第六章二次型的正定性PPT讲稿.ppt

第六章二次型的正定性第1页，共13页，编辑于2022年，星期三定义定义5设二次型 的任意一个标准形为 则其中正项项数称为f的正惯性指数正惯性指数，负项项数称为f的负惯负惯性指数性指数，正惯性指数与负惯性指数的和r称为f的惯性指数惯性指数 第2页，共13页，编辑于2022年，星期三例如，二次型 的正惯性指数等于3;的正惯性指数等于3，负惯性指数等于1 因此，二次型的惯性定理可以表述为二次型 的正惯性指数、负惯性指数及惯性指数在可逆线性变换可逆线性变换下都不变下都不变 在二次型中，比较常用的是二次型的标准形的n个系数全为正或全为负的情形第3页，共13页，编辑于2022年，星期三定义定义6 设二次型 ，如果对任何非零向量X，都有（1），则称f为正定二次型正定二次型，且称矩阵A为正定矩阵正定矩阵；（2），则称f为负定二次型负定二次型，且称矩阵A为负定矩阵负定矩阵；既不是正定二次型也不是负定二次型的二次型称为不定二次型不定二次型 二次型的正定、负定或不定统称为二次型的正定性正定性 例如例如二次型 ，仅当 时，f=0，除此之外，无论 取何值，总有 因此，f是正定二次型第4页，共13页，编辑于2022年，星期三定理定理8 （1）二次型 为正定的正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正个系数全为正；（2）二次型 为负定的负定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为负个系数全为负；推论推论（1）n阶实对称矩阵A为正定矩阵正定矩阵的充分必要条件是：A的n个特征值全为正个特征值全为正 （2）n阶实对称矩阵A为负定矩阵负定矩阵的充分必要条件是：A的n个特征值全为负个特征值全为负 第5页，共13页，编辑于2022年，星期三由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为标准形标准形或求出对称矩阵对称矩阵A的全部特征值的全部特征值下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的方法：第6页，共13页，编辑于2022年，星期三定义定义7n阶方阵的左上角r阶方阵的行列式称为A的r阶顺序主子式第7页，共13页，编辑于2022年，星期三定理定理9（1）n阶实对称矩阵 为正定矩阵正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正各阶顺序主子式都为正，即 （2）n阶实对称矩阵 为负定矩阵负定矩阵的充分必要条件是：A的奇数阶奇数阶顺序主子式都为负负，偶数偶数阶顺序主子式都为正 即 第8页，共13页，编辑于2022年，星期三例例27判别二次型的正定性解解 利用配方法将f化为标准形第9页，共13页，编辑于2022年，星期三令 则 由于二次型f的标准形的系数有正有负，故f不是正定二次型，也不是负定二次型即f是不定二次型 第10页，共13页，编辑于2022年，星期三例例28 判别二次型的正定性.解解 f的矩阵为由于A的各阶主子式故矩阵A的各阶顺序主子式都为正，从而二次型f是正定二次型第11页，共13页，编辑于2022年，星期三例例29判别二次型 的正定性解解 f的矩阵为由A的特征多项式求得A的特征值为 因为A的3个特征值全为负，故A是负定矩阵，从而f是负定二次型第12页，共13页，编辑于2022年，星期三例例30 t满足什么条件时，二次型是正定的解解 f的矩阵为要使f为正定二次型，则矩阵A的各阶顺序主子式都应为正，即 从而，得不等式组即当 时，f是正定二次型 第13页，共13页，编辑于2022年，星期三