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第二章 逻辑函数及其简化第1页，共51页，编辑于2022年，星期二2.1 基本概念基本概念逻辑门电路逻辑门电路：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。如：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。如：与与门、门、或或门、门、非非门。门。逻辑状态逻辑状态：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种状态叫逻：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种状态叫逻辑辑1，另一种状态叫逻辑，另一种状态叫逻辑0。(注：注：“1”或或“0”是表示两种不同的符号，没有数量意思。是表示两种不同的符号，没有数量意思。)高低电平：高低电平：表示电压大小范围，分为高电压状态和低电压状表示电压大小范围，分为高电压状态和低电压状态，不是一个固定的电压数值。态，不是一个固定的电压数值。真值表：真值表：将输入、输出用将输入、输出用0、1表示，完整地列出所有可能输表示，完整地列出所有可能输入、输出逻辑关系的表格。入、输出逻辑关系的表格。第2页，共51页，编辑于2022年，星期二逻辑函数：逻辑函数：如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量A、B、C、D 的取值的取值（1或或0）确定以后、输出逻辑变量）确定以后、输出逻辑变量 Z 的值也被唯一的确定。的值也被唯一的确定。称称Z 是是A、B、C、D 的逻辑函数。的逻辑函数。Z=F（A、B、C、D ）逻辑函数相等：逻辑函数相等：F（A、B、C、D ）和）和G（A、B、C、D ），如果输入变量），如果输入变量A、B、C、D 的任的任意一组状态组合取值，使意一组状态组合取值，使F 和和G 输出状态相同。称输出状态相同。称F和和G是是相相等。等。F =G 它们的真值表相等它们的真值表相等 布尔代数中的变量往往用字母布尔代数中的变量往往用字母A、B、C表示。每个变量只取表示。每个变量只取“0”或或“1”两种情况，即变量不是取两种情况，即变量不是取“0”，就是取，就是取“1”，不可能，不可能有第三种情况。它相当于信号的有或无，电平的高低，电路的导通或有第三种情况。它相当于信号的有或无，电平的高低，电路的导通或截止。这使布尔代数可以直接用于截止。这使布尔代数可以直接用于双值逻辑系统双值逻辑系统电路的研究。电路的研究。第3页，共51页，编辑于2022年，星期二2.2 逻辑代数逻辑代数一、基本逻辑：一、基本逻辑：与与逻辑、逻辑、或或逻辑、逻辑、非非逻辑逻辑1.与逻辑：与逻辑：某事成立，必须是它成立的所有条件都满足要求时，某事成立，必须是它成立的所有条件都满足要求时，才成立。才成立。如：如：串联开关电路串联开关电路P逻辑符号和表达式逻辑符号和表达式P=A B C=AB C =A B C&ABC真值表：真值表：列出输入的所有状列出输入的所有状态和输出值。态和输出值。A BP断断 断断灭灭断断 闭闭灭灭闭闭 断断灭灭闭闭 闭闭亮亮A BP0 000 101 001 11逻辑逻辑1:表示开关表示开关”闭闭”,灯的灯的”亮亮”.逻辑逻辑0:表示开关表示开关”断断”,灯的灯的”灭灭”.第4页，共51页，编辑于2022年，星期二 与逻辑也称逻辑乘运算，相当于集合中的交集，根据交集的与逻辑也称逻辑乘运算，相当于集合中的交集，根据交集的概念，不难确定逻辑乘法的运算规则：概念，不难确定逻辑乘法的运算规则：A B=P0 0 =00 1 =01 0 =01 1 =12.或逻辑：或逻辑：要使某事成立，只要满足它至少成立的一个条件时，则要使某事成立，只要满足它至少成立的一个条件时，则成立。成立。如：如：并联开关电路并联开关电路第5页，共51页，编辑于2022年，星期二逻辑符号和表达式逻辑符号和表达式P=A+B+C1ABC真值表：真值表：ABP000011101111 或逻辑也称逻辑加运算，相当于集或逻辑也称逻辑加运算，相当于集合中的并集，根据并集的概念，不难合中的并集，根据并集的概念，不难确定逻辑加的运算规则：确定逻辑加的运算规则：A+B=P0+0=00+1=11+0=11+1=1第6页，共51页，编辑于2022年，星期二 小结小结 与逻辑：有低与逻辑：有低 出低出低；全高；全高 出高出高。或逻辑：有高或逻辑：有高 出高；全低出高；全低 出低出低。3.非运算非运算非逻辑：非逻辑：当一事件的条件满足时，该事件不会发当一事件的条件满足时，该事件不会发生，条件不满足时，才会发生，这样的因果关系称为生，条件不满足时，才会发生，这样的因果关系称为“非非”逻辑关系。逻辑关系。输入输出AP01101AP=A第7页，共51页，编辑于2022年，星期二4.与非、或非逻辑与非、或非逻辑 与非与非 或非或非P=A+B+C1ABC&P=A B CABCA BP0 010 111 011 10A BP0 010 101 001 10与非：与非：全高全高 出低出低；有低；有低 出高出高。或非：或非：全低全低 出高出高；有高；有高 出低出低。5.与或非与或非&1A AB BC CD D第8页，共51页，编辑于2022年，星期二6.