由“几分之一”教学的一个问题说开去.doc

陈洪杰：由“几分之一”教学的一个问题说开去由“几分之一”教学的一个问题说开去陈洪杰一湖北刘全祥老师在线问我一个问题，想听听我的意见，问题如下。 “认识几分之一”教学中，在学生初步了解分数后，老师要求学生拿出一张正方形纸，用涂色的方法表示出这张纸的1/2。可是一位学生却将纸的一面全部涂上颜色。询问学生，学生振振有词：老师，纸有两面，您让我们把这张纸的1/2涂上颜色，两面的一半是一面，所以我就把这张纸的这一面全部涂上了颜色。学生的回答对吗？如果不对教师应如何引导？考虑到同样的答案背后可以有完全不同的思考逻辑，同时，也考虑到即便直接说出判断也免不了一番解释，所以，对这个问题我并没有直接回答，而是绕了一个圈子，解释如下。这么来看：小学中认识几分之一分两个阶段，第一阶段是认识单个整体的几分之一，比如，一个苹果、一个蛋糕的二分之一；第二阶段是多个具体的实物组成一个整体，认识这个整体的几分之一，比如班级人数的二分之一。相对而言，前一个学生容易理解，而后一个因为整体是抽象的，学生不容易理解。 反观您说的案例，教学的应该是单个整体的几分之一，正因此，案例中的老师把自己的思路限于单个整体的几分之一，才对学生的反应不知道如何应对，其实这里学生的理解是对的，但他是把正反两个面抽象成一个整体，思维已经触及下一个几分之一的内涵了。所以，面对这种情况，教师可以让学生议论一下，让其他学生来评价这个学生的看法，最后教师把问题聚焦到“他这么回答是把什么看成一个整体？”进而引导学生讨论能否把纸张的两个面看成整体。这个可能对学生的要求偏高了，教师可以提供一些生活中的抽象整体的几分之一，让学生初步感知抽象整体，为下一个几分之一的教学埋下伏笔。案例中如果其他学生不支持这个学生的回答，教师也可以不点破，在教下一个几分之一的认识时，可以引导学生回忆今天的这个案例，沟通两个“几分之一”的内在联系。反观自己的解释，我是结合分数知识本身的内涵来考虑学生的回答的，抓住分数是反映整体与部分的关系这一点为学生的回答寻找合理因素。也正基于此，我认为学生的回答是对的，只是学生的回答所反映的对分数的认识已经超出这堂课的要求，所以教师才不知如何应对。这只是我的个人看法，刘老师的解释如下，视角和我不一样。笔者以为，上述教学之所以出现以上争议，究其原因是学生犯了数学常识性错误。大家都知道，点无大小，线无粗细，面无厚薄。案例中的老师一再强调长方形纸片，说明案例中的老师不管他自己意识到了没有，但实质他已设定了一个前提：即他本意所属的、为学生提供的那一张张研究素材早已不再是“体”，而物化成为一个个“图形”平面图形（在课的初始环节，很多老师用圆片、纸片代替蛋糕、苹果等实物也从一个侧面佐证了这一点）。既然不是“体”，而是“平面图形”，它就不再有厚薄，没有厚薄，也就不存在有2个面。因此，涂出长方形纸片的1/2，只能是涂出它“一个面”的1/2。刘老师的解释涉及另外一个层面，的确，用纸代表面，所经历的从几何到生活的跨越是彼此都能心照不宣地理解和感受的。这也是为什么大部分学生，即便不知道“面无厚薄”的知识，也不会考虑到以纸代面所经历的过程，就涂出纸的一面的二分之一来代表“1/2”的原因。不过，如果我们以一张纸作为几何中的面的表象（现实模型），在打通了几何到现实的通道的同时，也意味着必须面对模型（具体的纸）本身的特点，案例中学生的异议可以理解为受现实模型的干扰。从这个层面而言，刘老师的解释也是可以的。教师还应该认识到，我们其实不是割裂地来理解几何中的面的，孤立地看点、线、面是没有意义的（可以把它们理解成假设或符号），只有综合起来联系着看才能确定彼此的意义。比如，从集合的观点看，线是点的集合，面是线的几何，或者按照古希腊人的理解，点的运动形成线，线的运动形成面。