第六章方程求根PPT讲稿.ppt

第六章方程求根第1页，共85页，编辑于2022年，星期三如果如果f(x)可以分解成可以分解成 其其中中m为为正正整整数数且且 则则称称x*是是f(x)的的m重重零零点点,或或方方程程f(x)=0的的m重根重根.若若f(x)存在存在m阶导数阶导数,则是方程则是方程f(x)的的m重根重根(m1)当且仅当当且仅当当当m=1时称时称x*为为单根单根.零点或根的重数零点或根的重数第2页，共85页，编辑于2022年，星期三 当当f(x)不是不是x的线性函数时的线性函数时,称对应的函数方程为称对应的函数方程为非线性非线性方程方程.如果如果f(x)是多项式函数是多项式函数,则称为则称为代数方程代数方程,若若f(x)是是三三角函数、指数函数、对数函数等角函数、指数函数、对数函数等,称为称为超越方程超越方程.一般称一般称n次多项式构成的方程次多项式构成的方程 为为n次代数方程次代数方程,当当n1 1时时,方程显然是非线性的方程显然是非线性的 一般稍微复杂的一般稍微复杂的3 3次以上的代数方程或超越方程次以上的代数方程或超越方程,很难甚很难甚至无法求得精确解至无法求得精确解.第3页，共85页，编辑于2022年，星期三记笔记记笔记 本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法数值解法区间法区间法迭代法迭代法Newton法法弦截法弦截法抛物线法抛物线法.逐步搜索法逐步搜索法二分法二分法.第4页，共85页，编辑于2022年，星期三 通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行 判定根的存在性判定根的存在性判定根的存在性判定根的存在性.即方程有没有根？如果有即方程有没有根？如果有即方程有没有根？如果有即方程有没有根？如果有 根根根根,有几个根？有几个根？有几个根？有几个根？确定根的分布范围确定根的分布范围.即将每一个根用区间隔即将每一个根用区间隔 离开来离开来离开来离开来,这个过程实际上是获得方程各根的这个过程实际上是获得方程各根的这个过程实际上是获得方程各根的这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值初始近似值.根的精确化根的精确化根的精确化根的精确化.将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化逐步精确化逐步精确化逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止直到满足预先要求的精度为止 第5页，共85页，编辑于2022年，星期三w本章介绍本章介绍方程求根的数值解法方程求根的数值解法,它既可以用来求解它既可以用来求解代数方程代数方程,也可以用来解超越方程也可以用来解超越方程,并且仅限于求方并且仅限于求方程的程的实根实根.w运用运用迭代迭代迭代迭代解方程的根应解决以下两个问题解方程的根应解决以下两个问题：n确定根的初值确定根的初值;n将进一步精确化到所需要的精度将进一步精确化到所需要的精度.记笔记记笔记第6页，共85页，编辑于2022年，星期三6.1.1 逐步搜索法逐步搜索法 为明确起见，不妨假定为明确起见，不妨假定f(a)0.从有根区间从有根区间a,b的左端的的左端的x0=a出发，按照某个预定的出发，按照某个预定的步长步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索搜索”，即检查节点，即检查节点xk=a+kh上的函数值上的函数值f(xk)的符号，一旦发现的符号，一旦发现f(xk)与与f(a)异号异号,则可以确定一个缩小了的有根区间则可以确定一个缩小了的有根区间xk-1,xk,其宽度等于预定的步长其宽度等于预定的步长h第7页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.1 方程方程f(x)=x3-x-1=0,确定其有根区间确定其有根区间.xf(x)0 0.5 1.0 1.50 0.5 1.0 1.5 +可以看出可以看出,在在1.0,1.5内必有一根内必有一根.