异或、同或逻辑异或、同或逻辑 异或异或:二个输入变量状态不同，输出为高；二个输入变量状态相二个输入变量状态不同，输出为高；二个输入变量状态相同，输出为低同，输出为低。注注：一次异或逻辑运算只有二个输入变量，多个变量的异或运算，必须二个二一次异或逻辑运算只有二个输入变量，多个变量的异或运算，必须二个二个变量分别进行。个变量分别进行。P=A B=1AB 同或：同或：二个输入变量状态不同，输出为高；二个输入变量状态二个输入变量状态不同，输出为高；二个输入变量状态相同，输出为低相同，输出为低。P=A B=1ABA BP0 0010 111 011 10A BP0 010 101 001 11第9页，共51页，编辑于2022年，星期二各种逻辑符号图各种逻辑符号图第10页，共51页，编辑于2022年，星期二二、逻辑代数的基本定律二、逻辑代数的基本定律 1.1.变量与常量之间的关系变量与常量之间的关系 ：变量与常量之间的关系又可分：变量与常量之间的关系又可分为与逻辑形式及或逻辑形式两种。实际上为与逻辑形式及或逻辑形式两种。实际上“与与”和和“或或”之间之间是有对应关系的，我们将在稍后给予指出。是有对应关系的，我们将在稍后给予指出。定理定理1 A0=0 ，A+1=1定理定理2 A1=A ，A+0=A 2.变量自身之间的关系：变量自身之间的关系：变量自身之间的关系也有两对变量自身之间的关系也有两对公式，它们之间也是互相对应的。公式，它们之间也是互相对应的。定理定理3 AA=A ，A+A=A定理定理4 =0 ，A+=1定理定理5：还原律还原律第11页，共51页，编辑于2022年，星期二3.3.在在对对逻逻辑辑表表达达式式进进行行变变换换时时，可可以以使使用用普普通通的的交交换换律律、结结合合律律和分配律来变换其形式。和分配律来变换其形式。定理定理6：交换律交换律 AB=BA A+B=B+A定理定理7：结合律结合律 (A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)定理定理8：分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+AC=(A+B)(A+C)第12页，共51页，编辑于2022年，星期二4.4.特殊公式和定理：特殊公式和定理：定理定理9：吸收律吸收律A+AB=A ，A(A+B)=AA+B=A+B，A(+B)=AB定理定理10：反演律反演律定理定理1：恒等式恒等式 在在“与或与或”逻辑式中，一个与项包含了另外两个含有互为反逻辑式中，一个与项包含了另外两个含有互为反变量的与项的其余部分，则该与项是多余的（项）。变量的与项的其余部分，则该与项是多余的（项）。第13页，共51页，编辑于2022年，星期二吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公式公式101律律还原律还原律名称名称公式公式2恒等式恒等式二、逻辑代数的基本定律二、逻辑代数的基本定律第14页，共51页，编辑于2022年，星期二三、逻辑代数的基本规则三、逻辑代数的基本规则基本公式中的公式基本公式中的公式l 和公式和公式2 就互为对偶就互为对偶 式。式。1.代入规则代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。逻辑变量后，等式依然成立。例如，在反演律中用例如，在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：，则新的等式仍成立：2.对偶规则对偶规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换：，：0 1，1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L 的的对偶式对偶式，用，用 表示。表示。第15页，共51页，编辑于2022年，星期二3.3.反演规则反演规则 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 解：解：解：解：将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换：，；：0 1，1 0 ；：原变量原变量 反变量，反变量，反变量反变量 原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的反函数反函数，用，用 表示。表示。例例 求函数求函数 的反函数：的反函数：例例 求函数求函数 的反函数：的反函数：第16页，共51页，编辑于2022年，星期二4.4.展开规则：展开规则：展开规则也叫展开定理，主要有二个公式。展开规则也叫展开定理，主要有二个公式。展开规则二：展开规则二：展开规则一：展开规则一：上述两个展开规则可以看成下列四个等式：上述两个展开规则可以看成下列四个等式：),1(),(21211nnxxPxxxxPxLL=),0(),(21211nnxxPxxxxPxLL=),0(),(21211nnxx+PxxxxPxLL=+),1(),(21211nnxx+PxxxxPxLL=+第17页，共51页，编辑于2022年，星期二四、异或、同或的运算规则四、异或、同或的运算规则 异或：异或：F=A B A+B=A B AB A B=A B （A+B）A（B C）=AB AC 等式两边可以相互交换：等式两边可以相互交换：如如 A B=C；则；则A C=B 同或：同或：F=A B A+B=A B AB A B=A B (A+B）等式两边可以相互交换：等式两边可以相互交换：如如 A B=C；则；则A C=B A+(B C)=(A+B)(A+C)A A=0；A A=1 A 0=A；A 1=A A 0=A；A 1=A A A=1；A A=0 A B=A B=A B A B=A B=A B 如常量如常量1 的个数为奇数，则的个数为奇数，则输出为输出为 1 。