出：线性表出：称为称为的一组的一组基基.设设是是中任一向量，于是中任一向量，于是线性线性其中系数其中系数是被向量是被向量和基和基唯一确定的，这组唯一确定的，这组数就被称为数就被称为在基在基下的下的坐标坐标，记为，记为本讲稿第十八页，共四十四页定理定理 1 如果在线性空间如果在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量个线性无关的向量且且 V中任一向量都可以用它们线性表出，那么中任一向量都可以用它们线性表出，那么 V是是 n 维的，而维的，而就是就是 V 的一组基的一组基.例例 1在线性空间在线性空间中，中，的多项式都可以被它们线性表出，所以的多项式都可以被它们线性表出，所以是是维的，而维的，而就是它的一组基就是它的一组基.在这组基下，多项式在这组基下，多项式的坐标就是它的系数的坐标就是它的系数是是个线性无关的向量，而且每一个次数小于个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域的数域上上本讲稿第十九页，共四十四页如果在如果在中取另外一组基中取另外一组基那么按泰勒展开公式那么按泰勒展开公式因此，因此，在基在基下的坐标是下的坐标是本讲稿第二十页，共四十四页例例 2 在在n 维空间维空间中，显然中，显然是一组基是一组基.对每一个向量对每一个向量都有都有所以所以就是向量就是向量在这组基下的坐标在这组基下的坐标.本讲稿第二十一页，共四十四页不难证明，不难证明，是是 P 中中n 个线性无关的向量个线性无关的向量.在基在基下，对于向量下，对于向量有有因此，因此，在基在基下的坐标为下的坐标为本讲稿第二十二页，共四十四页例例 3 如果把复数域如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数是一维的，数 1就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数那么就是二维的，数 1 与与就是一组基就是一组基.这个例子告诉我们，这个例子告诉我们，维数是和考虑的数域有关维数是和考虑的数域有关.本讲稿第二十三页，共四十四页4 基变换和坐标变换基变换和坐标变换设设与与是是 n 维线性空间维线性空间 V中两组中两组基，它们的关系是基，它们的关系是设向量设向量在这两组基下的坐标分别是在这两组基下的坐标分别是与与问题：问题：与与的关系的关系.本讲稿第二十四页，共四十四页矩阵矩阵称为由基称为由基到到的的过渡矩阵过渡矩阵，它是可逆的，它是可逆的.（1）本讲稿第二十五页，共四十四页结论：结论：在基变换（在基变换（1）下，向量的坐标变换公式）下，向量的坐标变换公式或者或者本讲稿第二十六页，共四十四页例例在在3 例例 2 中，我们有中，我们有就是过渡矩阵就是过渡矩阵.这里这里本讲稿第二十七页，共四十四页因此因此不难得出不难得出也就是也就是与与3结果一致结果一致.本讲稿第二十八页，共四十四页5 线性子空间线性子空间定义定义 7数域数域 P 上线性空间上线性空间 V 的一个非空子集合的一个非空子集合 W 称为称为的一个的一个线性子空间线性子空间（或简称（或简称子空间子空间），如果），如果 W 对于对于V 的两种的两种运算也构成数域运算也构成数域上的线性空间上的线性空间.条件条件 1条件条件 2定理定理 2如果线性空间如果线性空间的非空子集合的非空子集合对于对于的两种运的两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么，那么就是一个就是一个子空间子空间.本讲稿第二十九页，共四十四页例例 1在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做个线性子空间，它叫做零子空间零子空间.例例 2 线性空间线性空间也是也是的一个子空间的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时也叫做也叫做平凡子空间平凡子空间，而其它的线性子空间叫做，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间非平凡子空间.例例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间成一个子空间.例例 4是线性空间是线性空间的子空间的子空间.本讲稿第三十页，共四十四页例例 5在线性空间在线性空间中，齐次线性方程组中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的的解空间解空间.不难看出，解空间的基就是方程组的基础解系，它的不难看出，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于维数等于其中其中为系数矩阵的秩为系数矩阵的秩.