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第四章第四章 平面弯曲平面弯曲本讲稿第一页，共三十六页4.1平面弯曲的概念和实例l l弯曲变形：轴线变成一条曲线。弯曲变形：轴线变成一条曲线。l l梁：以弯曲变形为主的杆。梁：以弯曲变形为主的杆。l l平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。l l平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。l l受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面对称作用。受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面对称作用。l l实例：卧式容器实例：卧式容器外伸梁；塔设备外伸梁；塔设备悬臂梁等。悬臂梁等。本讲稿第二页，共三十六页4.2 平面弯曲的内力分析平面弯曲的内力分析4.2.1 4.2.1 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩n n产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。n n剪力和弯矩符号规定剪力和弯矩符号规定剪力和弯矩符号规定剪力和弯矩符号规定 ：取左段剪力向下为正，弯矩逆：取左段剪力向下为正，弯矩逆时针为正。时针为正。n n符号规定的目的：使内力素与变形相关联，成为截符号规定的目的：使内力素与变形相关联，成为截面位置的函数，这种函数叫剪力方程和弯矩方程，面位置的函数，这种函数叫剪力方程和弯矩方程，作出的图线叫做剪力图和弯矩图。作出的图线叫做剪力图和弯矩图。本讲稿第三页，共三十六页4.2.2剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n n准确无误地求出约束反力。准确无误地求出约束反力。n n横截面上的剪力和弯矩按符号规定的正方向横截面上的剪力和弯矩按符号规定的正方向假设，不去判断其真实方向。假设，不去判断其真实方向。n n取左段还是取右段，以研究问题简单为准。取左段还是取右段，以研究问题简单为准。n n研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪力研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。本讲稿第四页，共三十六页剪力剪力弯矩弯矩按正按正方向方向假设假设本讲稿第五页，共三十六页本讲稿第六页，共三十六页n n作剪力图与弯矩图的规律：n n1 1）若）若q=0q=0，则剪力图为水平直线，弯矩图为直线。，则剪力图为水平直线，弯矩图为直线。n n2 2）若有向下的均布载荷，则剪力图为下降直线，弯矩）若有向下的均布载荷，则剪力图为下降直线，弯矩图为上凸抛物线。图为上凸抛物线。n n3 3）在集中力作用处，剪力图发生突变，弯矩图不发生突）在集中力作用处，剪力图发生突变，弯矩图不发生突变；集中力偶作用处，剪力图不受影响，弯矩图会发生突变；集中力偶作用处，剪力图不受影响，弯矩图会发生突变。变。n n4 4）最大弯矩最大弯矩可能发生的位置：集中力作用处；集中可能发生的位置：集中力作用处；集中力偶作用处；剪力等于零（力偶作用处；剪力等于零（Q=0Q=0）处。）处。关注图线走向、突变处、极值点及最大值（绝对值）。关注图线走向、突变处、极值点及最大值（绝对值）。本讲稿第七页，共三十六页例：已知：例：已知：P=24kN，F=12kN，q=6kN/m，MO=12kNm。作出剪力图和弯矩图。作出剪力图和弯矩图。解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力 (2)剪力图和弯矩剪力图和弯矩图大致形状分析图大致形状分析 (3)计算剪力和弯计算剪力和弯矩值矩值本讲稿第八页，共三十六页RB=34 kN，RA=26 kNMC=26 kNmQD=2 kN=28kNm=28-12=16kNmMB=-24 kNm本讲稿第九页，共三十六页4.3平面弯曲的正应力计算平面弯曲的正应力计算l l剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力l l纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的决定纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的决定因素是弯矩。因素是弯矩。