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第二章重力场第1页，共22页，编辑于2022年，星期二第一节第一节 引力、引力场、引力场强度引力、引力场、引力场强度1.万有引力定律万有引力定律 万有引力定律描述质点间用力关系，在宏观引力场基础。万有引力常数也用万有引力定律描述质点间用力关系，在宏观引力场基础。万有引力常数也用 表式。表式。2.万有引力场万有引力场引力场对场中质量有力作用，描述场大小引入引力场强度引力场对场中质量有力作用，描述场大小引入引力场强度第2页，共22页，编辑于2022年，星期二多个质点多个质点连续质量线分布连续质量线分布连续质量面分布连续质量面分布连续质量体分布连续质量体分布第3页，共22页，编辑于2022年，星期二3.引力场基本性质引力场基本性质无旋性质无旋性质证明：证明：引力场为引力场为保守场，保守场，即即“场力做功与路径无关场力做功与路径无关”第4页，共22页，编辑于2022年，星期二 任意闭合曲面将点源包围在内，则闭合面通量为：任意闭合曲面将点源包围在内，则闭合面通量为：有源性质有源性质 证明：证明：立体角立体角如果电荷呈体分布则有：如果电荷呈体分布则有：证明：证明：证明还有另外方式证明还有另外方式P91P91第5页，共22页，编辑于2022年，星期二例例1 1 计算均质球壳的引力场强度计算均质球壳的引力场强度,球壳总质量为球壳总质量为M M，半径为，半径为a a解解 球内球内 球外球外例例2 2 计算均质球体的引力场强度计算均质球体的引力场强度,球体总质量为球体总质量为M M，半径为，半径为a a解解 球内球内 球外球外第6页，共22页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 引力位、引力位方程、边界条件引力位、引力位方程、边界条件1.引力位引力位 无旋场，必存在一个标量位满足：无旋场，必存在一个标量位满足：结结论论：引引力力线线指指向向引引力力位位增增长长最最快快的的方方向向。这这个个方方向向与与等等位位面面垂垂直直并并指指向质量的源点。向质量的源点。两点的引力位差：两点的引力位差：物理含义物理含义：引力位差为单位质量从：引力位差为单位质量从A A点到点到B B点时引力场所做的功。点时引力场所做的功。无无穷穷远远定定义义为为0 0位位时时，空空间间某某点点的的引引力力位位可可以以定定义义为为单单位位质质量量从从无无限限远远到到A A点点时引力场所做的功。时引力场所做的功。第7页，共22页，编辑于2022年，星期二引力位与质量（源）间关系公式：引力位与质量（源）间关系公式：多个质点多个质点连续质量线分布连续质量线分布连续质量面分布连续质量面分布连续质量体分布连续质量体分布注意注意：0 0位的选择在质量无限分布时，需要变通。位的选择在质量无限分布时，需要变通。第8页，共22页，编辑于2022年，星期二例例3 3 计算无限长质量直线的引力位计算无限长质量直线的引力位例例4 4 计算均质球壳的引力位计算均质球壳的引力位,球壳总质量为球壳总质量为M M，半径为，半径为a a例例5 5 计算均质球体的引力位计算均质球体的引力位,球体总质量为球体总质量为M M，半径为，半径为a a第9页，共22页，编辑于2022年，星期二2.引力位方程引力位方程在在有质量有质量分布区域内，分布区域内，推导：推导：在在无质量无质量分布区域内，分布区域内，结论结论：求场的过程可以先求引力位，再求引力场强度。具体有解析：求场的过程可以先求引力位，再求引力场强度。具体有解析解，数值解法解，数值解法泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第10页，共22页，编辑于2022年，星期二3.场边界条件场边界条件 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为的规律称为的边界条件边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。量的变化规律。a a 质量界面两侧，质量界面两侧，引力位连续引力位连续。b b 质量界面两侧，引力场强度质量界面两侧，引力场强度法向分量法向分量有突变。有突变。除上述边界的条件外，常用到定解条件：除上述边界的条件外，常用到定解条件：c c 质量界面两侧，引力场强度质量界面两侧，引力场强度切向分量切向分量连续。连续。r r无限远时，无限远时，u=0u=0。r r趋近于趋近于0 0，u u有限有限第11页，共22页，编辑于2022年，星期二4 4 引力场的唯一性定理引力场的唯一性定理 反证法反证法,求证思路求证思路:假定有两个势函数假定有两个势函数 满足泊松方程及其边界条件满足泊松方程及其边界条件,令令 ,则可证明则可证明 即即 则证明了则证明了 描述了同一个场描述了同一个场.引力位微分方程引力位微分方程考察方程考察方程只要证明上式左边等于只要证明上式左边等于0,即可证明即可证明 满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，这称为引力场的唯一性定理。满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，这称为引力场的唯一性定理。分两种情况分两种情况：1 已知表面引力位已知表面引力位 2 已知表面引力位法向导已知表面引力位法向导数数 第12页，共22页，编辑于2022年，星期二 结论结论：满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，或仅有一个长数之差。