如常量如常量0 的个数为偶数，则输的个数为偶数，则输出为出为 1 。第18页，共51页，编辑于2022年，星期二公式的证明方法：公式的证明方法：（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。例例 证明吸收律证明吸收律 证：证：A B0 00 11 01 1例例3.1.23.1.2 用真值表证明反演律用真值表证明反演律11101110（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。第19页，共51页，编辑于2022年，星期二证明证明:(1)若若 xz=yz,且且 x+z=y+z 则则 y=x .(2)如如 y=y+x,且且 x y=0 ,则则 y=x .证证:(1)(2)所以所以 x=y第20页，共51页，编辑于2022年，星期二2.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 描述逻辑问题时，经常使用真值表、逻辑函数的表达式、逻辑图描述逻辑问题时，经常使用真值表、逻辑函数的表达式、逻辑图或卡或卡诺图等方法来研究、处理逻辑问题。并且它们之间完全等价的诺图等方法来研究、处理逻辑问题。并且它们之间完全等价的一真值表：其特点为：一真值表：其特点为：直观明瞭；直观明瞭；由实际问题抽象成数学问题时，使用真值表最方便；由实际问题抽象成数学问题时，使用真值表最方便；变量较多时，真值表过于繁琐。变量较多时，真值表过于繁琐。如有如有n个输入变量变个输入变量变 有有2n 个输入组合。个输入组合。第21页，共51页，编辑于2022年，星期二例如：例如：设计三个不同地点的开关控制一盏灯的电路。设计三个不同地点的开关控制一盏灯的电路。解：解：首先分析题意，令首先分析题意，令A、B、C 表示三个开表示三个开关关，F 为灯；为灯；1 和和 0 表示开关或灯的两个状态。表示开关或灯的两个状态。然后列出真值表如下：然后列出真值表如下：A B CF0 0 000 0 10 1 01 0 01111 0 10 1 11 1 00001 1 11二逻辑函数的表达式二逻辑函数的表达式 Z=F Z=F（A A，B B，C C，）1.由真值表求函数表达式的方法由真值表求函数表达式的方法 标准标准“与与-或或”式（式（“积之和积之和”式）式）i.把真值表中函数为把真值表中函数为1 的输入变量取值组合选出；的输入变量取值组合选出；ii.输入变量为输入变量为1的写成原变量；为的写成原变量；为0 的写成反变量，然后写成一个乘积项的写成反变量，然后写成一个乘积项（与项）；（与项）；iii.将所有函数值为将所有函数值为1的乘积项相加的乘积项相加 标准标准“与与-或或”式。式。第22页，共51页，编辑于2022年，星期二例：例：根据上例子的真值表得到函数的表达式如下：根据上例子的真值表得到函数的表达式如下：由真值表得到的函数的表达式是标准的由真值表得到的函数的表达式是标准的“与与-或或”式。式。标准标准“或或-与与”式（式（“和之积和之积”式）式）I.选真值表中函数为选真值表中函数为0 的输入变量取值组合；的输入变量取值组合；II.输入变量为输入变量为1的写成反变量；为的写成反变量；为0 的写成原变量，然的写成原变量，然后写成一个和项；后写成一个和项；III.将这些和项相乘将这些和项相乘 标准标准“或或-与与”式。式。A B CF0 0 000 0 10 1 01 0 01111 0 10 1 11 1 00001 1 11第23页，共51页，编辑于2022年，星期二2.最小项、最大项（最小项、最大项（P96 ）最小项：最小项：包含全部输入变量，每个输入变量或以原变量或以反变包含全部输入变量，每个输入变量或以原变量或以反变量形式出现，并仅仅出现一次，这样的乘积项。量形式出现，并仅仅出现一次，这样的乘积项。标准标准“与与-或或”式：由最小项相加而成的函数表达式。式：由最小项相加而成的函数表达式。n个变量的最小项的数目是个变量的最小项的数目是2n 个，最小项用个，最小项用 mi 表示。下标用最表示。下标用最小项对应的二进制码相应的十进制小项对应的二进制码相应的十进制数表示。例如数表示。例如A B0 00 11 01 1 最大项：最大项：包含全部输入变量的和项。最大项用包含全部输入变量的和项。最大项用MJ表示。最大表示。最大项的下标与对应的最小项下标之间有一定关系项的下标与对应的最小项下标之间有一定关系:I 是最小项的下标数；是最小项的下标数；j 是最大项的下标数。是最大项的下标数。第24页，共51页，编辑于2022年，星期二A B C0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 最小项最小项最大项最大项 非标准非标准“与与-或或”式式 标准标准“与与-或或”式式 解：解：例：例：将函数将函数 转换成最小项表达式。