同样，我们以纸来代表一个抽象的面而不用去考虑纸的一个面、两个面或纸的面积大小，也是因为借助现实的纸不影响我们对关系的认识，不影响我们对相关问题的研究，恰如一张纸一枝笔可以解释线面关系，一本厚厚的书也可以解释二面角等。从这个层面而言，是最终关注的问题决定了对模型的选择，案例中的那个学生，他关注的问题已经转变，所以教师也没有必要固守着“纸代表抽象的面”不放。因此，此处如果教师能从辩证的角度认识纸和面（现实模型和数学本质）之间的关系，就有可能采取智慧的处理方式：学生涂纸一面的一半是“1/2”当然对，其背后是以纸代面的模型；学生涂纸的一整面也是对的，因为一张纸有两个面。有老师担心，涂纸的一面以及纸的一面的一半都代表“1/2”，学生会不会迷惑？笔者认为，学生的迷惑正是他们的思维发生质的飞跃的契机，教师不仅不用担心学生的迷惑，甚至可以让学生更迷惑一些：撕下纸的一半是不是也可以用“1/2”表示？如果学生能够明白围绕着纸的这三种操作都包含着“1/2”，那么，学生的认识才是真正不再局限于具体的表象，而是感知到了抽象的“1/2”的意义。 二回过头来再说说小学阶段分数认识的教学。案例中，教师的迷茫和当前分数教学的整体缺陷有关。分数认识的教学，教师容易把焦点放在以下三个方面：1注重让学生进行折一折、涂一涂、圈一圈这样的操作；2注重为学生提供分数感知的材料和情境；3注重让学生正确地说出分数的意义。关注这三个方面反映了一线教师在“新课改”中对分数认识教学的积极探索，但在现实的教学过程中，这三方面的关注却往往流于形式，不能达到他们应该达到的教学本义，不能达到促进学生发展的应有意义。1操作的思维含量不高，学生不知道为什么要操作。分数认识的初次教学是认识单个物体的几分之一，由于“1/2”的特殊性，各个版本的教材不约而同地选择从“1/2”入手，对应到教学上就是教师借“分蛋糕”（或其他东西）的情境引出“1/2”。在学生初步感知“1/2”的含义后，教师往往会安排两类操作：（1）提供圆形或正方形纸片让学生折出几分之一（人教版、苏教版）；（2）提供图形让学生涂出图形的几分之一（北师大版、冀教版）。当然，也有让学生先折一折再涂一涂的。分数认识的第二次教学涉及多个物体组成的抽象整体的几分之一的认识，此时教师安排的操作和之前的类同：（1）提供小棒、棋子或其他学具让学生表示几分之一；（2）提供成组的几何图形或物体的图片让学生涂出或圈出整体的几分之一。这样的操作安排是否真的能促进学生的思维发展？由分蛋糕的情境引出“1/2”，这个过程是由具象到抽象的思维提升过程，但让学生折出（涂出、圈出）几分之一的时候，思维顺序却是相反的，学生必须先明白几分之一的意义才能做出正确的操作，也就是说，这些操作的本质是学生为抽象的分数找一个具象的表征。学生去操作不是因为思维受阻需要操作的帮助，而是因为这是老师布置的任务，学生并不明白为什么要操作。在教学现场，学生往往兴高采烈，课堂也十分热闹，这不是因为分数教学本身的魅力，而是此阶段儿童的天性使然。当然，安排这样的操作并非全无意义。首先，学生在操作的过程中会进一步明白平均分的必要性；其次，不同的操作提供了同一分数的不同表象，有助于学生感知分数的意义如果教师能适时引导学生抽象，效果更好；最后，这些操作对过程目标以及情感、态度和价值观目标的落实有一定意义。这里的辩析要强调的是，并非只要安排这些操作就能通过外在活动实现内在思维的提升。此外，在教学中，由于安排了操作，有的教师会把相当的时间花在评价学生折得是否整齐、涂得是否匀称、圈得是否美观上，以至学生在操作中也关注这些“非数学”的方面。笔者听过的一堂课，教师呈现学生涂的作品让大家判断时，有学生站起来就说“涂得不对，他涂到外面去了”。