计算方法方程的拟合精选文档.ppt

计计算方法方程的算方法方程的算方法方程的算方法方程的拟拟合合合合1本讲稿第一页，共二十五页log=-2.137+882.43/(T-160.036)2本讲稿第二页，共二十五页1.最小二乘法曲线拟合的原理最小二乘法曲线拟合的原理v如果观测数据存在较大误差，通常采用如果观测数据存在较大误差，通常采用“近似函数在各近似函数在各实验点的计算结果与实验结果的偏差平方和最小实验点的计算结果与实验结果的偏差平方和最小”的原的原则建立近似函数。则建立近似函数。最小最小若若称此曲线拟合法为称此曲线拟合法为最小二乘法曲线拟合。最小二乘法曲线拟合。式中式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。则容易实现而被广泛采用。定义定义:3本讲稿第三页，共二十五页v经验建模经验建模经验建模又分为两种情况：经验建模又分为两种情况：一是无任何理论依据，但有经验公式可供一是无任何理论依据，但有经验公式可供选择，例如很多物性数据（热容、密度、选择，例如很多物性数据（热容、密度、饱和蒸气压）与温度的关系常表示为饱和蒸气压）与温度的关系常表示为:二是没有任何经验可循的情况，只能二是没有任何经验可循的情况，只能将实验数据画出图形与已知函数图形将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函数形式进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。作拟合模型。最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同，可分为最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同，可分为半经验建模半经验建模和和经验建模经验建模两种。两种。v 半经验建模半经验建模如果建模过程中先由一定的理论依据写出如果建模过程中先由一定的理论依据写出模型结构，再由实验数据估计模型参数，模型结构，再由实验数据估计模型参数，这时建立的模型为半经验模型。例如，描这时建立的模型为半经验模型。例如，描述反应速率常数与温度的关系可用阿仑纽述反应速率常数与温度的关系可用阿仑纽斯方程，即斯方程，即 这种情况下，工作要点在于如何确这种情况下，工作要点在于如何确定函数中的各未知系数定函数中的各未知系数 ，4本讲稿第四页，共二十五页2.最小二乘法算法分类最小二乘法算法分类v不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是如不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。v最小二乘法按计算方法特点又分为最小二乘法按计算方法特点又分为线性线性最小二乘法和最小二乘法和非线性非线性最小二乘法。最小二乘法。5本讲稿第五页，共二十五页对于一元线性函数：对于一元线性函数：测定了测定了m个自变量值：个自变量值：和和m个应变量值：个应变量值：计算出计算出m个应变量值：个应变量值：定义误差：定义误差：3.线性最小二乘法线性最小二乘法 线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小二乘法线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小二乘法又分为又分为一元一元和和多元多元等不同情况。等不同情况。v 一元线性最小二乘法的方法概述一元线性最小二乘法的方法概述6本讲稿第六页，共二十五页欲使欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足最小，按极值的必要条件，要满足:由最小二乘法：设由最小二乘法：设3.线性最小二乘法线性最小二乘法7本讲稿第七页，共二十五页3.线性最小二乘法线性最小二乘法可推导出可推导出上式称为一元线性最小二乘法的上式称为一元线性最小二乘法的法方程法方程8本讲稿第八页，共二十五页4.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法v设系统共有设系统共有n个影响因子，得到个影响因子，得到m次实验数据。若可用多元线性函数拟合时，次实验数据。若可用多元线性函数拟合时，形式如下：形式如下：v若若k代表第代表第k次实验的数据，则相应的预测值表示为：次实验的数据，则相应的预测值表示为：v由最小二乘法设：由最小二乘法设：v欲使欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足最小，按极值的必要条件，要满足:9本讲稿第九页，共二十五页共共n个影响因子，有个影响因子，有m次实验数据，次实验数据，若若k代表第代表第k次实验的数据，则：次实验的数据，则：设多元线性函数：设多元线性函数：4.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法10本讲稿第十页，共二十五页则转化为以则转化为以 为未知数的方程组：为未知数的方程组：上式称为多元线性最小二乘法的法方程。解此方程组，可求出参数上式称为多元线性最小二乘法的法方程。解此方程组，可求出参数 ，因此拟合方程因此拟合方程 便可确定。便可确定。因此，要求：因此，要求：根据最小二乘原则：根据最小二乘原则：要使要使达到最小达到最小令：令：4.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法11本讲稿第十一页，共二十五页v 在应用最小二乘法曲线拟合时，通常遇到更多的是非线性函数。在应用最小二乘法曲线拟合时，通常遇到更多的是非线性函数。对比线性模型拟合，非线性模型拟合要困难的多。对比线性模型拟合，非线性模型拟合要困难的多。5.非线性最小二乘法非线性最小二乘法最好设法使模型转化为线性形式。有些非线性模型是不能变换成线性最好设法使模型转化为线性形式。有些非线性模型是不能变换成线性模型的，这时应该用直接非线性最小二乘法进行处理。模型的，这时应该用直接非线性最小二乘法进行处理。非线性模型拟合的二个途径非线性模型拟合的二个途径直接采用非线性拟合直接采用非线性拟合通过代换转化为线性关系通过代换转化为线性关系12本讲稿第十二页，共二十五页化工中常见的函数化工中常见的函数双曲线幂函数指数函数负指数函数对数函数S型曲线n次多项式5.非线性最小二乘法非线性最小二乘法13本讲稿第十三页，共二十五页双曲线双曲线令：代换方程为：14本讲稿第十四页，共二十五页幂函数幂函数两边取对数令：代换方程为：yxb1b=1b11a 15本讲稿第十五页，共二十五页指数函数指数函数两边取对数令：代换方程为：yxb0b0a16本讲稿第十六页，共二十五页xyb0b0a负负指数函数指数函数 令则代换方程为：17本讲稿第十七页，共二十五页yxb0b00对对数函数数函数 令则代换方程为：18本讲稿第十八页，共二十五页S型曲线型曲线变形后，令：代换方程为：yx1/a19本讲稿第十九页，共二十五页n次多项式次多项式令：代换方程为：20本讲稿第二十页，共二十五页6.非线性直接拟合非线性直接拟合有些非线性方程无法通过代换法转换成线性方程，则需要采有些非线性方程无法通过代换法转换成线性方程，则需要采用直接非线性最小二乘法用直接非线性最小二乘法 如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一-高斯牛顿法高斯牛顿法21本讲稿第二十一页，共二十五页 理论基础：理论基础：泰勒展开泰勒展开 对于非线性函数对于非线性函数若若 的近似值为的近似值为 ，误差为，误差为 ，则，则当初值给定时对非线性函数在初值当初值给定时对非线性函数在初值 附近作泰勒展开，并附近作泰勒展开，并略去略去 的二次以上的高次项，可以得到：的二次以上的高次项，可以得到：6.非线性直接拟合非线性直接拟合22本讲稿第二十二页，共二十五页其中：23本讲稿第二十三页，共二十五页由最小二乘法设 欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:则有以为未知数的方程组：令令24本讲稿第二十四页，共二十五页v将解此法方程所得到的第一套修正值将解此法方程所得到的第一套修正值 代入代入 可求得可求得 ，再用上述方法求得第二套修正值，再用上述方法求得第二套修正值 ，并求得，并求得 ，这样经过，这样经过n此迭代后，若此迭代后，若 小到一定程度，就逼近了真值。小到一定程度，就逼近了真值。即可确定。即可确定。25本讲稿第二十五页，共二十五页