转换成最小项表达式。=m7+m6+m3+m1 =m（1,3,6,7）第25页，共51页，编辑于2022年，星期二 解解：=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）例例：将将函函数数 转转换换成成标标准准“与与-或或”式式。最小项和最大项的性质：最小项和最大项的性质：P961.最小项的反是最大项最小项的反是最大项,最大项的反是最小项最大项的反是最小项;第26页，共51页，编辑于2022年，星期二2.全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于“1”;3.全部最大项之积恒等于全部最大项之积恒等于“0”;4.一部分最小项之和的反等于另外那些最小项之和一部分最小项之和的反等于另外那些最小项之和;5.两最小项之积恒等于两最小项之积恒等于“0”;6.两最大项之和恒等于两最大项之和恒等于“1”;7.与或标准型与或标准型Y=mi=m(0,1,4,6,7)=m0+m1+m4+m6+m7 8.或与标准型或与标准型Y=Mi=M(0,1,4,6,7)=M0 M1 M4 M6 M7 第27页，共51页，编辑于2022年，星期二3.函数表达式的特点函数表达式的特点 简洁方便，高度抽象概括地表示逻辑问题；简洁方便，高度抽象概括地表示逻辑问题；便于进行运算、变换和化简；便于进行运算、变换和化简；便于逻辑图实现。便于逻辑图实现。三逻辑图：三逻辑图：用逻辑符号表示基本单元电路已及由这些基本单元电路用逻辑符号表示基本单元电路已及由这些基本单元电路组成的部件之后，所得到的图。它具有比较接近工程实际的组成的部件之后，所得到的图。它具有比较接近工程实际的突出优点和信号流电路接口清晰等特点。突出优点和信号流电路接口清晰等特点。第28页，共51页，编辑于2022年，星期二2.4 代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式:一个逻辑函数的表达式不是唯一的，除了与一个逻辑函数的表达式不是唯一的，除了与或式外，还有或或式外，还有或与式、与非与式、与非与非式、或非与非式、或非或非及与或非及与或或非式。可非式。可以有多种形式，并且能互相转换。以有多种形式，并且能互相转换。例如：例如：与与或表达或表达式式或或与表达与表达式式与非与非与非表达式与非表达式或非或非或非表达式或非表达式与与或或非表达式非表达式其中，与其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。第29页，共51页，编辑于2022年，星期二2 2逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式”的标准的标准 3 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数:即运用形式定理和基本规则进行化即运用形式定理和基本规则进行化简。所以必须熟练掌握这些定理和规则，否则十分容易与一般代数简。所以必须熟练掌握这些定理和规则，否则十分容易与一般代数相混。相混。并并项项法法：运运用用公公式式 将将两两项项合合并并为为一一项项，消消去去一一个个变量。变量。例：例：与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中乘积项乘积项最少。最少。每个每个乘积项乘积项中的变量数最少。中的变量数最少。第30页，共51页，编辑于2022年，星期二 吸收法：吸收法：运用吸收律运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。，消去多余的与项。例：例：例：例：消去法：消去法：运用吸收律运用吸收律 消去多余因子。消去多余因子。例：例：配项法：配项法：先通过乘以先通过乘以 或加上或加上 ，增加必增加必要的乘积项，再用以上方法化简。要的乘积项，再用以上方法化简。在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。最简。逻辑函数的化简结果不是唯一的。逻辑函数的化简结果不是唯一的。第31页，共51页，编辑于2022年，星期二例例 化简化简 解：解：（利用（利用A+AB=A）（利用（利用 ）例例 化简化简：解法解法1 1：（增加多余项（增加多余项 ）（消去一个多余项（消去一个多余项 ）（再消去一个多余项（再消去一个多余项 ）解法解法2：（增加多余项（增加多余项 ）（消去一个多余项（消去一个多余项 ）（再消去一个多余项（再消去一个多余项 ）第32页，共51页，编辑于2022年，星期二例：化简例：化简 解解：（利用反演律（利用反演律）（利用（利用A+AB=A）（配项法）（配项法）（利用（利用A+AB=A）代数化简法：代数化简法：优点：优点：不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。缺缺点点：没没有有固固定定的的步步骤骤可可循循；需需要要熟熟练练运运用用各各种种公公式式和和定定理理；需需要要一一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。第33页，共51页，编辑于2022年，星期二2.