本讲稿第十页，共三十六页4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 l l变形几何关系 中性层的存在性：每一纵向纤中性层的存在性：每一纵向纤维层由直变弯，靠近上方的纤维层由直变弯，靠近上方的纤维层受压，下方的纤维层受拉，维层受压，下方的纤维层受拉，中间某处存在一层既不受拉也中间某处存在一层既不受拉也不受压的纤维层，这一层叫中不受压的纤维层，这一层叫中性层，中性层与横截面的交线性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。轴线：中性层与纵叫中性轴。轴线：中性层与纵向对称面的交线。向对称面的交线。平面假设：横截面变形后仍平面假设：横截面变形后仍保持平面，但绕自身的中性保持平面，但绕自身的中性轴偏转了一定角度，保持与轴偏转了一定角度，保持与中性层垂直。中性层垂直。本讲稿第十一页，共三十六页不挤压假设：每一纵向纤维均为不挤压假设：每一纵向纤维均为单向拉伸或压缩，纤维层间不存单向拉伸或压缩，纤维层间不存在相互的挤压。在相互的挤压。任一纤维层的变形计算：任一纤维层的变形计算：绝绝 对对 变变 形：形：相对变形（应变）：相对变形（应变）：dqo1o2本讲稿第十二页，共三十六页l物理关系物理关系 应力和应变间的关系应力和应变间的关系 不挤压假设，每一纤维层处于简单拉压不挤压假设，每一纤维层处于简单拉压变形，满足虎克定律：变形，满足虎克定律：应力分布规律：横截面上的正应力沿高应力分布规律：横截面上的正应力沿高度方向呈线性分布。度方向呈线性分布。o1o2本讲稿第十三页，共三十六页l l静力关系静力关系 应应力和内力间的关系力和内力间的关系 横截面上的正应力分布力系（平行力系）应为一力偶系。中性层在哪里？中性轴通过横截面的形心中性轴通过横截面的形心本讲稿第十四页，共三十六页横截面上正应力的合力为截面上的弯矩。对中性轴的惯性矩表示截面绕中性轴转动的难易程度，即表示了变形的刚度。轴线的曲率表示了梁的变形程度。梁弯曲变形的基本公式，表示了引起梁变形的外力及梁自身抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）对弯曲变形的影响。正应力计算公式：正应力计算公式：本讲稿第十五页，共三十六页工程实用计算式：工程实用计算式：应力的性质可由应力的性质可由变形直观判断变形直观判断最大弯曲正应力：最大弯曲正应力：抗弯截面模量：抗弯截面模量：形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可直接形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可直接计算出来，对于型钢可查表。计算出来，对于型钢可查表。惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等是平面惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起来才有其物理图形的几何性质，只有和具体的变形结合起来才有其物理意义。意义。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。本讲稿第十六页，共三十六页矩形截面：矩形截面：惯性矩及抗弯截面模量惯性矩及抗弯截面模量实心圆截面：实心圆截面：圆圆环环形形薄薄壁壁圆圆筒筒本讲稿第十七页，共三十六页4.3.3弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件强度条件式强度条件式(等截面等截面)：许用弯曲应力与简单拉许用弯曲应力与简单拉(压压)的许用应力意义相同；的许用应力意义相同；考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲应力考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数可取较的值可取较大的值，或说弯曲安全系数可取较小的值；小的值；强度条件式可解决三方面的问题。强度条件式可解决三方面的问题。本讲稿第十八页，共三十六页例：例：图图示示简简支梁支梁AB，试试求：求：(1)最大弯曲正应力及其所最大弯曲正应力及其所在位置；在位置；(2)在在D、E两点的弯曲正两点的弯曲正应力。应力。解：解：（1）作出剪力图和作出剪力图和弯矩图，求出最大弯矩值；计算弯矩图，求出最大弯矩值；计算抗弯截面模量（找出中性轴），抗弯截面模量（找出中性轴），计算最大弯曲正应力。计算最大弯曲正应力。（2）计算）计算D、E两点所在两点所在截面的弯矩值，按照截面的弯矩值，按照D、E两点两点各自离中性轴的距离，计算出各自离中性轴的距离，计算出其弯曲正应力的值其弯曲正应力的值，并判断出，并判断出其应力的性质（拉应力或压应其应力的性质（拉应力或压应力）。力）。