通信原理第10章.ppt

通信原理1通信原理第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收2第10章 数字信号最佳接收l10.1数字信号的统计特性数字信号的统计特性n以二进制为例研究接收电压的统计特性。n假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有P(0)+P(1)=1n若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有k 2fHTs。3第10章 数字信号最佳接收n由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为式中，n 噪声的标准偏差；n2 噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k。n设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 4第10章 数字信号最佳接收n由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以表示为n当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成5第10章 数字信号最佳接收n利用上式关系，并注意到 式中 n0 噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中 n=(n1,n2,nk)k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。n需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。6第10章 数字信号最佳接收n在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：n由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。7第10章 数字信号最佳接收n设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中 r=s+n k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值；s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。8第10章 数字信号最佳接收n同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为n顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。9第10章 数字信号最佳接收l10.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收n“最佳”的准则：错误概率最小n产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。n判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于式中Pe1=P(0/1)发送“1”时，收到“0”的条件概率；Pe0=P(1/0)发送“0”时，收到“1”的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。10第10章 数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（在图中把r 当作1维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决规则规定为：若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)11第10章 数字信号最佳接收显然，区域A0和区域A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界r0 确定后，错误概率也随之确定了。这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 数字信号最佳接收将上两式代入得到参考上图可知，上式可以写为上式表示Pe是r0的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导 并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)13第10章 数字信号最佳接收即当先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：若 则判为“0”；反之，若则判为“1”。在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)若f0(r)f1(r)，则判为“0”若f0(r)f1(r)，则判为“1”14第10章 数字信号最佳接收这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。p以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为于是，若 则判为si(t)，其中，15第10章 数字信号最佳接收l10.3 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机n确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。n判决准则当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：16第10章 数字信号最佳接收若则判为发送码元是s0(t)；若 则判为发送码元是s1(t)。将上两式的两端分别取对数，得到若 则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。17第10章 数字信号最佳接收若式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。n最佳接收机u按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：18第10章 数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比较判决积分器积分器19r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t=Ts第10章 数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成 20第10章 数字信号最佳接收由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 u上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。u由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器21第10章 数字信号最佳接收l10.4 确知数字信号最佳接收的误码率确知数字信号最佳接收的误码率n总误码率在最佳接收机中，若 则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时，若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率P(0/1)。此条件概率的计算结果如下 22第10章 数字信号最佳接收式中同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率式中23第10章 数字信号最佳接收因此，总误码率为n先验概率对误码率的影响当先验概率P(0)=0及P(1)=1时，a=-及b=，因此由上式计算出总误码率Pe=0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。同理，若P(0)=1及P(1)=0，总误码率也为零。24第10章 数字信号最佳接收u当先验概率相等时：P(0)=P(1)=1/2，a=b。这样，上式可以化简为式中上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率2，误码率仅和两种码元波形之差s0(t)s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。