当出现真正有价值的教学资源时，有的教师又不知道如何使用，比如，正方形纸片的1/4有不同的折法，10个苹果的1/2有不同的圈法，教师往往只是告诉学生折（圈）得对不对，却往往忽略引导学生去发现不同表象的相同点，进而引导学生抽象分数的意义。2提供分数感知的材料和情境单一，同质化严重，学生很难经历抽象概念的过程。从整体上看，教师在分数教学中可以为学生提供的分数感知材料不可谓不丰富，比如，几何图形、小动物、食物、文具、小棒、棋子，等等。但是，就具体的某堂课而言，教师往往只能以一类感知材料或情境作为教学的“主菜”，比如，教学进程中不停地将各种图形分成几份；设计“猴妈妈分桃子”的情境，不停地分不同数量的桃子。其他种类的感知材料和情境往往是点缀，因为“主菜”撤下时多半已经没有什么教学时间了。比起传统教学中“教师呈现概念学生记忆概念出题辩析概念做题巩固概念”的教学，提供感知材料的教学方式已经关注了学生的学习过程，关注了学生由具体材料到数学概念的抽象。问题在于，一堂课中，单一种类的感知材料是同质化的，不同材料之间往往只是量的累积，虽然量变会引起质变，但仅仅是同质化的材料引发的更多的是学生的直观感知而不是学生的归纳和抽象。显然，基于教学的目的性，我们是不能满足于仅仅让学生直观感知的。笔者认为，涂10种不同的几何图形，感知材料也只是限于几何图形一类；4只猴子分8个、12个、20个、40个桃子，也只是在分桃子。教师尤其要注意的是，在课堂上，圈10种水果、文具、小动物，感知的材料也只限于纸面的一些图形；教材中的分蛋糕、分糖果、分酸奶、分面包，这些情境看似来源于生活但学生往往只是把它当成一道题目来做，并不意味着学生感知的材料就是自己的生活经验。如果大家注意的话，不同版本的教材在选取分数感知材料上有一个有趣的现象，那就是把具象材料的一份和整体之间的表象差异消除掉。不仅正方形的1/4和其他的3/4没有差异，就连蛋糕、西瓜、粽子、糖果、蘑菇等拿来分的具象物体也都是长得一模一样的。消除具象材料之间的差异是抽象分数概念的需要，但这个消除表象差异的过程应该是学生抽象分数概念的有机组成部分，而不是直接把干干净净的材料呈现给学生，材料个体之间的“全等”，强化的是不同感知材料之间的同质化。因此，教师要特别注意“异质个体构成的整体”这种感知材料的教学意义的挖掘。比如，北师大版教材三（下）第57页有黄花2朵，红花3朵，黑棋子2颗，白棋子3颗，问“每种物体的个数占全部的几分之几”的问题；人教版三（上）第102页、103页有“一块地的5/8种了白菜，剩下的种芹菜。种芹菜的地占整块地的几分之几？”“一张长方形的1/8涂红色，3/8涂蓝色。没涂色的占这张纸的几分之几？”的问题，五（下）第63页有“每种颜色的跳棋是这盒跳棋的（  ）”的问题；苏教版教材三（上）第100页“科学天地/艺术园地大约占黑板报版面的几分之一？”，三（下）第67页涉及“每种水果各带1/3”，第68页涉及红花和黄花，公鸡和母鸡，山羊和绵羊，白兔和灰兔构成的整体。教师可以引导学生感受并说出这些材料和其他材料的差异，追问学生如何把一些物体看成整体“1”。有的版本的教材，没有“异质个体构成的整体”这种感知材料，恐怕教师更加不会注意分数教学中感知材料单一的问题。3语言的训练关注说的结果，忽略了思维的提升。分数认识的教学中，教师一般会注意让学生正确地说出分数的含义：“把一个（ ）平均分成（  ）份，其中的一份就是它的（ ）分之一”，“把（  ）看作一个整体，把这个整体平均分成（  ）份，其中的一份就是它的（ ）分之一。”为达到这个目的，教师往往让学生结合具体的情境先说说“1/2”的含义，进而让学生根据感知材料和情境说一说1/3、1/4等分数的含义，最后引导学生脱离具体的材料和情境，说说分数的含义。