本讲稿第十九页，共三十六页4.3.4提高梁弯曲强度的措施 途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁，尽量合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁，尽量合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁，尽量合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁，尽量不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯截面模量大选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯截面模量大选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯截面模量大选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯截面模量大的截面，如工字形，圆环形等，同样的截面形状，要注意使具有的截面，如工字形，圆环形等，同样的截面形状，要注意使具有的截面，如工字形，圆环形等，同样的截面形状，要注意使具有的截面，如工字形，圆环形等，同样的截面形状，要注意使具有较大的惯性矩的轴成为中性轴。较大的惯性矩的轴成为中性轴。较大的惯性矩的轴成为中性轴。较大的惯性矩的轴成为中性轴。本讲稿第二十页，共三十六页4.4平面弯曲的变形计算4.4.l梁弯曲变形的度梁弯曲变形的度量量挠度和转角挠度和转角挠度和转角是控制梁弯挠度和转角是控制梁弯曲变形的宏观量曲变形的宏观量挠曲线可以表示挠度和挠曲线可以表示挠度和转角：横截面转角与挠转角：横截面转角与挠曲线上相应点的切线转曲线上相应点的切线转角相同。小变形情况下，角相同。小变形情况下，转角可以用挠曲线的斜转角可以用挠曲线的斜率表示。率表示。y=f(x)，本讲稿第二十一页，共三十六页挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，加挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的挠度上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是梁弯曲和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是梁弯曲变形的微分方程。变形的微分方程。4.4.2挠曲线近似微分方程及两次积分法挠曲线近似微分方程及两次积分法梁弯曲变形的基本方程：梁弯曲变形的基本方程：注：为书写简单起见，将惯性矩注：为书写简单起见，将惯性矩的下标略去。的下标略去。曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：小变形本讲稿第二十二页，共三十六页二阶导数与弯矩的符号关系：二阶导数与弯矩的符号关系：解此挠曲线微分方程，加解此挠曲线微分方程，加上边界条件，即可得到梁上边界条件，即可得到梁挠曲线上各点的转角和挠挠曲线上各点的转角和挠度，即转角方程和挠度度，即转角方程和挠度（挠曲线）方程。（挠曲线）方程。挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：本讲稿第二十三页，共三十六页例：导出悬臂梁受集中力作例：导出悬臂梁受集中力作用的转角方程和挠度方程。用的转角方程和挠度方程。设设 EI为常量。为常量。解：建立坐标系，写出弯解：建立坐标系，写出弯矩方程；矩方程；两次积分得出转角方程和挠度方程的通用式；两次积分得出转角方程和挠度方程的通用式；考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度方考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度方程：程：本讲稿第二十四页，共三十六页 4.4.3用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形叠加原理叠加原理：小变形，材料服从虎克定律，梁的挠度和转角均与梁所受载荷成线性关系，因此，梁在几种载荷共同作用下的变形，可以看作是每一种载荷单独作用时所产生的变形的叠加。叠加原理用来求复杂载荷作用下梁特定截面处的挠度和转角。每一种基本载荷作用下的梁的变形公式需要预先导出。本讲稿第二十五页，共三十六页例例 试求图示悬臂梁自由端的挠度和转角。设抗弯刚度EI为常量。解：P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和。本讲稿第二十六页，共三十六页例例 试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠度和转试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠度和转角。