u当先验概率不等时：由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。25第10章 数字信号最佳接收n先验概率相等时误码率的计算在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数，其定义如下：式中E0、E1为信号码元的能量。当s0(t)=s1(t)时，1，为最大值；当s0(t)=-s1(t)时，1，为最小值。所以 的取值范围在-1 +1。26第10章 数字信号最佳接收当两码元的能量相等时，令E0=E1=Eb，则上式可以写成并且将上式代入误码率公式，得到 为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：令则有27第10章 数字信号最佳接收于是上式变为式中 利用下式中2和n0关系代入上式，得到误码率最终表示式：28第10章 数字信号最佳接收式中 误差函数 补误差函数 Eb 码元能量；码元相关系数；n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。29第10章 数字信号最佳接收n误码率曲线dB30第10章 数字信号最佳接收n最佳接收性能特点u误码率仅和Eb/n0以及相关系数有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。u码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts，则有 按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts)Hz。对于已调信号，若采用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts)Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。31第10章 数字信号最佳接收u相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即=1时，误码率最大。这时的误码率Pe=1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即=-1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，2PSK信号的相关系数就等于-1。u当两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于u例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。32第10章 数字信号最佳接收u若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则误码率为u比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。33第10章 数字信号最佳接收n多进制通信系统u若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则其最佳误码率计算结果如下：式中，M 进制数；E M 进制码元能量；n0 单边噪声功率谱密度。由于一个M 进制码元中含有的比特数k 等于log2M，故每个比特的能量等于并且每比特的信噪比为下图画出了误码率Pe与Eb/n0关系曲线。34第10章 数字信号最佳接收u误码率曲线由此曲线看出，对于给定的误码率，当k增大时，需要的信噪比Eb/n0减小。当k 增大到时，误码率曲线变成一条垂直线；这时只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到无误码的传输。Pe0.693Eb/n035第10章 数字信号最佳接收l10.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收n假设：u 2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；u通信系统中存在带限白色高斯噪声；u接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。n因此，可以将此信号表示为：及将此信号随机相位的概率密度表示为：36第10章 数字信号最佳接收n判决条件：由于已假设码元能量相等，故有在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，按照下式条件作判决：若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“0”，若接收矢量r使f0(r)f1(r)，则判发送码元是“1”。现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分别可以表示为：上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终的判决条件：37第10章 数字信号最佳接收 若接收矢量r 使M12 M02，则判为发送码元是“0”，若接收矢量r 使M02 M12，则判为发送码元是“1”。上面就是最终判决条件，其中：按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下图中。38第10章 数字信号最佳接收n最佳接收机的结构相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X039第10章 数字信号最佳接收n误码率：随相信号最佳接收机的误码率，用类似10.4节的分析方法，可以计算出来，结果如下：n最后指出，上述最佳接收机及其误码率也就是2FSK确知信号的非相干接收机和误码率。因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。40第10章 数字信号最佳接收l10.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收n仍以2FSK信号为例简要地讨论其最佳接收问题。n假设：u通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声；u信号是互不相关的等能量、等先验概率的2FSK信号。u2FSK信号的表示式式中，A0和A1是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布：41第10章 数字信号最佳接收 式中，s2为信号的功率；而且0和1的概率密度服从均匀分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信号si(t,i,Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之间的关系为42第10章 数字信号最佳接收n接收矢量的概率密度:u由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分别可以表示为：43第10章 数字信号最佳接收经过繁复的计算，上两式的计算结果如下：式中n0 噪声功率谱密度；n2 噪声功率。44第10章 数字信号最佳接收n误码率：实质上，和随相信号最佳接收时一样，比较f0(r)和f1(r)仍然是比较M02和M12的大小。所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构和随相信号最佳接收机的一样。但是，这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率。这时的误码率等于 式中，接收码元的统计平均能量。45第10章 数字信号最佳接收n误码率曲线由此图看出，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。当误码率等于10-2时，衰落使性能下降约10 dB；当误码率等于10-3时，下降约20 dB。46相干2ASK信号非相干2ASK信号相干2FSK信号非相干2FSK信号相干2PSK信号差分相干2DPSK信号同步检测2DPSK信号第10章 数字信号最佳接收l10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机的Pe最佳接收机的Pe47第10章 数字信号最佳接收l10.8 数字信号的匹配滤波接收法数字信号的匹配滤波接收法n什么是匹配滤波器？