解：不难发现解：不难发现f(0)0,知知f(x)在在区间区间(0,2)内至内至有一个实根有一个实根 设从设从x=0出发出发,取取h=0.5为步长向右进行根的为步长向右进行根的 搜索搜索,列表如下列表如下第8页，共85页，编辑于2022年，星期三w 用逐步搜索法的关键是选取步长用逐步搜索法的关键是选取步长hw 只要只要h取得足够小取得足够小,利用此法可以得到具有任意精度的利用此法可以得到具有任意精度的近似根近似根.w 相应的相应的,所需要的搜索步数增多，计算量增大所需要的搜索步数增多，计算量增大 第9页，共85页，编辑于2022年，星期三6.1.2 二分法二分法 二分法又称二分区间法二分法又称二分区间法,是求解方程是求解方程(6.1)的近似根的一的近似根的一种常用的简单方法种常用的简单方法.二分法的基本思想二分法的基本思想:首先确定有根区间首先确定有根区间,将区间二等分将区间二等分,通过判断通过判断f(x)的符号的符号,逐步将有根区间缩小逐步将有根区间缩小,直至有根区直至有根区间足够地小间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根便可求出满足精度要求的近似根.第10页，共85页，编辑于2022年，星期三 取有根区间取有根区间a,b的中点的中点 将区间分为两个小将区间分为两个小区间区间,然后在然后在a,x0和和x0,b中中确定新的有根区间，记其确定新的有根区间，记其为为a1,b1求根过程求根过程第11页，共85页，编辑于2022年，星期三 对压缩了的有根区间对压缩了的有根区间 施行同样的手法施行同样的手法,即取中点即取中点 ,将区间将区间 再分为两半再分为两半,然然 后再确定有根区间后再确定有根区间 ,其长度是其长度是 的的 二分之一二分之一 如此反复下去如此反复下去,若不出现若不出现 ,即可得出一即可得出一 系列有根区间序列：系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半上述每个区间都是前一个区间的一半,因此因此 的长度的长度 当当k时趋于零时趋于零,这些区间最终收敛于一点这些区间最终收敛于一点x*即为即为 所求的根所求的根.第12页，共85页，编辑于2022年，星期三每次二分后每次二分后,取有根区间取有根区间 的中点的中点作为根的近似值作为根的近似值,得到一个近似根的序列得到一个近似根的序列 该序列以根该序列以根x*为极限为极限 只要二分足够多次只要二分足够多次(即即k足够大足够大),便有便有这里这里为给定精度为给定精度,由于由于 ,则则 (6.2)第13页，共85页，编辑于2022年，星期三当给定精度当给定精度0 0后后,要想要想 成立成立,只要只要取取k满足满足 即可即可,亦即当亦即当:时时,计算得到的计算得到的 就是满足精度要求的近似根就是满足精度要求的近似根.在程序中通常用相邻的在程序中通常用相邻的 与与 的差的绝对的差的绝对值或值或 与与 的差的绝对值是否小于的差的绝对值是否小于来决定来决定二分区间的次数二分区间的次数.第14页，共85页，编辑于2022年，星期三 二二分分法法算算法法实实现现第15页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.2求求方程方程f(x)=x3-x-1=0在区间在区间1.0,1.5内内 的一的一 个实根个实根,使误差不超过使误差不超过0.510-2.第16页，共85页，编辑于2022年，星期三且且f(x)在在2,3上连续上连续,故方程故方程f(x)=0在在2,3内内至少有至少有一个根一个根.证明证明 令令 由由例例6.3 证明方程证明方程 在区间在区间2,3内有一个根内有一个根,使用二分法求误差不超过使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二的根要二 分多少次？分多少次？又又 当当 时时故故f(x)在在2,3上是单调递增函数上是单调递增函数,从而从而f(x)在在2,3上有且仅有一根上有且仅有一根.第17页，共85页，编辑于2022年，星期三 误差限为误差限为 只要取只要取k满足满足 即可即可,亦即亦即 所以需二分所以需二分1010次便可达到要求次便可达到要求.给定误差限给定误差限 0.510-3,使用二分法时使用二分法时第18页，共85页，编辑于2022年，星期三二分法的优点是不管有根区间二分法的优点是不管有根区间 多大多大,总能求出满总能求出满足精度要求的根足精度要求的根,且对函数且对函数f(x)的要求不高的要求不高,只要连续即可只要连续即可,计计算亦简单算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的它的局限性是只能用于求函数的实根实根,不能用于求复根不能用于求复根及重根及重根,它的收敛速度与比值为它的收敛速度与比值为 的等比级数相同的等比级数相同.