但是一：满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，或仅有一个长数之差。但是一旦确定了场中某点的引力位值后，这个常数便看唯一确定，因而各点的引力位是唯一旦确定了场中某点的引力位值后，这个常数便看唯一确定，因而各点的引力位是唯一性的。性的。第13页，共22页，编辑于2022年，星期二第三节第三节 狄里赫利问题，诺依曼问题狄里赫利问题，诺依曼问题1.Dirichlet(1.Dirichlet(狄里赫利问题狄里赫利问题):):整个边界上引力位已知整个边界上引力位已知2.Neumann(2.Neumann(诺依曼问题诺依曼问题):):整个边界上引力位法向导数已知整个边界上引力位法向导数已知3.3.混合边值问题混合边值问题1 1 格林定理格林定理可由高斯公式推导出可由高斯公式推导出第14页，共22页，编辑于2022年，星期二应用应用格林定理格林定理，可求出，可求出泊松方程泊松方程的通解为的通解为 对于无限大的自由空间，表面对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，引力位趋向无限远处，引力位 u与距离成反比，而与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，对无限远处的与距离平方成正比，所以，对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零表面，上式中的面积分为零。若若 V 为为无无源源区区，那那么么上上式式中中的的体体积积分分为为零零。因因此此，第第二二项项面面积积分分可可以以认认为为是是泊泊松松方方程程在在无无源源区区中中的的解解，或或者者认认为为是是拉拉普普拉拉斯斯方方程程以以格格林林函函数数表表示的积分解。示的积分解。2 2 泊松方程的积分式泊松方程的积分式第15页，共22页，编辑于2022年，星期二格林函数格林函数3 3 狄利赫利和诺依曼问题的解狄利赫利和诺依曼问题的解无源场引力位无源场引力位u为调和函数，若引入另一函数为调和函数，若引入另一函数v也是调和函数，即也是调和函数，即应用格林定理有应用格林定理有上式同乘上式同乘 与下式相加与下式相加 称为称为格林函数，格林函数，G为调和函数为调和函数得：得：第16页，共22页，编辑于2022年，星期二狄利赫利的解狄利赫利的解诺依曼问题的解诺依曼问题的解 例例6 通过地面的重力位测量，已知地面重力位通过地面的重力位测量，已知地面重力位求上半空间高度为求上半空间高度为z处处P点引力位。点引力位。例例7 已知地面重力场垂直分量已知地面重力场垂直分量求上半空间高度为求上半空间高度为z处处P点重力场强度垂直分量点重力场强度垂直分量第17页，共22页，编辑于2022年，星期二4 4 引力场的正、反演问题引力场的正、反演问题 正演问题正演问题指根据已知的场源分布或已知边界值，去求特定区指根据已知的场源分布或已知边界值，去求特定区域内的场值。域内的场值。重力场正演就是根据已知的质量分布或已知边界条件，去求引重力场正演就是根据已知的质量分布或已知边界条件，去求引力场强度空间分布。力场强度空间分布。反演问题反演问题指根据已知的场分布确定场源分布。指根据已知的场分布确定场源分布。重力场反演就是根据已知的重力场分布，然后据此推导出地下剩重力场反演就是根据已知的重力场分布，然后据此推导出地下剩余质量分布。余质量分布。反演问题反演问题的非唯一性。的非唯一性。第18页，共22页，编辑于2022年，星期二 方法方法1 直接积分法直接积分法例子例子8 水平地面以下深度为水平地面以下深度为h处有一长为处有一长为2l，半径为，半径为a，剩余质量为，剩余质量为M的均质水平圆柱体，当的均质水平圆柱体，当l远大于远大于a时，计算地面上中心剖面时，计算地面上中心剖面P（x，0，0）点的引力场强度。）点的引力场强度。引力场正演引力场正演方法方法2 通量定理法通量定理法方法方法4 数值解法数值解法方法方法3 解析解法解析解法例子例子9 计算无限大质量平面的引力势和引力场强度。计算无限大质量平面的引力势和引力场强度。例子例子10 计算体密度为计算体密度为m，半径为，半径为a的无限长均质圆柱体的引力势和引力场的无限长均质圆柱体的引力势和引力场强度。强度。第19页，共22页，编辑于2022年，星期二 方法方法1 利用泊松方程利用泊松方程例子例子11 已知全空间引力位为：已知全空间引力位为：试反演场源的质量分布，并计算总场源质量。试反演场源的质量分布，并计算总场源质量。引力场反演引力场反演方法方法2 通量计算通量计算 方法方法3 其他方法其他方法第20页，共22页，编辑于2022年，星期二5 5 地球重力场地球重力场1 地球的惯性力场地球的惯性力场2 重力场强度重力场强度 地球的惯性力场与引力场比较小很多，惯性力场地球的惯性力场与引力场比较小很多，惯性力场场强度为无旋场。场强度为无旋场。重力场强度为，引力场强度，与惯性力场强重力场强度为，引力场强度，与惯性力场强度的矢量和。度的矢量和。第21页，共22页，编辑于2022年，星期二3 重力位重力位4 重力异常重力异常 5 不同坐标系中的重力公式不同坐标系中的重力公式 无旋场可以引入势函数，即重力位，其值为引力位与惯无旋场可以引入势函数，即重力位，其值为引力位与惯性力位和。性力位和。较大地水准面之间的重力场差。较大地水准面之间的重力场差。形成异常的原因有：形成异常的原因有：a 地形地形b 高度差高度差c 物质结构不均匀物质结构不均匀d 局部物体（包括矿体，岩体，构造及人工埋藏物等），这是物探局部物体（包括矿体，岩体，构造及人工埋藏物等），这是物探工作者勘探目标工作者勘探目标 第22页，共22页，编辑于2022年，星期二