本讲稿第三十一页，共四十四页设设是线性空间是线性空间中一组向量，不难看出，中一组向量，不难看出，这组向量所有可能的线性组合这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算是封闭的，因而是所成的集合是非空的，而且对两种运算是封闭的，因而是子空间子空间，记为，记为的一个子空间，这个子空间叫做的一个子空间，这个子空间叫做由由生成的生成的本讲稿第三十二页，共四十四页定理定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是的秩的秩.定理定理 4 设设是数域是数域上上维线性空间维线性空间的一个的一个维子维子空间，空间，是是的一组基，那么这组向量必定可扩的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基充为整个空间的基.也就是说，在也就是说，在中必定可以找到中必定可以找到个向量个向量使得使得是是的一组基的一组基.这两个向量组等价这两个向量组等价.的维数等于向量组的维数等于向量组2）本讲稿第三十三页，共四十四页6 子空间的交与和子空间的交与和定理定理 5如果如果是线性空间是线性空间的两个子空间，那么它们的两个子空间，那么它们的交的交也是也是的子空间的子空间.定义定义 8设设是线性空间是线性空间的子空间，所谓的子空间，所谓与与的的和和，是指由所有能表示成是指由所有能表示成而而的向量组成的的向量组成的子集合，记作子集合，记作定理定理 6 如果如果是是的子空间，那么它们的和的子空间，那么它们的和也是也是的子空间的子空间.本讲稿第三十四页，共四十四页子空间的交与和的结论：子空间的交与和的结论：1.设设都是子空间，那么由都是子空间，那么由与与可推可推出出而由而由与与可推出可推出2.对于子空间对于子空间与与以下三个论断是等价的：以下三个论断是等价的：1）2）3）本讲稿第三十五页，共四十四页例例 1 在三维几何空间中，用在三维几何空间中，用表示一条通过原点的直线，表示一条通过原点的直线，表示一张通过原点而且与表示一张通过原点而且与垂直的平面，那么，垂直的平面，那么，与与的交是的交是而而与与的和是整个空间的和是整个空间.例例 2 在线性空间在线性空间中，用中，用与与分别表示方程组分别表示方程组本讲稿第三十六页，共四十四页与与的解空间，那么的解空间，那么就是齐次方程组就是齐次方程组的解空间的解空间.本讲稿第三十七页，共四十四页例例 3在一个线性空间在一个线性空间中，我们有中，我们有定理定理 7如果如果与与是线性空间是线性空间的两个子空间，那么的两个子空间，那么推论推论如果如果维线性空间维线性空间中两个子空间中两个子空间的维数的维数之和大于之和大于那么那么必含有非零的公共向量必含有非零的公共向量.本讲稿第三十八页，共四十四页7 子空间的直和子空间的直和定义定义 9设设是线性空间是线性空间的子空间，如果和的子空间，如果和中每个向量中每个向量的分解式的分解式是唯一的，这个和就称为是唯一的，这个和就称为直和直和，记为，记为定理定理 8和和是直和的充分必要条件是等式是直和的充分必要条件是等式只有在只有在全为零向量时才成立全为零向量时才成立.本讲稿第三十九页，共四十四页推论推论 和和是直和的充分必要条件是是直和的充分必要条件是定理定理 9设设是是的子空间，令的子空间，令则则的充分必要条件为的充分必要条件为定理定理 10 设设是线性空间是线性空间的一个子空间，那么一定存在的一个子空间，那么一定存在一个子空间一个子空间使使本讲稿第四十页，共四十四页定义定义 10 设设都是线性空间都是线性空间的子空间的子空间.如果如果和和中每个向量中每个向量的分解式的分解式是唯一的，这个和就称为是唯一的，这个和就称为直和直和，记为，记为定理定理 11是是的一些子空间，下面这些条件的一些子空间，下面这些条件是等价的：是等价的：1）是直和；是直和；2）零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；3）4）本讲稿第四十一页，共四十四页8 线性空间的同构线性空间的同构定义定义 11数域数域上两个线性空间上两个线性空间与与称为同构的，称为同构的，如果由如果由 到到有一个一一映射有一个一一映射具有以下性质：具有以下性质：1）2）其中其中是是中任意向量，中任意向量，是是中任意数中任意数.这样的映射这样的映射称为称为同构映射同构映射.本讲稿第四十二页，共四十四页同构映射基本性质：同构映射基本性质：1.2.3.中向量组中向量组线性相关的充分必要条件是，它线性相关的充分必要条件是，它们的象们的象线性相关线性相关.同构的线性空间有相同的维数同构的线性空间有相同的维数.4.如果如果是是的一个线性子空间，那么，的一个线性子空间，那么，在在下的象集合下的象集合是是的子空间，并且的子空间，并且与与维数相同维数相同.本讲稿第四十三页，共四十四页5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射映射.数域数域上任意两个上任意两个维线性空间都同构维线性空间都同构.定理定理 12 数域数域上两个有限维线性空间同构的充分必要上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数条件是它们有相同的维数.本讲稿第四十四页，共四十四页