第19页，共85页，编辑于2022年，星期三6.2 迭代法迭代法6.2.1 迭代法过程的收敛性迭代法过程的收敛性 为求解非线性方程为求解非线性方程f(x)=0的根的根,先将其写成便于迭代的先将其写成便于迭代的等价方程等价方程 (6.3)其中其中 为为x的连续函数的连续函数.即即第20页，共85页，编辑于2022年，星期三 任取一个初值任取一个初值 代入式代入式 的右端的右端,得到得到 再将再将 代入式代入式 的右端的右端,得到得到式式(6.3)称为求解非线性方程的称为求解非线性方程的简单迭代法简单迭代法,称称 为为迭代迭代函数函数.(6.4)依此类推依此类推,得到一个数列得到一个数列如果由迭代格式如果由迭代格式 产生的序列产生的序列 收敛收敛,即即 则称迭代法收敛则称迭代法收敛.此时此时x*就是方程就是方程f(x)=0的根的根.第21页，共85页，编辑于2022年，星期三迭代法的几何意义迭代法的几何意义 通常将方程通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程化为与它同解的方程的方法不止一种的方法不止一种,有的收敛有的收敛,有的不收敛有的不收敛,这取决于这取决于 的性的性态态,方程方程 的求根问题在几何上就是确定曲线的求根问题在几何上就是确定曲线y=与直线与直线y=x的交点的交点P*的横坐标的横坐标(下图所示下图所示)(a)(b)第22页，共85页，编辑于2022年，星期三第23页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.4 用迭代法求方程用迭代法求方程 在在x=1.5附近的一个根附近的一个根解解 将方程改写成如下两种等价形式将方程改写成如下两种等价形式 相应地可得到两个迭代公式相应地可得到两个迭代公式如果取初始值如果取初始值 1.51.5,用上述两个迭代公式分用上述两个迭代公式分别迭代别迭代,计算结果计算结果第24页，共85页，编辑于2022年，星期三kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.32472收敛！发散！第25页，共85页，编辑于2022年，星期三迭代法收敛的条件迭代法收敛的条件 对方程对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式可以构造不同的迭代公式,但迭代公式但迭代公式并非总是收敛并非总是收敛.那么那么,当迭代函数当迭代函数 满足什么条件时满足什么条件时,相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时,我们也我们也不可能不可能迭代很多次迭代很多次,而是迭代有限次后就停止而是迭代有限次后就停止,这就需要估计迭这就需要估计迭代值的误差代值的误差,以便适时终止迭代以便适时终止迭代.第26页，共85页，编辑于2022年，星期三定理定理6.1 假定假定函数函数 在在a,b上具有连续的一阶导上具有连续的一阶导数数,且满足下列两项条件：且满足下列两项条件：对任意的对任意的xa,b 有有 a,b，存在存在 0 L 1,使所有的使所有的xa,b,有有 L1则方程则方程 在在a,b上的解上的解 存在且唯一存在且唯一,且对任意的且对任意的 a,b,迭代过程迭代过程 均收敛于均收敛于 .并有误差并有误差估计式估计式(6.5)(6.6)第27页，共85页，编辑于2022年，星期三定定理理6.1 假假定定函函数数 在在a,b上上连连续续，且且满满足足下下列列两两项项条件：条件：对任意的对任意的xa,b 有有 a,b，存在存在 0 L 1,使所有的使所有的 a,b,有有则方程则方程 在在a,b上的解上的解 存在且唯一存在且唯一,且对任意且对任意的的 a,b,迭代过程迭代过程 均收敛于均收敛于 .