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简一、卡诺图一、卡诺图：把真值表形式变换成方格图的形式，并按循环码把真值表形式变换成方格图的形式，并按循环码来排列变量的取值组合。来排列变量的取值组合。卡诺图建立：卡诺图建立：i.把输入变量分为两组，把输入变量分为两组，并写出每组变量的所并写出每组变量的所有可能取值有可能取值；ii.每组变量的每组变量的取值按循环取值按循环码来排列；码来排列；0 00 11 11 0000001011010110111101100000000010101010011001101 10011000两变量两变量四变量四变量三变量三变量第34页，共51页，编辑于2022年，星期二 卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变项占有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为量数为n，则最小项的数目为，则最小项的数目为2n,小方格数目也为小方格数目也为2n。iii.这两组变量组合构成这两组变量组合构成2n个方格，每个方格代表个最小项。个方格，每个方格代表个最小项。10000111三变量卡诺图 10BCA000001100110100011111101013267540000111100132675412131514891110A BCD00011110000001001100100000100110111010100011011111111011000101011101101四变量卡诺图第35页，共51页，编辑于2022年，星期二m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10 CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10四变量卡诺图四变量卡诺图卡诺图具有很强的相卡诺图具有很强的相邻性：邻性：直观相邻性，只要小直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定表的最小项在逻辑上一定是相邻的。是相邻的。对边相邻性，即与中对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相下两边的小方格也具有相邻性邻性。卡诺图的特点卡诺图的特点几何相邻必逻辑相邻几何相邻必逻辑相邻第36页，共51页，编辑于2022年，星期二i.一个小方格代表一个最小项，用小方格几何位置上的相邻一个小方格代表一个最小项，用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。性来表示最小项逻辑上的相邻性。卡诺图性质和运算：卡诺图性质和运算：ii.卡诺图中所有小方格均为卡诺图中所有小方格均为0时，其输出函数时，其输出函数F=0 。iii.卡诺图中所有小方格均为卡诺图中所有小方格均为1时，其输出函数时，其输出函数F=1 。iv.两卡诺图中相加（或），对应每小方格中的两卡诺图中相加（或），对应每小方格中的0、1按逻辑加按逻辑加运算。运算。v.两卡诺图中相乘（与），对应每小方格中的两卡诺图中相乘（与），对应每小方格中的0、1按逻辑按逻辑乘运算。乘运算。vi.用卡诺图反演求反函数：将原函数卡诺图中的用卡诺图反演求反函数：将原函数卡诺图中的01、1 0；即可得到反函数的卡诺图。；即可得到反函数的卡诺图。1 11 AB00 011110 C 011 111100 011110 C 01AB第37页，共51页，编辑于2022年，星期二vii.卡诺图的对偶卡诺图的对偶,求对偶函数求对偶函数F*，其方法：，其方法：由由F函数的最小项，求反函数函数的最小项，求反函数F；如如 F（A，B，C ）=m（i）则则 （A，B，C ）=m（j）其中其中j j 为为2 2n n 个号码中除去个号码中除去 i i 以外的所有最小项号码。以外的所有最小项号码。由反函数，求对由反函数，求对F*偶函数偶函数=m（k）；那么那么 k=（2 2n n 1）j ；（k 的个数与的个数与 j 相同相同 ）如如 n=3，k=（2 23 3 1）j=7 j n=4，k=（2 24 4 1）j=15 j例例:F（A，B，C）=m（0，2，6）（A，B，C）=m（1，3，4，5，7）F*(A，B，C)=m（0，2，3，4，6）第38页，共51页，编辑于2022年，星期二二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数 1 1从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图例例 已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。解解：该该函函数数为为三三变变量量，先先画画出出三三变变量量卡卡诺诺图图，然然后后根根据据真真值值表表将将8个个最最小小项项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。个小方格中即可。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111L 真值表真值表CAB000011111011110000第39页，共51页，编辑于2022年，星期二2 2从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图 如不是最小项表达式，应如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可由再填入卡诺图。