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结构力学弹性力学部分本讲稿第一页，共八十页结构力学教程结构力学教程 一、一、弹性力学基础 弹性力学是固体力学的一个分支学科，它研究弹性力学是固体力学的一个分支学科，它研究弹性体在外力和弹性体在外力和 其它外部因素作用下所产生其它外部因素作用下所产生的变形和内力。的变形和内力。二、结构力学 结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构(杆系结构、薄壁结构等杆系结构、薄壁结构等)在外力和其它外部因在外力和其它外部因素作用下所产生的变形和内力。素作用下所产生的变形和内力。结 构 力 学本讲稿第二页，共八十页三、研究方法对比三、研究方法对比结构力学教程结构力学教程 l数学方法数学方法位移法位移法应力法应力法应变函数法等应变函数法等l工程方法工程方法力法力法l静定结构静定结构l静不定结构静不定结构位移法等位移法等结 构 力 学本讲稿第三页，共八十页l 基本假定基本假定 基本方法基本方法 基本概念基本概念 基本方程基本方程 基本解法基本解法 基本问题基本问题l 能量原理能量原理本讲稿第四页，共八十页1、研究内容研究内容研究对象：研究对象：材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。弹性力学研究的对象则没有形状的限制。弹性力学研究的对象则没有形状的限制。第一章第一章 弹性力学础弹性力学础 第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 第一节第一节 引引 言言 本讲稿第五页，共八十页1 1、研究内容、研究内容研究方法：研究方法：材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关于变材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关于变形状态或应力分布的补充假设形状态或应力分布的补充假设。弹性力学并不需要引进这样的假设。弹性力学并不需要引进这样的假设。例如例如 第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也比材料弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也比材料力学精确。力学精确。第一章第一章 弹性力学础弹性力学础 第一节第一节 引引 言言 本讲稿第六页，共八十页连续性假设连续性假设 认为构成物体的材料是密实无间隙认为构成物体的材料是密实无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应变、位移等物的连续介质。因此，物体中的应力、应变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数学上可以用连续函数理量就可以看成是连续的，在数学上可以用连续函数来表示。来表示。第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l材料的材料的匀匀质和各向同性假设质和各向同性假设 匀质指物体内各匀质指物体内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间位置无处材料的力学性质都相同，与各点的空间位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料在各个方关。各向同性指在物体内任一点处材料在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这些物理性质向的物理性质都相同。因此，反映这些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。的弹性系数不随坐标和方向而改变。2、弹性力学的基本假设、弹性力学的基本假设 本讲稿第七页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2 2、弹性力学的基本假设、弹性力学的基本假设 l完全弹性假设完全弹性假设 假设材料是完全弹性的，且服从虎假设材料是完全弹性的，且服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除去外力后，物体克定律定律，物体在外力作用下变形，除去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变形。同时应力与应变成正完全恢复原状，没有任何剩余变形。同时应力与应变成正比。比。l小变形假设小变形假设 假设物体在外力作用下引起变形而假设物体在外力作用下引起变形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很微小的。