在这个过程中，学生对分数意义的描述一开始是直观的、不精确的，比如，“这个正方形已经被涂成4块了，其中的一块就是1/4”，“12颗糖果，平均分成4份，每份就是3颗”，“每段绳子都一样长，一段就是绳子的1/4”。此时，教师就在一对一的互动中帮学生矫正，学生终于能够准确地说出“把一个正方形平均分成4份，每份是这个正方形的1/4”等话语。由1/2、1/3到其他分数，由结合情境到脱离情境，的确也是由一般到抽象的过程，然而，由于教师的步步强化，加上操作的泡沫化、感知材料的单一，学生到最后是会说了，却极有可能是鹦鹉学舌。在笔者听过的几堂课中，经常出现这样的现象：（1）跟着老师会准确地说了，自己独立说又说不清楚了；（2）针对某一个感知材料会准确地说了，换一个情境又不会说了；（3）老师前面已经引导五六个学生会准确地说了，后面回答的学生还是不会说。在抽象整体的几分之一教学中，前面学生明明都会说了，但当再次面对“把8个苹果分给4只小猴，每只小猴分得几分之几”的情境时，又有学生写成“2/8”了。对分数的认识还是受一份的具体个数的影响，这表明学生虽然会说几分之一，但并没有真正理解分数的意义。面对上述情境，有的教师认为用2/8表示也对，理由是“2/8=1/4”，以其昏昏，使人昭昭，殆矣！我们希望，学生是真正在多种感知材料的基础上认识分数的意义，是真正基于自己的理解而不是鹦鹉学舌地说出分数的含义，这就要求在教学中至少注意以下两个方面。1改变提问方式，让学生更多地说自己抽象出几分之一的过程，而不仅仅是说结果。教学中，教师往往会这样提问：你是如何表示每幅图的1/4的？说一说，每幅图的意思是什么？这样的提问方式和教材上配的练习材料是同质的，关注的都是最后的结果。而实际上，教师可以这样问：为什么不同的图都可以用1/4表示？（配合展示学生操作得到的不同作品，利用学生的差异资源。）教师还可以问这样的问题：要知道这个图表示几分之一，需要哪几个条件？总之，提问方式应更多地关注学生的思维过程，而不是答案。同时，提问方式的改变也是提高操作的思维含量的重要途径。2为学生提供更加丰富的言语材料，让学生得到更多的表达训练。这可以从以下四个方面来落实。一是挖掘上文提到的教材中的“异质个体构成的整体”这样的感知材料的教学意义，让学生说说这些材料和其他材料的相同点和不同点。二是改变纸面呈现感知材料的方式，让学生自己补充生活中的感知材料和情境。教师可以问：“除了课本上的例子，生活中还有哪些需要把很多东西分成几份，取其中一份或几份的情况？”这一环节不仅可以锻炼学生的说，还可以弥补感知材料单一的缺陷。三是让学生自己不规范的语言表达成为改进的基础。学生对分数的意义说得不够简洁、准确的时候，教师往往采用一对一强化的方式，这样“打乒乓式”地指导了五六个学生后，学生熟能生巧也就会说了。但这种一一指导的方式，被指导的学生并不知道老师的说法好在哪里，而且其他学生往往处于游离状态。因此，教师可以让多个学生先说一说，呈现不规范的语言，然后问学生“他的说法可以怎样改进？”最后，大家总结出怎么说最简洁、准确和规范。最后，在学生自己总结出规范的说法后，再要求他们举生活中分数的例子，但这一次教师要特别强调要用规范的语言说，这是对语言的运用。以上两方面不仅仅是关注学生的语言表达，也涉及对操作活动的指导和对学生感知材料的拓展。 教学是一个整体推进的过程，一堂课可供解读的信息是非常丰富的，因此，把对课堂的思考固化为文字的过程必是选择和遗漏的过程。然而，基于我们对课堂的共同经验，对问题的共同体认，交流或许是可能的。关于分数教学的上述分析是条块化的，提到的一些改进措施也是零星的，怎样通过系统化的教学设计弥补这些缺陷，实现更流畅的、更浑然一体的、更有数学味的教学，是我们的努力方向。  被删减的部分，原文如下。有老师批评我写文章太啰嗦，很有可能是对的！刘老师的解释我最初不是很同意，因为这个解释可以引发几个追问。