也可由“与与或或”表达式直接填入。表达式直接填入。如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。解：解：写成简化形式：写成简化形式：解：解：直接填入：直接填入：例 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：例例 用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：C D A B GF BC 00 01 11 10 A 01111100001111110000000000第40页，共51页，编辑于2022年，星期二 三、三、逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 1 1卡卡诺诺图图合合并并最最小小项项的的规规律律 :在在卡卡诺诺图图中中处处于于相相邻邻位位置置的的最最小小项项均均可可以以合合并并为为一一项项，而而合合并并后后的的乘乘积积项项由由没没有有0 0、1 1变化的变量组成，消去了有变化的变量。变化的变量组成，消去了有变化的变量。l4 4个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去2 2个取值不同的变量。个取值不同的变量。l2 2个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去1 1个取值不同的变量个取值不同的变量。AB 00 01 1110 CD 00 01 11 10 AB 00 01 1110 CD 00 01 11 10第41页，共51页，编辑于2022年，星期二l 8 8个个相相邻邻的的最最小小项项可可以以合合并并，消消去去3 3个个取取值值不不同同的变量。的变量。总总之之，2n个个相相邻邻的的最最小小项项可可以以合合并并，消消去去n个个取取值值不不同同的变量。的变量。CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10l 1616个个相相邻邻的的最最小小项项可可以以合合并并，消去消去4 4个取值不同的变量。个取值不同的变量。第42页，共51页，编辑于2022年，星期二2 2卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数（画圈合并最小项）（画圈合并最小项）化简最简化简最简“与与-或或”式方法：（圈式方法：（圈 1 1）l找出最小项为找出最小项为1 1的相邻项进行合并；的相邻项进行合并；l尽量画大圈，即乘积项中变量最少。尽量画大圈，即乘积项中变量最少。l圈的个数尽量少，即乘积项少；圈的个数尽量少，即乘积项少；l在每一个新画的圈组中至少要含有一个末被圈过的在每一个新画的圈组中至少要含有一个末被圈过的1 1方格（函数方格（函数值为值为1 1的最小项），否则该圈组是多余的；的最小项），否则该圈组是多余的；l卡诺图中所有取值为卡诺图中所有取值为1 1的方格均要被圈过（圈完）。的方格均要被圈过（圈完）。最简最简“与与-或或”式为式为乘积项个数乘积项个数=合并圈的数目（圈少）合并圈的数目（圈少）乘积项中含变量因子的多少取决于合乘积项中含变量因子的多少取决于合并圈大小（圈大）并圈大小（圈大）第43页，共51页，编辑于2022年，星期二例例 化简逻辑函数：化简逻辑函数：F（A,B,C,D）=m（0,1,7,8,9,10,11,12,13,14,15）解：解：a.由表达式画出卡诺图。由表达式画出卡诺图。b.画圈，画圈，合并最小项，合并最小项，得简得简化的化的 与与或表达式或表达式:1111111111100000 CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10第44页，共51页，编辑于2022年，星期二解解：由表达式画出卡诺图。由表达式画出卡诺图。注意：图中的绿色圈是多余的，应去掉注意：图中的绿色圈是多余的，应去掉。例例 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：合合并并最最小小项项，得得简简化化的的“与与或或”表达式表达式:CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10BC11111111第45页，共51页，编辑于2022年，星期二例例 已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该函数。已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该函数。解：解：由真值表画出卡诺图由真值表画出卡诺图;画合并最小项。有两种画圈的方法画合并最小项。有两种画圈的方法 由此可见，由此可见，一个逻辑函数的真值表是唯一的，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。的。