产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时，可不考虑物这样，在研究物体受力后的平衡状态时，可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，这样就使得弹体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。性力学的微分方程成为线性的。本讲稿第八页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l外力外力 作用在物体上的外力可分为体力和面力。作用在物体上的外力可分为体力和面力。体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯 性力等。大小的表示、方向的表示、性力等。大小的表示、方向的表示、量纲量纲 为为 力力 长度长度 3 3。面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接 触力等。大小的表示、方向的表示、触力等。大小的表示、方向的表示、量纲量纲 为为 力力长度长度 2 2。3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 l应力应力 物体受到外力作用会在其内部引起应力物体受到外力作用会在其内部引起应力。本讲稿第九页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l应应变变弹性体受力后，它是形状和尺寸都要改变，这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 l各线段每单位长度的伸、缩称为正应变正应变，用表示。l每两线段之间直角的改变称为剪应变剪应变，用表示。本讲稿第十页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l位位移移 物体受力后，它内部各点将发生位置的移动。物体内任一点的位移用它在x、y、z三坐标轴上的投影u、v、w来表示，沿坐标轴正方向为正，反之为负。这三个投影称为该点的位移分量。3、弹性力学中基本概念弹性力学中基本概念 一一般般而而言言，弹弹性性体体内内任任意意点点的的体体力力分分量量、面面力力分分量量、应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都是是随随点点的的位位置置不不同同而而改改变变的的，因因而而，都是点位置坐标的连续函数。都是点位置坐标的连续函数。以以下下的的问问题题：就就是是寻寻求求体体力力分分量量、面面力力分分量量、应应力力分分量量、应应变变分量和位移分量四类分量之间的关系。分量和位移分量四类分量之间的关系。本讲稿第十一页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 现在的问题现在的问题 就就是是寻寻求求体体力力分分量量、面面力力分分量量、应应力力分分量量、应应变分量和位移分量四类分量之间的关系。变分量和位移分量四类分量之间的关系。本讲稿第十二页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 l材料力学：采用截面法。材料力学：采用截面法。l弹性力学：采用微元体法。弹性力学：采用微元体法。4、弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 l平衡方程平衡方程 外力应力l几何方程几何方程 位移应变l物理方程物理方程 应力应变本讲稿第十三页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 平平平平衡衡衡衡微微微微分分分分方方方方程程程程第二节第二节 基基 本本 方方 程程 力力力力矩矩矩矩平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程本讲稿第十四页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 平衡微分方程平衡微分方程本讲稿第十五页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2.1、几何方程、几何方程 正应变正应变剪应变剪应变本讲稿第十六页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2.2、刚体位移和位移边界条件、刚体位移和位移边界条件 当当物物体体的的位位移移分分量量给给定定时时，应应变变分分量量就就完完全全确确定定了。了。反反过过来来，当当应应变变量量给给定定时时，位位移移分分量量却却不不能能完完全确定。全确定。平面刚体位移平面刚体位移：以以xoy投影面内投影面内PAB位移位移为例。令其应变分量为为例。令其应变分量为零来求出相应的位移分零来求出相应的位移分量量 本讲稿第十七页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2、几何方程和变形协调方程、几何方程和变形协调方程 2.1、几何方程、几何方程 几几何何方方程程:研研究究应应变变分分量量和和位位移移分分量量之之间间的关系的关系.