并有误差并有误差估计式估计式(6.5)(6.6)第28页，共85页，编辑于2022年，星期三 实际计算中当然不可能无穷多步地做下去实际计算中当然不可能无穷多步地做下去,由由(6.5)时结束迭代并取时结束迭代并取 预先给定精度要求预先给定精度要求,当当第29页，共85页，编辑于2022年，星期三迭迭代代法法的的算算法法框框图图第30页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.5 对方程对方程 ,构造收敛的迭代格式构造收敛的迭代格式,求其一个正根求其一个正根,计算过程保留计算过程保留4位小数位小数.解解 容易判断容易判断1,2是方程的有根区间是方程的有根区间,且在此区间且在此区间 内内 ,所以此方程在区间所以此方程在区间1,2有有 且仅有一根且仅有一根.将原方程改写成以下两种等价形式将原方程改写成以下两种等价形式.,即即 不满足收敛条件不满足收敛条件.,即即 此时迭代公式满足迭代收敛条件此时迭代公式满足迭代收敛条件.第31页，共85页，编辑于2022年，星期三局部收敛性局部收敛性 在实际应用迭代法时，通常在所求的根在实际应用迭代法时，通常在所求的根x*的邻近进行考的邻近进行考察，即研究其察，即研究其局部收敛性局部收敛性.定义定义6.1 若存在若存在x*的某个领域的某个领域 使迭代过使迭代过程程 对于任意初值对于任意初值 均收敛，则称均收敛，则称迭代过程迭代过程 在根在根x*邻近具有邻近具有局部收敛性局部收敛性.定理定理6.2 设设x*为方程为方程 的根的根,在在x*的邻近有的邻近有连续的一阶导数连续的一阶导数,且且 则迭代过程则迭代过程 在在x*邻近邻近具有局部收敛性具有局部收敛性.第32页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.6 求方程求方程x=e-x在在x=0.5=0.5附近的一个根附近的一个根,要求精度要求精度=10-5.解：解：对对x=0.5以以h=0.1=0.1为步长搜索一次为步长搜索一次,得得(0.5,0.6)为为有根区有根区间间.对对 可知可知 从而在根的附近有从而在根的附近有 ，因此迭代公式，因此迭代公式对于初值对于初值x0=0.5是收敛的是收敛的.第33页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.7 设设 ,要使迭代过程要使迭代过程 局部收敛到局部收敛到 ,求求 的取值范围的取值范围.解：解：由在根由在根 邻域具有局部收敛性时邻域具有局部收敛性时,收敛收敛 条件条件 所以所以 第34页，共85页，编辑于2022年，星期三假定假定 改变不大改变不大,近似地取某个近似值近似地取某个近似值L,则由则由 设设 是根是根 的某个近似值的某个近似值,用迭代公式校正一次得用迭代公式校正一次得 6.2.2 迭代公式的加工迭代公式的加工 又又 根据中值定理有根据中值定理有得得令令比 更好的近似值（1）加权法加权法第35页，共85页，编辑于2022年，星期三校正：校正：改进：改进：或合并写成：或合并写成：第36页，共85页，编辑于2022年，星期三仍取仍取 ,逐次计算得逐次计算得 =0.56658，=0.56714.迭代迭代4次便可得到精度次便可得到精度 的结果的结果,而不用加速技术需迭代而不用加速技术需迭代1818次次,效果显著效果显著.例例6.8 用加权法加速技术求解方程用加权法加速技术求解方程 在在0.5附近的一个根附近的一个根.解：由前面知解：由前面知 在在x0=0.5附近收敛附近收敛.又在又在x0=0.5附近，附近，加速公式的具体形式为加速公式的具体形式为第37页，共85页，编辑于2022年，星期三但上述加速方案需要计算但上述加速方案需要计算L，实际使用不便实际使用不便.对于对于 用迭代公式再校正一次得用迭代公式再校正一次得同理可得同理可得又已知又已知联立消去联立消去L得得推推得得（2）Aitken加速方法加速方法第38页，共85页，编辑于2022年，星期三校正：校正：再校正：再校正：改进：改进：Aitken加速方法加速方法第39页，共85页，编辑于2022年，星期三校正：校正：再校正：再校正：改进：改进：Aitken加速方法加速方法第40页，共85页，编辑于2022年，星期三例例 6.9 用用Aitken方法求方程方法求方程 解解 取取x0=1.5，迭代格式，迭代格式 是发散的是发散的.用用Aitken方法进行加速，有方法进行加速，有第41页，共85页，编辑于2022年，星期三 用迭代法可逐步精确方程用迭代法可逐步精确方程 根的近似值根的近似值,但但必须要找到必须要找到 的等价方程的等价方程 ,如果如果 选得不选得不合适合适,不仅影响收敛速度不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散而且有可能造成迭代格式发散.