（a）：）：写出写出表达式：表达式：（b）：）：写出表达式：写出表达式：0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C01111110 L 真真 值值 表表ABC00001111101011011110110111ABC0000111110例例2-1动画动画例例2-2动画动画第46页，共51页，编辑于2022年，星期二4卡诺图化简逻辑函数的另一种方法卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈圈0法法例例 已知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用已知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用“圈圈1 1法法”和和“圈圈0 0法法”写出写出其最简与其最简与或式。或式。b.用圈用圈0 0法，得：法，得：解：解：a.用圈用圈1 1 法，得：法，得：对对F取非得：取非得：CD 00 01 1110 AB 00 01 11 101101111011111111 CD 00 01 1110 AB 00 01 11 101101111011111111第47页，共51页，编辑于2022年，星期二四、具有无关项的逻辑函数的化简四、具有无关项的逻辑函数的化简 1无无关关项项:在在有有些些逻逻辑辑函函数数中中，输输入入变变量量的的某某些些取取值值组组合合不不会会出出现现，或或者者一一旦旦出出现现，逻逻辑辑值值可可以以是是任任意意的的。这这样样的的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。解解：设设控控制制旋旋转转方方向向开开关关分分别别用用A、B 表表示，右示，右 左旋转用左旋转用 L、R 表示表示 列出该函数的真值表。列出该函数的真值表。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：F=m（）+d（）如本例函数可写成如本例函数可写成 L=m（1）+d（3）；）；R=m（1）+d（3）0 0 0 1 1 0 1 1 A B 0 00 11 0 R L 真真 值值 表表 显而易见，在这个函数中，有一个最小项为无显而易见，在这个函数中，有一个最小项为无关项。关项。例：例：设计电动机旋转的控制电路。设计电动机旋转的控制电路。第48页，共51页，编辑于2022年，星期二2具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简 化化简简具具有有无无关关项项的的逻逻辑辑函函数数时时，要要充充分分利利用用无无关关项项可可以以当当 0 也也可可以以当当1 的的特特点点，尽尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。考虑无关项时，考虑无关项时，表达式为表达式为:F=B例例010ABC0000111110010ABC0000111110 不考虑无关项时，不考虑无关项时，表达式为：表达式为：第49页，共51页，编辑于2022年，星期二例：例：某逻辑函数输入是某逻辑函数输入是84218421BCD码，其逻辑表达式为：码，其逻辑表达式为：L（A A,B B,C,D）=m（1,4,5,6,7,91,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,1510,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。用卡诺图法化简该逻辑函数。解解：a.a.画画出出4 4变变量量卡卡诺诺图图。将将1 1、4 4、5 5、6 6、7 7、9 9号号小小方方格格填填入入1 1；将将1010、1111、1212、1313、1414、1515号小方格填入号小方格填入。如果不考虑无关项，写出表达式为：如果不考虑无关项，写出表达式为：c.c.写出逻辑函数的最简与写出逻辑函数的最简与或表达式或表达式:b.b.合合并并最最小小项项。注注意意，1 1方方格格不不能能漏漏。方方格格根根据据需需要要，可可以以圈圈入入，也可以放弃。也可以放弃。1111110000 CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10111111 CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10第50页，共51页，编辑于2022年，星期二这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，五变这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，五变量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。例例:化简逻辑函数化简逻辑函数例例2-3动画动画最小项编号变量按EABCD顺序轴我们将逻辑函数中带有我们将逻辑函数中带有 的与项填入轴左侧的的与项填入轴左侧的 四变量四变量卡诺图中；将带有卡诺图中；将带有E 的与项填入轴右侧的的与项填入轴右侧的E 四变量卡诺图中；四变量卡诺图中；不带变量不带变量E 的与项填入以轴为对称的二个四变量卡诺图中。的与项填入以轴为对称的二个四变量卡诺图中。第51页，共51页，编辑于2022年，星期二