在在外外力力作作用用下下，弹弹性性体体发发生生变变形形。弹弹性性体体中中任任一一点点P P0 0，变变形形后后移移到到了了点点P P1 1，矢矢量量就就是是点点P P0 0的的位位移移，它它在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影分分别别用用u u、v v、w w表表示示，它它们们都都是坐标的函数，见右图是坐标的函数，见右图 本讲稿第十八页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2.3、变形协调方程、变形协调方程 由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形后仍是连续的。本讲稿第十九页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2.3、变形协调方程、变形协调方程 本讲稿第二十页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 3、物理方程、物理方程 前前面面导导出出了了平平衡衡微微分分方方程程和和几几何何方方程程，适适用用于于任任何何弹弹性性体体，与与物物体体的的物物理理性性质质无无关关。但但仅仅有有这这两两组组方方程程还还不不能能求求解解，还还必必须须考考虑虑物物理理学学方方面面，建建立立起起应应变变分分量与应力分量之间的关系，这些关系式称为量与应力分量之间的关系，这些关系式称为物理方程物理方程。本讲稿第二十一页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 3、物理方程、物理方程 对对于于各各向向同同性性弹弹性性体体，可可以以证证明明仅仅有有两两个个独独立立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的关系如下：的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的关系如下：右右式式也也称称广广义义虎虎克克定定律律。式式中中E E为为材材料料拉拉压压弹弹性性模模量量，为为泊泊松松比比，G G为为剪剪切切弹弹性性模模量量，而而且且三三者者之之间间如如下下式：式：本讲稿第二十二页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 3、物理方程、物理方程 以以应应力力分分量量来来表表示示应应变变分分量量的的，若若用用应应变变分量来表示应力分量，其物理方程为分量来表示应力分量，其物理方程为 本讲稿第二十三页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 3 3、应力边界条件和圣维南原理、应力边界条件和圣维南原理 边边界界条条件件圣维南原理圣维南原理 位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件 如如果果把把作作用用在在物物体体的的一一小小部部分分边边界界上上的的力力系系，用用一一个个分分布布不不同同但但静静力力等等效效的的力力系系（主主矢矢量量相相同同，对对同同一一点点的的主主矩矩也也相相同同）代代替替，则则仅仅在在此此边边界界附附近近的的应应力力分分布布有有显显著著的的改改变变，而而在在距距该该区区域域较较远远的的地地方方几几乎没有影响。乎没有影响。本讲稿第二十四页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 基基本本方方程程小小结结本讲稿第二十五页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 第三节第三节 平平 面面 问问 题题 1、平面应力、平面应力和和平面应变平面应变问题问题 平面应力问题平面应变问题几何特点厚度远小于板的长度和宽度 纵向尺寸远大于横向尺寸 受力特点面力、体力平行于板平面且沿板厚均匀分布面力垂直纵向且沿长度不变，约束条件沿长度也变应力、应变特点只有面内应力分量x、y、xy存在，应变z和位移w不为零 只有面内应变分量x、y、xy存在，应力z不为零本讲稿第二十六页，共八十页2、平面问题的基本方程、平面问题的基本方程 （推导推导）（简化（简化25）第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 平衡方程平衡方程 力边界力边界 位移边界位移边界 几何方程几何方程 变形协调方程变形协调方程 本讲稿第二十七页，共八十页平面问题的物理方程平面问题的物理方程第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 平平面面应应力力平平面面应应变变本讲稿第二十八页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法位移法位移法:以位移分量以位移分量u和和v作为基本未知函数，利用几作为基本未知函数，利用几何方程和物理方程，将应力分量用位移分量何方程和物理方程，将应力分量用位移分量来表示，代入平衡微分方程、应力边界条件，来表示，代入平衡微分方程、应力边界条件，就得到以位移分量为未知函数的定解方程、就得到以位移分量为未知函数的定解方程、以及力边界条件。