某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答.doc

1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为 解：即 所以 .2、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.（20分）解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品则（1） （2） .3、已知连续型随机变量的分布函数为，求（1）常数和，（2），（3）概率密度。（20分）4、已知随机变量的分布律为（20分） 1 2 3121/3 a b1/6 1/9 1/18问：（1）当为何值时，和相互独立。（2）求。5、 设随机变量服从分布，求随机变量的概率密度函数。（10分）6、 向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.（20分） 解： （1） ； （2） 1、 （10分）将3粒黄豆随机地放入4个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3）3、（10分）设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量在区间内的概率密度为2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.答案： 解答： 由 知 即 解得 ，故 3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.答案： 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.答案：， 解答： ，故 .5 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_.答案： 解答：似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则与也独立. （C）若，则与也独立. （D）若，则与也独立. （ ）答案：（D）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SABC 事实上由图 可见A与C不独立. 2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 所以 应选（A）.3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，应选（B）.4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 若独立则有YX ， 故应选（A）.5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 答案：（A） 解答： ，所以是的无偏估计，应选（A）.三、 （7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率； （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品则（1） （2） .四、 （12分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数， 求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 .五、 （10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或时xzz=x 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、 （10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受.