1.案例中的老师是不是把这张纸当成了一个图形？恐怕未必。纸是纸，图形是图形，没有哪个老师给学生提供纸片时会刻意强调“把我给你们的纸看成图形”。何况，让学生涂色的教学本意就是让学生由具体的物抽象到数学的1/2，把纸看成具象的纸是合适的。2.老师自己都不一定意识到要学生涂的是图形（而且是用纸的一面来代表），怎么能要求学生想到这一点？何况，此年龄段学生的思维以具象思维为主，他们能理解“点无大小，线无粗细，面无厚薄”吗？如此，案例中的学生不领情也情有可原。不过，这样的话就要追问，为什么大部分学生都涂了一面的一半呢？难道他们都明白老师要他们图的是纸的一面这个图形的一半？3. 如果这张纸被抽象成一个图形，把题目理解成涂长方形的一半，那么的确要涂“1个面”的二分之一，而关键问题是，用“面无厚薄”来解释最后的结论，逻辑上能否成立？这个问题是关键所在，有必要申述之。首先我们要区别三个“面”：（1）几何中抽象的面（这个面没有厚薄，现实中不存在）；（2）可以画在纸上的代表这个抽象的面的平面图形（比如，一个长方形，一个内角是45°的平行四边形）；（3）具体一张纸的一面（可触摸，可涂写）。再来梳理一下刘老师的推理：（1）因为几何中的面没有厚薄；（2）所以“不存在有2个面”；（3）所以只能用一张纸的一个面来表示（按刘老师的说法，这个面是平面图形）；（4）所以只能涂纸的一个面的1/2。“几何中的面没有厚薄”无疑说的是几何中的面，而“不存在有2个面”指的是哪里不存在两个面？两个什么“面”？如果我们保持标准的统一，始终抓住“几何中的面没有厚薄”这一逻辑起点，那么，不仅“不存在有2个面”而且根本没办法给面涂色，即便老师明确地说“涂出图形的一半”也是一个伪问题，因为，没有厚薄的面现实中根本不存在，既不能涂色，也不能讨论是否存在2个面的问题。这样“纠缠”已经太多琐碎，与教学无涉，打住！其实，这里涉及另外一个问题，我们说用纸代表面，所经历的从几何到生活的跨越是彼此都能心照不宣地理解和感受的。这也是为什么大部分学生不需要考虑那么多就涂出纸的一面的二分之一来代表“1/2”的原因。不过，如果我们以一张纸为几何中的面的表象（模型），在打通了几何到现实的通道的同时，也意味着必须面对模型（现实的纸）本身的特点，案例中学生的异议可以理解为受现实模型的干扰。从这个层面而言，刘老师的解释也是可以的。    教师或许还应该认识到，我们其实不是割裂地来理解几何中的面的，单个地看，点、线、面是没有意义的（可以把它们理解成假设或符号），只有综合起来联系着看才能确定彼此的意义。比如，从集合的观点看，线是点的集合，面是线的几何，或者按照古希腊人的理解，点的运动形成线，线的运动形成面。同样，我们以纸来代表一个抽象的面而不用去考虑是用纸的一个面或两个面，也是因为借助现实的纸不影响我们对关系的认识，不影响我们对相关问题的研究，恰如一张纸一枝笔可以解释线面关系，一本厚厚的书也可以解释二面角等。从这个层面而言，是最终关注的问题决定了对模型的选择，案例中的那个学生，他关注的问题已经转变，所以教师也没有必要固守着“纸代表抽象的面”不放。相反，此处如果教师能从整体关系的角度认识纸和面之间的关系，就有可能采取变动的处理方式：学生涂纸一面的一半是“1/2”当然对，其背后是以纸代面的模型；学生涂纸的一整面也是对的，因为一张纸有两个面有老师担心，涂纸的一面以及纸的一面的一半都代表“1/2”，学生会不会迷惑？笔者认为，学生的迷惑正是学生发生思维的质的飞跃的契机，教师不仅不用担心学生的迷惑，甚至可以让学生更迷惑一些：撕下纸的一半是不是也可以用“1/2”表示？如果学生能够明白围绕着纸的这三种操作都包含着“1/2”，那么，学生的认识才是真正不再局限于具体的表象，而是感知到了抽象的“1/2”意义。