以及力边界条件。位移法、应力法、以及应力函数法位移法、应力法、以及应力函数法本讲稿第二十九页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法应力法应力法：以应力分量作为基本未知量，利用平衡以应力分量作为基本未知量，利用平衡微分方程和变形协调方程可共同确定这三个未微分方程和变形协调方程可共同确定这三个未知函数。在这三个方程中，两个平衡方程本来知函数。在这三个方程中，两个平衡方程本来就是用应力分量表示的，尚需将应变分量表示就是用应力分量表示的，尚需将应变分量表示的变形协调方程改为用应力分量表示，得到所的变形协调方程改为用应力分量表示，得到所需的第三个方程。需的第三个方程。位移法、应力法、以及应力函数法位移法、应力法、以及应力函数法本讲稿第三十页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 2、平面问题的基本解法、平面问题的基本解法应力函数法应力函数法:位移法、应力法、以及应力函数法位移法、应力法、以及应力函数法逆解法逆解法 、半逆解法、半逆解法 本讲稿第三十一页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 1.4 1.4 用直角坐标解平面问题用直角坐标解平面问题 一、多项式的应力函数一、多项式的应力函数:假设体力不计，即假设体力不计，即X=Y=0X=Y=0 1 1、一次式：一次式：2 2、二次式：二次式：3 3、三次式三次式：4 4、四次式或四次以上多项式应力函数四次式或四次以上多项式应力函数 ：本讲稿第三十二页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 有一矩形截面的简支梁，长度为有一矩形截面的简支梁，长度为2 2l l，高度为，高度为h h，宽，宽度取度取1 1，略去体力，受均布载荷，略去体力，受均布载荷q q作用（如下图）。试求作用（如下图）。试求梁的应力、应变和位移分量。梁的应力、应变和位移分量。二、承受均布载荷简支梁的弯曲二、承受均布载荷简支梁的弯曲 解解 本讲稿第三十三页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 一、极坐标中平面问题的基本方程一、极坐标中平面问题的基本方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 平衡方程平衡方程 本讲稿第三十四页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 几何方程几何方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 径径向向位位移移环环向向位位移移本讲稿第三十五页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 几何方程几何方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 物理方程物理方程 本讲稿第三十六页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 二、极坐标下的应力函数和变形协调方程二、极坐标下的应力函数和变形协调方程 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 常（无）体力情况下常（无）体力情况下 本讲稿第三十七页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 三、应力与极角无关的问题三、应力与极角无关的问题 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 有些问题应力的分布对称于通过坐标原点o并垂直xoy平面的z轴，在这种情况下，应力与极角无关，而仅是r的函数，且由于轴对称，剪应力r=0，只有正应力r和。因此，应力函数也与极角无关，只是径向坐标的函数。本讲稿第三十八页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 三、应力与极角无关的问题三、应力与极角无关的问题 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 无无孔孔无无体体力力，唯唯一一可可能能的的应应力力是是均均匀匀受受拉拉或或均均匀匀受受压压；有有孔孔则则有有其其他他解答。解答。