设抗弯刚度角。设抗弯刚度EIEI为常量为常量 解：将均布载荷设想为由无数个微元力qdx组成的，则每一个微元力qdx在梁自由端产生的微小转角和挠度：，本讲稿第二十七页，共三十六页4.4.4 梁的刚度条件梁的刚度条件刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的条件，刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的条件，即即 ymaxy max 许可挠度许可挠度y和许可转角和许可转角由构件的具体工作由构件的具体工作要求来确定。化学工业中要求来确定。化学工业中y和和的值经常取的值经常取决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔顶自由决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔顶自由端的许可挠度可取塔高的端的许可挠度可取塔高的1/5001/1000,具体具体值可由塔工艺要求来确定。值可由塔工艺要求来确定。本讲稿第二十八页，共三十六页4.5简单超静定梁的求解例：求图示超静定梁的约束反力。静定基变形图 解：法：解除支座B，形成静定基，变形协调方程：y1+y2=0，本讲稿第二十九页，共三十六页 法：解除转角约束，形成静定基，变形协调方程：q1+q2=0 静定基变形图本讲稿第三十页，共三十六页4.6 压杆稳定性简介压杆稳定性简介4.6.1压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆的稳定性分析：压杆的稳定性分析：外加力有利于弯曲变形的继续发展；杆自身具有抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）。压杆是否稳定取决于杆自身抵抗弯曲变形的能力与外力使杆发生弯曲变形的能力的较量。临界压力临界压力：弯曲变形既不消失也不扩大（临界状态）时的压力。临界压力的大小表示了压杆稳定性的高低，是表示压杆稳定性的重要参数。本讲稿第三十一页，共三十六页4.6.2提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1）提高压杆的抗弯刚度）提高压杆的抗弯刚度EI：钢材的E值差别不大，截面的惯性矩的影响很大。压杆的弯曲方向不定，故压杆的合理截面形状为对称截面，如圆形或正方形。2）加强压杆所受的约束。）加强压杆所受的约束。3）减小压杆的长度。）减小压杆的长度。本讲稿第三十二页，共三十六页4.7 弯曲和拉（压）的组合变形基本概念：横截面上的内力有轴力、弯矩（剪力）。基本方法：进行受力分析，用截面法计算横截面上的内力，求出将各自的内力对应的应力，然后叠加。轴力对应截面上均布的正应力，弯矩对应截面上线性分布的应力，叠加后得到截面上最大的拉应力或压应力，进而建立强度条件，进行各种计算。例：偏心拉伸，塔受风载及重力的作用,卧式容器受内压及重力的作用.本讲稿第三十三页，共三十六页本讲稿第三十四页，共三十六页卧式容器在重力作用下卧式容器在重力作用下支座最佳位置的分析支座最佳位置的分析支座最佳位置的条件支座最佳位置的条件支座最佳位置的条件支座最佳位置的条件:跨中截面处的弯矩跨中截面处的弯矩跨中截面处的弯矩跨中截面处的弯矩值等于支座处的弯矩值值等于支座处的弯矩值值等于支座处的弯矩值值等于支座处的弯矩值.本讲稿第三十五页，共三十六页3.3.对于对于对于对于1-111-11题，将塔简化为壁厚均匀的圆筒体，若筒体计算厚度题，将塔简化为壁厚均匀的圆筒体，若筒体计算厚度题，将塔简化为壁厚均匀的圆筒体，若筒体计算厚度题，将塔简化为壁厚均匀的圆筒体，若筒体计算厚度d d d de e=10=10=10=10mmmm，s s s s=120MPa=120MPa，试求塔壁中的最大弯曲正应力及由重，试求塔壁中的最大弯曲正应力及由重，试求塔壁中的最大弯曲正应力及由重，试求塔壁中的最大弯曲正应力及由重力产生的压应力，并校核其强度。力产生的压应力，并校核其强度。力产生的压应力，并校核其强度。力产生的压应力，并校核其强度。1.1.求图示结构的约束反力。设求图示结构的约束反力。设求图示结构的约束反力。设求图示结构的约束反力。设MMo o=qaqa2 2.2.2.图图示超静定梁采用工字示超静定梁采用工字钢钢，已知：，已知：F=10kN，a=2m，许许用弯曲用弯曲应应力力=120MPa，工，工字字钢钢的的弹弹性模量性模量E=2105MPa。试试确定工确定工字字钢钢的型号。若将的型号。若将B处处支座去掉，支座去掉，试问试问已确定的工字已确定的工字钢钢型号能否型号能否满满足此足此时时的的强强度要求？度要求？本讲稿第三十六页，共三十六页