能能否找到一种迭代方法否找到一种迭代方法,既结构简单既结构简单,收敛速度快收敛速度快,又不存在又不存在发散的问题？这就是本节要介绍的发散的问题？这就是本节要介绍的Newton法法.6.3.1 Newton公式公式 牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的基本思想是它的基本思想是将非线性函数将非线性函数f(x)逐步线性化逐步线性化,从而将从而将非线性方程非线性方程f(x)=0近似近似地转化为线性方程求解地转化为线性方程求解.6.3 Newton法法 第42页，共85页，编辑于2022年，星期三将右端取为将右端取为 ,即即 是比是比 更接近于更接近于 的近似值的近似值 对于方程对于方程 ,设其近似根为设其近似根为 ,函数函数f(x)可在可在 附近作泰勒展开附近作泰勒展开 忽略高次项忽略高次项,用其线性部分作为函数用其线性部分作为函数f(x)的近似的近似,设设 的根的根 ,则有则有 ,即即 这就是著名的这就是著名的Newton公式公式(6.7)第43页，共85页，编辑于2022年，星期三6.3.2 Newton法的几何解释法的几何解释 方程方程f(x)=0)=0的根的根x*是曲线是曲线y=f(x)与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标,设设xk是根是根x*的某个近似值的某个近似值,过曲线过曲线y=f(x)的横坐标为的横坐标为xk的点的点Pk=(xk,f(xk)引切线交引切线交x轴于轴于xk+1,并将其作为并将其作为x*新的近似值新的近似值,重复上重复上述过程述过程,可见一次次可见一次次用切线方程来求解方用切线方程来求解方程程f(x)=0)=0的根的根,所以所以亦称为亦称为Newton切线切线法法.第44页，共85页，编辑于2022年，星期三定义定义6.2 设迭代过程设迭代过程 收敛于收敛于 的根的根如果迭代误差如果迭代误差 当当 时成立下列渐进关系式时成立下列渐进关系式:则称该迭代过程是则称该迭代过程是p阶收敛的阶收敛的.6.3.3 Newton法的局部收敛性法的局部收敛性 一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快要求它收敛得比较快.注：注：p=1=1时称为时称为线性收敛线性收敛；p=2=2时称为时称为平方收敛平方收敛；1 1 p0都是收敛的都是收敛的.迭代公式为迭代公式为 迭代公式为迭代公式为 (2)计算计算1/a 迭代对于初值迭代对于初值0 x0 2/a都是收敛的都是收敛的.第53页，共85页，编辑于2022年，星期三6.3.5 Newton下山法下山法 通常通常,Newton法的收敛性依赖于初始值法的收敛性依赖于初始值 的选取的选取,如果如果 偏偏离所求的根离所求的根 比较远比较远,则则Newton法可能发散法可能发散.第54页，共85页，编辑于2022年，星期三为了防止迭代发散为了防止迭代发散,我们对我们对Newton法的迭代过程再附加一项法的迭代过程再附加一项要求要求,即具有单调性即具有单调性 将将Newton法与下山法结合起来使用法与下山法结合起来使用,即在下山法保即在下山法保证函数值下降的前提下证函数值下降的前提下,用用Newton法加快收敛速度法加快收敛速度.把这一把这一算法称为算法称为Newton下山法下山法.满足这项要求的算法称为满足这项要求的算法称为下山法下山法.第55页，共85页，编辑于2022年，星期三 为此，将为此，将Newton法的计算结果法的计算结果与前一步的近似值与前一步的近似值xk适当平均作为新的改进值，即适当平均作为新的改进值，即其中其中 称为称为下山因子下山因子.挑选下山因子时，希望使单调性挑选下山因子时，希望使单调性条件成立条件成立.第56页，共85页，编辑于2022年，星期三 下下山山因因子子的的选选择择是是个个逐逐步步探探索索的的过过程程,设设从从 =1开开始反复将始反复将 减半进行试算减半进行试算,即逐次取即逐次取 为为从中挑选下山因子从中挑选下山因子,直至找到其中某个直至找到其中某个 使单调性条件使单调性条件成成立立,则则称称“下下山山成成功功”,否否则则“下下山山失失败败”,这这时时需需另另选初值选初值 重算重算.