(高考数学复习讲练3)函数的单调性、求函数解析式.doc

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : : 姓名阳丰泽年级高三性别男教学课题 函数的单调性、求函数解析式教学目标函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。重点难点函数单调性的概念函数单调性的判断和证明课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_第 讲 函数的单调性、求函数解析式1上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：（1）函数有几个要素？各是什么？（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质2观察函数的图像：（当增加的时候，的变化怎样？）函数的图像在轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着的增加，值在增加），又怎样？知识点一：函数的单调性1单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。（2）单调减函数的定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：对于任意的，若，有，则称在上是增函数；若在上是增函数，则当时，就有【思考1】下图是定义在上的函数的图像，根据图像说出单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性。解：函数的单调区间有，其中在，上是增函数， 在，上是减函数。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。【思考2】证明函数在上是减函数。证明：设任意，（0，+）且，则，由，（0，+），得，又，得，即， 在上是减函数。说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：在上是单调递减的，并且在上也是单调递减的，只能说和是函数的两个单调递减区间，不能说是原函数的单调递减区间；（2）通过观察图像，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法； （3）判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：取值：在给定区间上任取两个值，且；作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；定号：判断上述差的符号，若不能确定，则可分区间讨论；结论：根据差的符号，得出单调性的结论。2.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），xa，b，um，n都是单调函数，则y=fg（x）在a，b上也是单调函数.（1）若y=f（u）是m，n上的增函数，则y=fg（x）与u=g（x）的增减性相同；（2）若y=f（u）是m，n上的减函数，则y=fg（x）的增减性与u=g（x）的增减性相反. 【例1】如果二次函数f（x）=x2（a1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.【剖析】由于f（2）=22（a1）×2+5=2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=2a+11的值域，当然就应先求其定义域.【例2】求函数y=x+的单调区间.【剖析】求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）f（x1）的正负.【评述】解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.知识点二：求函数解析式求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等1.待定系数法【例3】（1）已知一次函数满足，图象过点，求；（2）已知二次函数满足，图象过原点，求；（3）已知二次函数与轴的两交点为，且，求；（4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，求说明：已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法； 基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。2.配凑法与换元法【例4】（1）已知，； （2）已知，求说明：已知的解析式，求时，把用代替；已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法。3.解方程组法【例5】已知满足，求. 归纳：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f()等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).1( 2006年湖南卷）“a=1”是“函数在区间1, +)上为增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2（2006年陕西卷）已知函数若则（）A. B. C. D.与的大小不能确定3（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（） A B C D 4如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.5有几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.6.根据单调函数的定义，判断函数的单调性。7.求下列函数解析式：（1）已知，求；（2）已知，求，；（3）已知，且，求；（4）已知二次函数，满足当时有最大值，且与轴交点横坐标的平方和为，求的解析式。（5）已知是二次函数，且，求课后小结：1单调函数的定义；2根据函数单调性判断函数单调性的方法。3 待定系数法求函数解析式的一般方法； 4配凑法及换元法。课堂检测听课及知识掌握情况反馈_.测试题(累计不超过20分钟)_道；成绩_；教学需:加快;保持;放慢;增加内容课后巩固作业_题; 巩固复习_ ; 预习布置_签字教学组长签字： 学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议： 函数的单调性参考答案【例题讲解】【例1】解二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是，解之得a2，故f（2）2×2+11=7，即f（2）7【例2】解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x2）f（x1）=x2+x1=（x2x1）+=（x2x1）（1），要确定此式的正负只要确定1的正负即可.这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+）分为（0，1）与（1，+）（这是本题的关键）.（1）当x1、x2（0，1）时，10，f（x2）f（x1）0，为减函数.（2）当x1、x2（1，+）时，10，f（x2）f（x1）0，为增函数.同理可求（3）当x1、x2（1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.【例3】解：（1）由题意设 ， 且图象过点， （2）由题意设 ， ，且图象过原点， . （3）由题意设 ， 又， 得 . （4）由题意设 ，又图象经过原点， 得，【例4】解：（1） （2）法一配凑法： . 法二换元法：令，则， 【例5】解：方程组法： 把中的换成，得 ，得, .【课堂演练】1A 2A3D4答案：a3解析：对称轴x=1a，由1a4，得a3.5解析：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的. 6.略【课后练习】1答案：B2.解析：f（x）是0，1上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=1，2=a1a=.选B.3. 解析：首先作出函数y=|x|与g（x）=x（2x）=x2+2x=（x1）2+1的图象（如图）利用图象分别确定其单调区间.y=|x|的增区间为0，+,y=x（2x）单调增区间为（,1.选C.（1）（2）评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力.4解：，令，则函数可看作是由函数与复合而成的。当时，函数是减函数，且当时，函数是增函数，从而是减函数，选C。5C6解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，则u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）7解析：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0，1上应恒大于零.1a2.8解析：在共同定义域上任取x1x2，当f（x）是单调递增，则f（x1）f（x2）0，g（x）是单调递减，g（x1）g（x2）0，F（x）f（x）g（x）F（x1）F（x2）=f（x1）f（x2）+g（x2）g（x1）0在共同定义域上是单调递增，同理可得当f（x）是单调递减，g（x）是单调递增时，F（x）=f（x）g（x）是单调递减正确,9解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.将x、y代入，得2y=m（x）,整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）·0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立. 由1+ax1x24，得a3.课后练习函数的单调性1下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 2（2004年湖北）函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小值的和为a，则a的值为( )A. B. C.2 D.43（2003北京春，文8）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2x）的递增区间依次是（ ）A.（，0，（，1 B.（，0，1，+C.0，+，（，1 D.0，+），1，+）4已知函数，如果，那么（）A在区间（2,0）上是增函数B在区间（0,2）上是增函数C在区间（1,0）上是增函数D在区间（0,1）上是增函数5（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是 ()A. B. C. D.6（2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4xx2）的递增区间是_.7函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是。8设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题： 若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递增； 若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递增； 若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递减；若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递减.其中，正确的命题是9已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.