概率论概率论习题解答(第7章).doc
习 题 七（A）三、解答题 1. 设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量 解：因为，所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为 2. 求均匀分布中参数的矩估计量 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为m2 = E(X 2) = D(X) + E(X) 2= 用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得的矩估计量为 3. 设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量 解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到 4. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量 解：总体X的一阶为总体X的二阶为用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得和的矩估计量为，. 5. 设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量 解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为 6. 设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为当时，令，解得考虑到所以，的最大似然估计值为将数据代入计算，的最大似然估计量为0. 7. 设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为容易看出越大L(q)越大，在约束下，即为最大似然估计值。 8. 设是取自总体N(m，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为m的无偏估计量，并确定最有效的一个， 证明：因为独立均服从N(m，1)，且.所以，均为m的无偏估计量。又因为所以最有效。 9. 设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本是任意常数,证明是m 的无偏估计量证明：因为Xi的数学期望均为，所以故是m 的无偏估计量 10. 设总体是来自X的一个样本 (1) 试确定常数c，使为s 2的无偏估计; (2) 试确定常数c，使为m 2的无偏估计 解：（1）因为所以当时，为s 2的无偏估计。 （2）因为所以当时，为s 2的无偏估计。 11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(m ，s 2)；在下面两种情况下，求m 的置信水平为0.95的置信区间 (1) 由以往的经验知s = 0.6 (小时); (2) s 未知 解：（1）由于s = 0.6，求m 的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，1.96，代入计算得m 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）. （2）由于s 未知，求m 的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，=2.306，代入计算得m 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442） 12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间假设产品直径近似服从正态分布 解：设XN(m , s2),由于s2未知，m 的置信区间为，其中n=9，a=0.01，代入计算得m 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）. 13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间 解：设XN(m,s2),由于s未知，m 的置信区间为，其中n=9，a=0.05，=2.306，代入计算得m 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）. 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间 解：设XN(m , s2),由于m未知，s2的置信区间为其中n=8，a=0.01，s = 2.4，代入计算得m 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）. 15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布 16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布试验数据如下: 使用第一种药物 使用第二种药物 假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差的置信水平为99%的置信区间 解：设两正态总体分别为XN(m1 , s12)，YN(m2 , s22)，由于s12= s22未知，的置信区间为，其中 查t分布分位数表知ta/2(n1+n2 2) = t0.005(28) = 2.1199故得的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2） 17. 测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm）如下 A民族：162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 158.4 160.2 162.2 B民族：175.3 177.8 167.6 180.3 182.9 180.5 178.4 180.4假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差m1 m2的置信水平为90%的置信区间 解：由于总体方差相等但未知，可采用计算m1 m2的置信区间其中，由两个民族的观测数据计算得 查t分布分位数表知ta/2(n1+n2 2) = t0.05(14) = 1.761故得m1 m2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80) 18. 工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N(m1，s12)和N(m2，s22)，m1，m2，s12，s22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm）如下 工人操作： 4.02 3.94 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 机器人操作: 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00试求的置信水平为0.90的置信区间 解：由于m1和m2未知，可采用计算的置信区间 由两样本观测值计算得，a = 0.1，查F分布的分位数表知F0.05(6,7) = 3.87，F0.95(6,7) = 故得的置信水平为0.95的置信区间为 19. 求12题中的置信水平为0.95的单侧置信区间下限 解：设XN(m , s2),由于s2未知，m 的的单侧置信下限可由下面公式计算得到其中n=9，a=0.01，代入计算得m 的置信水平为95%的单侧置信下限：=0.99 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间 解：设XN(m , s2),由于m未知，s2的置信区间为其中n=8，a=0.01，s = 2.4，代入计算得m 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）. 20. 求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限 解：由于XN(m，s2)且m未知，s 2的单侧置信上限为其中n=8，a=0.01，1.239，s = 2.4，代入计算得m 的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为. 21. 设总体，已知，要使总体均值的置信水平为的置信区间长度不大于L，问应抽取多大容量的样本？ 解：由于，已知，总体均值的置信水平为的置信区间为令置信区间为长度，解得.