第57页，共85页，编辑于2022年，星期三现在设法利用迭代过程中的现在设法利用迭代过程中的“老老”信息信息来回避导数值来回避导数值 的计算的计算.6.4 弦截法与抛物线法弦截法与抛物线法Newton法法虽虽然然具具有有收收敛敛速速度度快快的的优优点点,但但每每迭迭代代一一次次都都要要计计算算导导数数 当当 比比较较复复杂杂时时,提提供供它它的的导导数数值值往往往往是是有困难的有困难的导出这类求根方法的基础是插值原理导出这类求根方法的基础是插值原理.第58页，共85页，编辑于2022年，星期三设设 是是f(x)=0的一组近似根的一组近似根,利用函数值利用函数值构造插值多项式构造插值多项式Pr(x),并适当选取并适当选取Pr(x)=0的一个根作为的一个根作为f(x)=0的新的近似根的新的近似根xk+1,这就确定了一个新的迭代过程，记这就确定了一个新的迭代过程，记迭代函数为迭代函数为 则有则有 第59页，共85页，编辑于2022年，星期三6.4.1 弦截法弦截法(1)迭代公式迭代公式 相应的迭代法称为弦截法相应的迭代法称为弦截法.(2)几何意义几何意义(3)收敛速度收敛速度第60页，共85页，编辑于2022年，星期三定理定理6.4 假设假设f(x)在根在根 的邻域的邻域 内具有二阶连内具有二阶连续导数，且对于任意续导数，且对于任意 有有 又初值又初值 ,那么当邻域那么当邻域 充分小时，弦截法将按充分小时，弦截法将按收敛到根收敛到根弦截法具有超线性收敛！弦截法具有超线性收敛！第61页，共85页，编辑于2022年，星期三弦弦截截法法算算法法实实现现 第62页，共85页，编辑于2022年，星期三例例6.13 用弦截法方程用弦截法方程 解：取解：取 令令 利用弦截迭代公式利用弦截迭代公式 计算计算第63页，共85页，编辑于2022年，星期三6.4.2 抛物线法抛物线法(1)(1)迭代公式迭代公式第64页，共85页，编辑于2022年，星期三(2)几何意义几何意义(3)收敛速度收敛速度例例6.14 用抛物线法方程用抛物线法方程 解：取解：取 利用抛物线迭代公式计算利用抛物线迭代公式计算第65页，共85页，编辑于2022年，星期三 非非线线性性方方程程的的解解通通常常叫叫做做方方程程的的根根,也也叫叫做做函函数数的的零零点点,本本章章讨讨论论了了求求解解非非线线性性方方程程近近似似根根常常用用的的一一些些数数值值方方法法.先先要要确确定定有有根根区区间间,且且对对于于收收敛敛的的迭迭代代格格式式,这这个个区区间间要要足足够够小小.针针对对各各种种求求根根的的数数值值方方法法的的特特点点,要要考考虑虑其其收收敛敛性性、收敛速度和计算量收敛速度和计算量.二二分分法法是是逐逐步步将将含含根根区区间间分分半半,主主要要用用来来求求实实根根;迭迭代代法法是是一一种种逐逐次次逼逼近近的的方方法法,起起着着把把根根的的精精确确值值一一步步一一步步算算出出来来的的作作用用;牛牛顿顿法法具具有有较较快快的的收收敛敛速速度度,但但对对初初值值选选取取要要求求较较高高.弦弦截截法法避避开开了了导导数数的的计计算算,具具有有超超线线性性的的收收敛敛速速度度,每每计计算算一一步步,要要用用到到前前面面两两步步的的信信息息.抛抛物物线线法法要要用用到到前前面面三三步步的的信息信息.本章小结本章小结第66页，共85页，编辑于2022年，星期三 第67页，共85页，编辑于2022年，星期三 第68页，共85页，编辑于2022年，星期三3.第69页，共85页，编辑于2022年，星期三,第70页，共85页，编辑于2022年，星期三 第71页，共85页，编辑于2022年，星期三4.,故故k取取10.第72页，共85页，编辑于2022年，星期三 第73页，共85页，编辑于2022年，星期三5.第74页，共85页，编辑于2022年，星期三6.(1)第75页，共85页，编辑于2022年，星期三6.(2)第76页，共85页，编辑于2022年，星期三7.第77页，共85页，编辑于2022年，星期三第78页，共85页，编辑于2022年，星期三8.第79页，共85页，编辑于2022年，星期三 第80页，共85页，编辑于2022年，星期三9.第81页，共85页，编辑于2022年，星期三10.第82页，共85页，编辑于2022年，星期三14.第83页，共85页，编辑于2022年，星期三第84页，共85页，编辑于2022年，星期三15.第85页，共85页，编辑于2022年，星期三