本讲稿第三十九页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 图1-19边界条件为边界条件为:在在r r=a a处，处，r r =q qa a,r r=0=0在在r r=b b处，处，r r =q qb b,r r=0=0本讲稿第四十页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 1 1、圆筒只受外压、圆筒只受外压 本讲稿第四十一页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 四、承受均匀压力的厚壁圆筒四、承受均匀压力的厚壁圆筒 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 2 2、圆筒只受内压、圆筒只受内压 本讲稿第四十二页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 五、孔边的应力集中五、孔边的应力集中 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 本讲稿第四十三页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 五、孔边的应力集中五、孔边的应力集中 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 应力解为应力解为:孔孔边边各各点点处处应应力力分分量量r r和和r r均均为为零零,的的分分布布规规律律为为:Y:X:本讲稿第四十四页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 六、等厚度旋转圆盘中的应力六、等厚度旋转圆盘中的应力 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 由由于于圆圆盘盘本本身身和和受受到到的的离离心心力力都都对对称称于于圆圆盘盘的的旋旋转转轴轴，故故为为轴轴对对称称平平面面应应力力问问题题。不不过过和和前前面面不不同同的的是是，体体力力不不等等于于零零，而而是是离离心心力力。因因轴轴对对称称，应应力力、应应变变和和位位移移都都与与极极角角无无关关，只只是是r r的的函函数数。而而平平衡衡微微分分方方程程变成如下单个方程，第二式自行满足。变成如下单个方程，第二式自行满足。本讲稿第四十五页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 六、等厚度旋转圆盘中的应力六、等厚度旋转圆盘中的应力 1.5 1.5 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 实实心心圆圆盘盘空空心心圆圆盘盘本讲稿第四十六页，共八十页第一章：弹性力学基础第一章：弹性力学基础 1 1、四个基本假定、四个基本假定 小结小结 2 2、三类基本方程、三类基本方程 3 3、两类边界条件、两类边界条件 4 4、两种平面问题、两种平面问题5 5、三种基本解法、三种基本解法 6 6、用直角坐标解平面问题、用直角坐标解平面问题 7 7、用极坐标解平面问题、用极坐标解平面问题 连续性假定连续性假定均匀各向同性假定均匀各向同性假定小变形假定小变形假定完全弹性假定完全弹性假定 平衡微分方程平衡微分方程几何方程、变形协调条件几何方程、变形协调条件物理方程物理方程力边界条件力边界条件位移边界条件位移边界条件平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题位移法位移法应力法应力法应力函数法应力函数法受均布载荷简支梁的弯曲受均布载荷简支梁的弯曲 三个例子三个例子 本讲稿第四十七页，共八十页Thank you very much!本讲稿第四十八页，共八十页本讲稿第四十九页，共八十页材料力学解解弹性力学解例例1本讲稿第五十页，共八十页例例2本讲稿第五十一页，共八十页平衡微分方程的推导平衡微分方程的推导 本讲稿第五十二页，共八十页平平平平 衡衡衡衡 微微微微 分分分分 方方方方 程程程程本讲稿第五十三页，共八十页力矩平衡方程的推导力矩平衡方程的推导 本讲稿第五十四页，共八十页剪应变推导剪应变推导本讲稿第五十五页，共八十页平面刚体位移的推导平面刚体位移的推导本讲稿第五十六页，共八十页平面刚体位移的推导平面刚体位移的推导 对对于于一一般般的的三三维维弹弹性性体体，如如果果令令其其六六个个应应变变分分量量均均为为零零，采采用用与与上上述述类类似似的的方方法法，可可求求出出体体内内各各点点的的位位移移分分量量，下下式式中中u u0 0、v v0 0、w w0 0分分别别为为弹弹性性体体沿沿x x、y y、z z三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的刚刚体体平平动动，x x、y y、z z分分别别为为弹弹性性体体绕绕x x、y y、z z三个坐标轴的刚体转动。三个坐标轴的刚体转动。本讲稿第五十七页，共八十页应应力力边边界界条条件件的的推推导导 本讲稿第五十八页，共八十页应应力力边边界界条条件件的的推推导导 本讲稿第五十九页，共八十页圣维南原理应用圣维南原理应用举例举例 圣圣维维南南原原理理虽虽然然至至今今还还没没有有得得到到确确切切的的数数学学表表示示和和严严格格的的理理论论证证明明，但但是是，大大量量的的实实际际计计算算和和实实验验结结果果都都证证实实了了该该原原理理是正确的。