用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。n假设条件：u接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为h(t)，滤波器输入码元s(t)的持续时间为Ts，信号和噪声之和r(t)为式中，s(t)信号码元，n(t)高斯白噪声；48第10章 数字信号最佳接收u并设信号码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)的双边功率谱密度为Pn(f)=n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。n输出电压u假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声no(t)两部分，即式中49第10章 数字信号最佳接收n输出噪声功率由这时的输出噪声功率No等于n输出信噪比在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为50第10章 数字信号最佳接收n匹配滤波器的传输特性：利用施瓦兹不等式求 r0的最大值若其中k为任意常数，则上式的等号成立。将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令则有式中 51第10章 数字信号最佳接收而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明，H(f)就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波器为匹配滤波器。52第10章 数字信号最佳接收n匹配滤波器的冲激响应函数：由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0。53000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 数字信号最佳接收n图解 54第10章 数字信号最佳接收n实际的匹配滤波器一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有：即要求满足条件或满足条件上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0=Ts。故匹配滤波器的冲激响应可以写为55第10章 数字信号最佳接收这时，若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的波形为：上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个任意常数，它与r0的最大值无关；通常取k 1。56第10章 数字信号最佳接收n【例10.1】设接收信号码元s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示。其频谱为由令k=1，可得其匹配滤波器的传输函数为由令k=1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为tTss(t)157第10章 数字信号最佳接收 此冲激响应示于下图。表面上看来，h(t)的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，h(t)的形状是s(t)的波形以t=Ts/2为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于t=Ts/2，所以反转后，波形不变。由式可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下：tTsh(t)1tTsso(t)58第10章 数字信号最佳接收由其传输函数 可以画出此匹配滤波器的方框图如下：因为上式中的(1/j2f)是理想积分器的传输函数，而exp(-j2fTs)是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。延迟Ts理想积分器59第10章 数字信号最佳接收n【例10.2】设信号的表示式为试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。【解】上式给出的信号波形是一段余弦振荡，如右图所示：其频谱为Ts60第10章 数字信号最佳接收因此，其匹配滤波器的传输函数为上式中已令t0=Ts。此匹配滤波器的冲激响应为：为了便于画出波形简图，令式中，n=正整数。这样，上式可以化简为h(t)的曲线示于下图：61第10章 数字信号最佳接收这时的匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：由于现在s(t)和h(t)在区间(0,Ts)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：显然，当t 2Ts时，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。(b)冲激响应Ts62第10章 数字信号最佳接收当0 t d)是噪声抽样值大于d 的概率。现在来计算上式中的P(|d)。设接收滤波器输入端高斯白噪声的单边功率谱密度为n0，接收滤波器输出的带限高斯噪声的功率为2，则有79第10章 数字信号最佳接收 上式中的积分值是一个实常数，我们假设其等于1，即假设故有这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接收滤波器是一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高斯分布。因此输出噪声的一维概率密度函数等于对上式积分，就可以得到抽样噪声值超过d 的概率：80第10章 数字信号最佳接收 上式中已作了如下变量代换：将上式代入误码率公式，得到 81第10章 数字信号最佳接收 现在，再将上式中的Pe和d/的关系变换成Pe和E/n0的关系。由上述讨论我们已经知道，在M 进制基带多电平最佳传输系统中，发送码元的频谱形状由发送滤波器的特性决定：发送码元多电平波形的最大值为等。这样，利用巴塞伐尔定理计算码元能量时，设多电平码元的波形为Ax(t)，其中x(t)的最大值等于1，以及82第10章 数字信号最佳接收则有码元能量等于因此，对于M 进制等概率多电平码元，求出其平均码元能量E等于因此有于是得到误码率的最终表示式：83第10章 数字信号最佳接收当M2时，上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。M进制多电平信号的误码率曲线：由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，M值增大到2倍，信噪比大约需要增大7 dB。Pe110-110-210-310-410-610-5E/n0(dB)M=24816051015 2025 30 3584第10章 数字信号最佳接收n10.9.2 非理想信道的最佳基带传输系统u最佳传输条件接收信号码元的频谱等于GT(f)C(f)。为了使高斯白噪声条件下的接收误码率最小，在接收端可以采用一个匹配滤波器。为使此匹配滤波器的传输函数GR(f)和接收信号码元的频谱匹配，要求GR(f)=GT*(f)C*(f)基带传输系统的总传输特性为 H(f)=GT(f)C(f)GR(f)=GT(f)C(f)GT*(f)C*(f)=|GT(f)|2|C(f)|2 此总传输特性H(f)能使其对于高斯白噪声的信噪比最小，但是还没有满足消除码间串扰的条件。为了消除码间串扰，由第6章的讨论得知，H(f)必须满足：85第10章 数字信号最佳接收 为此，可以在接收端增加一个横向均衡滤波器T(f)，使系统总传输特性满足上式要求。故从上两式可以写出对T(f)的要求:式中86第10章 数字信号最佳接收从上述分析得知，在非理想信道条件下，最佳接收滤波器的传输特性应该是传输特性为GR(f)的匹配滤波器和传输特性为T(f)的均衡滤波器级连。u非理想信道的最佳基带传输系统方框图u最后需要说明的是，上面的讨论是假定发送滤波器和信道特性已给定，由设计接收滤波器使系统达到最佳化。在理论上，自然也可以假定接收滤波器和信道特性已给定，设计发送滤波器使系统达到最佳；或者只给定信道特性，联合设计发送和接收滤波器两者使系统达到最佳。但是，分析结果表明，这样做的效果和仅使接收滤波器最佳化的结果差别不大。在工程设计时，还是以设计最佳接收滤波器的方法较为实用。GT(f)C(f)GT*(f)C*(f)T(f)最佳接收滤波器n(t)87第10章 数字信号最佳接收l10.10 小结小结 88