椭圆的中点弦问题 教案—— 高三数学一轮复习.docx

椭圆的“中点弦”问题直线与椭圆相交所得弦的中点问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热门考点。这类问题一般有以下三种类型：（1） 求过中点的弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 .根与系数的关系法：联立直线和椭圆的方程，消元得到一元二次方程后，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解.点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例题讲解：例1：已知椭圆的弦以为中点，求弦所在直线的方程.小结：椭圆的“中点弦”问题(1)注意根与系数的关系法与点差法选择，有关圆锥曲线弦中点问题优先考虑点差法，它可以大大减少运算量；(2) 解决圆锥曲线问题验证斜率不存在的情况是否符合题意课后练习：1已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD【分析】先设，代入椭圆方程，两式作差整理，得到，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到，根据且，即可求出结果.【详解】设，则，两式相减并化简得，又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，所以，即，由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.2已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为，证明：.【分析】设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明【详解】（1）设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故