是正确的。本讲稿第六十页，共八十页平平 面面 应应 力力 问问 题题 只有面内应力分量x、y、xy存在，并且由于板很薄，只是坐标x、y的函数，而与坐标z无关。但应变z和位移w不为零。本讲稿第六十一页，共八十页平平 面面 应应 变变 问问 题题 柱柱形形体体无无限限长长任任一一横横截截面面皆皆为为对对称称面面，即即w w=0 0、z z=0=0。由由对对称称条条件件知知zxzx和和yzyz也也为为零零。故故只只有有平平行行于于xoyxoy坐坐标标平平面面的的三个应变分量三个应变分量x x、y y和和xyxy。但应力但应力z z一般不为零。一般不为零。本讲稿第六十二页，共八十页平面问题的平衡方程的推导平面问题的平衡方程的推导本讲稿第六十三页，共八十页位移法位移法本讲稿第六十四页，共八十页应力法应力法平面应力：将物理方程变形协调方程平面应力：将物理方程变形协调方程由平衡微分方程消去上式中的由平衡微分方程消去上式中的xyxy本讲稿第六十五页，共八十页 在在一一般般情情况况下下，平平面面应应力力问问题题归归结结为为联联立立求求解解平平衡衡方方程程（1-71-7）和和变变形形协协调调方方程程（f f）；平平面面应应变变问问题题则则是是求求解解平平衡衡方方程程（1-71-7）和和变变形形协协调调方方程程（g g）。）。当当体体力力为为常常值值时时，两两类类平平面面问问题题统统一一于于求求解解平平衡衡方方程程（1-71-7）和和变变形形协调方程（协调方程（1-131-13）。并使所得的解答满足应力边界条件（）。并使所得的解答满足应力边界条件（1-81-8）。）。用用应应力力法法求求解解常常体体力力的的弹弹性性力力学学平平面面问问题题时时，所所用用的的平平衡衡方方程程、变变形形协协调调方方程程和和边边界界条条件件都都不不含含有有反反映映材材料料性性质质的的弹弹性性常常数数，因因而而在在解解答答中中也也不不含含有有弹弹性性常常数数。这这表表明明，平平面面问问题题的的应应用用分分量量x x、y y和和xyxy与与弹弹性性体体的的材材料料无无关关。这这在在进进行行平平面面问问题题的的模模型型试试验验时时，利利用用透透明明材材料料代代替替物物体体原原来来的的材材料料制制作作模模型型，用用偏偏振振光光测测应应力力，就就是是以以上上述述结结论论为为根据的。根据的。应力法应力法本讲稿第六十六页，共八十页应力函数法应力函数法 特解：特解：通解：通解：本讲稿第六十七页，共八十页应力函数法应力函数法 应应力力函函数数法法求求解解：求求解解应应力力函函数数表表示示的的变变形形协协调方程。调方程。本讲稿第六十八页，共八十页2 2、二次式二次式：应应力力分分量量x x=0=0、y y=2=2a a,xyxy=0=0。对对应应矩矩形形板板在在y y方方向受均布拉压载荷的问题（图（向受均布拉压载荷的问题（图（a a）应应力力分分量量为为x x=0=0、y y=0,=0,xyxy=xxxx=b b。对对应应矩矩形形板应力均布剪力的问题（图（板应力均布剪力的问题（图（b b）应应力力分分量量为为x x=2c=2c、y y=0,=0,xyxy=0=0。对对应应矩矩形形板板在在x x方向受均布拉压问题（图方向受均布拉压问题（图1-121-12（c c）本讲稿第六十九页，共八十页3 3、三次式三次式 本讲稿第七十页，共八十页1 1应力函数的选取：假定不随应力函数的选取：假定不随x x而变，仅是而变，仅是y y的函数。即的函数。即 代入双调和方程代入双调和方程本讲稿第七十一页，共八十页前两式积分：前两式积分：代入第三式：代入第三式：得到应力函数：得到应力函数：本讲稿第七十二页，共八十页得到应力分量：得到应力分量：应用边界条件前，先用对称条件：应用边界条件前，先用对称条件：对于对于y y任意值任意值应用边界条件：应用边界条件：在在y y=h h/2/2处，处，y y=0=0，yxyx=0=0 在在y y=h h/2/2处，处，y y=q q，yxyx=0=0 本讲稿第七十三页，共八十页代入，得代入，得本讲稿第七十四页，共八十页2 2、得到应力：、得到应力：本讲稿第七十五页，共八十页 第二项是修正项，随跨度的增加而减小。当第二项是修正项，随跨度的增加而减小。当h/lh/l=0.5=0.5，即梁的跨度是截面高度的四倍时，修正项只，即梁的跨度是截面高度的四倍时，修正项只达主要项的达主要项的1.67%1.67%。本讲稿第七十六页，共八十页3 3位移分量的确定位移分量的确定 由对称性，即x=0处，u=0；由端部条件，即x=l、y=0处，v=0。本讲稿第七十七页，共八十页3 3位移分量的确定位移分量的确定 最大挠度发生在梁跨度中点处最大挠度发生在梁跨度中点处 第第一一项项与与材材料料力力学学解解答答相相同同，第第二二项项则则代代表表弹弹性性力力学学提提出出的的修修正正项项。随随着着l l/h h的的增增大大，第第二二项项的的影影响响愈愈来来愈愈小。小。本讲稿第七十八页，共八十页只只有有向向位位移移本讲稿第七十九页，共八十页只只有有环环位位移移本讲稿第八十页，共八十页