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等差数列求和公式等差数列求和公式本讲稿第一页，共十六页本讲稿第二页，共十六页10岁的高斯（德国）的算法：n n首项与末项的和：1+100=101n n第2项与倒数第2项的和：2+99=101n n第3项与倒数第3项的和：3+98=101n nn n第50项与倒数第50项的和：50+51=101n n101（1002）=5050一、引例：123100=？本讲稿第三页，共十六页二、学习新课二、学习新课等差数列前等差数列前n 项和项和Sn=.=an2+bna、b 为常数为常数Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 (2)(1)+(2)得得2Sn=n(a1+an)下一页下一页上一页上一页本讲稿第四页，共十六页设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，即，即n n Sn=a1+a2+ann n =a1+(a1+d)+a1+(n-1)dn n 又又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d二、公式的推导：n n2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)此种求此种求和法称和法称为为倒序倒序相加法相加法n个本讲稿第五页，共十六页思考：由上面的推导过程中，你能判定下式思考：由上面的推导过程中，你能判定下式 的关的关系：系：在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+an-1a3+an-2 am+an-m=本讲稿第六页，共十六页三、公式的应用：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的的Sn （1）a1=5,an=95,n=10 （2）a1=100,d=2,n=50 （3）a1=14.5,d=0.7,an=32S10=500S50=2550S26=604.5本讲稿第七页，共十六页例例1 1.等差数列等差数列10，6，2，2，前前 多少项和是多少项和是54?-10n+n(n-1)2 4=54解得解得:n=9，n=-3(舍舍)前前9项的和是项的和是54解：解：a1=-10,d=-6(-10)=4本讲稿第八页，共十六页练习：练习：（1）等差数列）等差数列5，4，3，2，前多少前多少 项的和项的和 是是30?（2）求等差数列）求等差数列13，15，17，81的各的各 项和项和15项项1645本讲稿第九页，共十六页例2.在小于100的正整数中共有多少个被3 除余2，这些数的和是多少？即有即有33个被个被3整除余整除余2的数，这些数为的数，这些数为:2，5，8，98 本讲稿第十页，共十六页练习：练习：求集合求集合M=m|m=7n,nN+,且且 m 100的的 元素个数，并求这些数的和元素个数，并求这些数的和本讲稿第十一页，共十六页课堂小结：课堂小结：1.会用两公式会用两公式2.若若d=0,an=a，则，则Sn=_ na3.推导公式（推导公式（1）的方法是用倒序相加法）的方法是用倒序相加法本讲稿第十二页，共十六页4.思考：若思考：若Sn=an2+bn，则，则an是等差数是等差数 列吗列吗?本讲稿第十三页，共十六页 例例2 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一形架的最下面一层放层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放放一支，最上面一层放120支支.这个这个V形架上共形架上共放着多少支铅笔？放着多少支铅笔？本讲稿第十四页，共十六页一、巩固与预习一、巩固与预习(P43-44)1.an为等差数列为等差数列 .，更一般的，更一般的，d=.2.a、b、c成等差数列成等差数列b为为a、c 的的 .an+1-an=d2an+1=an+2+anan=a1+(n-1)dan=an+ba、b为常数为常数an=am+(n-m)d等差中项等差中项2b=a+c本讲稿第十五页，共十六页3.3.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 前前100100个自然数的和：个自然数的和：1+2+3+1+2+3+100=+100=；前前n n个奇数的和：个奇数的和：1+3+5+1+3+5+(2+(2n n-1)=-1)=；前前n n个偶数的和：个偶数的和：2+4+6+2+4+6+2+2n n=.思考题：如何求下列和？思考题：如何求下列和？n2n(n+1)=下一页下一页本讲稿第十六页，共十六页