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计算机图形学 2022/10/201本讲稿第一页，共八十六页第十章第十章 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/202本讲稿第二页，共八十六页第十章第十章 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/203本讲稿第三页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（1/20）曲线的表示形式曲线的表示形式 非参数表示非参数表示非参数表示非参数表示 显式表示显式表示显式表示显式表示 隐式表示隐式表示隐式表示隐式表示2022/10/204本讲稿第四页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（2/20）参数表示参数表示 参数的含义参数的含义参数的含义参数的含义 时间，距离，角度，比例等等时间，距离，角度，比例等等时间，距离，角度，比例等等时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间规范参数区间规范参数区间规范参数区间00，11 矢量表示形式矢量表示形式矢量表示形式矢量表示形式 例子：直线段的参数表示例子：直线段的参数表示例子：直线段的参数表示例子：直线段的参数表示2022/10/205本讲稿第五页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（3/20）显式或隐式表示存在下述问题：显式或隐式表示存在下述问题：（1 1）与坐标轴相关；）与坐标轴相关；）与坐标轴相关；）与坐标轴相关；（2 2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；（4 4）不便于计算机编程。）不便于计算机编程。）不便于计算机编程。）不便于计算机编程。（3 3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；参数化函数表示；参数化函数表示；参数化函数表示；2022/10/206本讲稿第六页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（4/20）参数表示的优点：参数表示的优点：参数表示的优点：参数表示的优点：1 1）以满足几何不变性的要求。）以满足几何不变性的要求。）以满足几何不变性的要求。）以满足几何不变性的要求。2 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 3 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5 5 5 5）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6 6 6 6）规格化的参数变量）规格化的参数变量）规格化的参数变量）规格化的参数变量t0,1t0,1t0,1t0,1，使其相应的几何分量是有界的，使其相应的几何分量是有界的，使其相应的几何分量是有界的，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。而不必用另外的参数去定义边界。而不必用另外的参数去定义边界。而不必用另外的参数去定义边界。（7 7 7 7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。2022/10/207本讲稿第七页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（5/20）参数表示与隐式表示的相互转换参数表示与隐式表示的相互转换参数表示与隐式表示的相互转换参数表示与隐式表示的相互转换 例子例子例子例子2022/10/208本讲稿第八页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（6/20）正则点正则点 导数不为零的点导数不为零的点导数不为零的点导数不为零的点正则曲线正则曲线 所有的点都是正则点的曲线所有的点都是正则点的曲线所有的点都是正则点的曲线所有的点都是正则点的曲线斜率斜率 直线的倾斜程度直线的倾斜程度直线的倾斜程度直线的倾斜程度一个坐标变量关于另一个坐标变量变化率一个坐标变量关于另一个坐标变量变化率2022/10/209本讲稿第九页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（7/20）切矢量切矢量 坐标变量关于参数的变化率坐标变量关于参数的变化率坐标变量关于参数的变化率坐标变量关于参数的变化率弧长弧长2022/10/2010本讲稿第十页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（8/20）弧长参数弧长参数弧长参数弧长参数 单位切矢量单位切矢量单位切矢量单位切矢量2022/10/2011本讲稿第十一页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（9/20）主法矢量主法矢量主法矢量主法矢量 主法矢量与切矢量垂直主法矢量与切矢量垂直主法矢量与切矢量垂直主法矢量与切矢量垂直 主法线主法线主法线主法线 副法矢量副法矢量副法矢量副法矢量 副法线副法线副法线副法线 FrenetFrenet标架标架标架标架2022/10/2012本讲稿第十二页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（10/20）曲率曲率曲率曲率 曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度 曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径 关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算2022/10/2013本讲稿第十三页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（11/20）2022/10/2014本讲稿第十四页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（12/20）参数连续性参数连续性传统的、严格的连续性传统的、严格的连续性 称曲线称曲线称曲线称曲线P=P(t)P=P(t)在在 处处n n阶参数连续，如果它在阶参数连续，如果它在阶参数连续，如果它在阶参数连续，如果它在 处处处处n n阶左右导数存在，并且满足阶左右导数存在，并且满足阶左右导数存在，并且满足阶左右导数存在，并且满足记号记号2022/10/2015本讲稿第十五页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（13/20）几何连续性几何连续性几何连续性几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性 0 0阶几何连续阶几何连续阶几何连续阶几何连续 称曲线称曲线称曲线称曲线P=P(t)P=P(t)在在在在 处处处处0 0阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在 处位置连续，即处位置连续，即处位置连续，即处位置连续，即 记为记为记为记为 1 1阶几何连续阶几何连续阶几何连续阶几何连续 称曲线称曲线称曲线称曲线P=P(t)P=P(t)在在在在 处处处处0 0阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在 处处处处 ,并且切矢并且切矢并且切矢并且切矢量方向连续量方向连续量方向连续量方向连续 记为记为记为记为2022/10/2016本讲稿第十六页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（14/20）2阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)P=P(t)在在 处处0 0阶几何连续，如果它阶几何连续，如果它阶几何连续，如果它阶几何连续，如果它在在在在 处处处处（1 1）（2 2）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续（3 3）曲率连续）曲率连续）曲率连续）曲率连续 例子例子例子例子 几何连续与参数连续的关系几何连续与参数连续的关系几何连续与参数连续的关系几何连续与参数连续的关系2022/10/2017本讲稿第十七页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（15/20）插值：插值：给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点P P P Pi i，i=0,1,i=0,1,i=0,1,i=0,1,n,n,n,n，构造，构造，构造，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为点进行插值，所构造的曲线称为点进行插值，所构造的曲线称为点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。插值曲线。插值曲线。插值曲线。线性插值：线性插值：线性插值：线性插值：假设给定函数假设给定函数假设给定函数假设给定函数f(x)f(x)f(x)f(x)在两个不同点在两个不同点在两个不同点在两个不同点x1x1x1x1和和和和x2x2x2x2的的的的值，用一个线形函数：值，用一个线形函数：值，用一个线形函数：值，用一个线形函数：y=ax+by=ax+by=ax+by=ax+b，近似代替，称为的线性，近似代替，称为的线性，近似代替，称为的线性，近似代替，称为的线性插值函数。插值函数。插值函数。插值函数。抛物线插值抛物线插值抛物线插值抛物线插值:已知在三个互异点已知在三个互异点已知在三个互异点已知在三个互异点x1,x2,x3x1,x2,x3x1,x2,x3x1,x2,x3的函数值为的函数值为的函数值为的函数值为y1,y2,y3y1,y2,y3y1,y2,y3y1,y2,y3，要求构造一个函数，要求构造一个函数，要求构造一个函数，要求构造一个函数2022/10/2018本讲稿第十八页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（16/20）使抛物线使抛物线使抛物线使抛物线 在结点在结点在结点在结点x x x xi i i i处与处与处与处与f(x)f(x)在在在在x x x xi i i i处的值相等处的值相等处的值相等处的值相等.2022/10/2019本讲稿第十九页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（17/20）逼近和光顺逼近和光顺逼近和光顺逼近和光顺 逼近：逼近：逼近：逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近构造一条曲线使之在某种意义下最接近构造一条曲线使之在某种意义下最接近构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。插值和逼近则统称为拟合。插值和逼近则统称为拟合。插值和逼近则统称为拟合。光光顺顺(Firing)(Firing)指指指指曲曲曲曲线线线线的的的的拐拐拐拐点点点点不不不不能能能能太太太太多多多多。对对对对平平平平面面面面曲曲曲曲线而言，相对光顺的条件是：线而言，相对光顺的条件是：线而言，相对光顺的条件是：线而言，相对光顺的条件是：a.a.a.a.具有二阶几何连续性具有二阶几何连续性具有二阶几何连续性具有二阶几何连续性(G(G(G(G2 2 2 2)；b.b.b.b.不存在多余拐点和奇异点；不存在多余拐点和奇异点；不存在多余拐点和奇异点；不存在多余拐点和奇异点；c.c.c.c.曲率变化较小。曲率变化较小。曲率变化较小。曲率变化较小。2022/10/2020本讲稿第二十页，共八十六页参数曲线基础（参数曲线基础（17/20）参数化参数化 参参参参数数数数t,t,在在在在0,0,11区区区区间间间间的的的的分分分分割割割割可可可可以以以以有有有有无无无无数数数数种种种种。因因因因为为为为P P P P0 0、P P P P1 1 1 1和和和和P P P P2 2 2 2可对应：可对应：其中每个参数值称为节点其中每个参数值称为节点其中每个参数值称为节点其中每个参数值称为节点(knot)(knot)(knot)(knot)。对于一组有序的型值点对于一组有序的型值点对于一组有序的型值点对于一组有序的型值点PiPiPiPi，确定一种参数分割，确定一种参数分割，确定一种参数分割，确定一种参数分割titititi，称之对这组型值点参数化。，称之对这组型值点参数化。，称之对这组型值点参数化。，称之对这组型值点参数化。2022/10/2021本讲稿第二十一页，共八十六页参数化常用方法有：参数化常用方法有：均匀参数化均匀参数化均匀参数化均匀参数化(等距参数化等距参数化等距参数化等距参数化)节点在参数轴上呈等距分布，节点在参数轴上呈等距分布，节点在参数轴上呈等距分布，节点在参数轴上呈等距分布，+正常数。正常数。正常数。正常数。累加弦长参数化累加弦长参数化 这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。数化所出现的问题。数化所出现的问题。数化所出现的问题。参数曲线基础（参数曲线基础（18/20）2022/10/2022本讲稿第二十二页，共八十六页向心参数化法向心参数化法向向向向心心心心参参参参数数数数化化化化法法法法假假假假设设设设在在在在一一一一段段段段曲曲曲曲线线线线弧弧弧弧上上上上的的的的向向向向心心心心力力力力与与与与曲曲曲曲线线线线切切切切矢矢矢矢从从从从该该该该弧弧弧弧段段段段始始始始端端端端至至至至末末末末端端端端的的的的转转转转角角角角成成成成正正正正比比比比，加加加加上上上上一一一一些些些些简简简简化化化化假假假假设设设设，得得得得到到到到向向向向心心心心参参参参数数数数化化化化法法法法。此此此此法法法法尤尤尤尤其其其其适适适适用于非均匀型值点分布。用于非均匀型值点分布。用于非均匀型值点分布。用于非均匀型值点分布。参数曲线基础（参数曲线基础（19/20）2022/10/2023本讲稿第二十三页，共八十六页修正弦长参数化法修正弦长参数化法 弦长修正系数弦长修正系数弦长修正系数弦长修正系数Ki=1Ki=1Ki=1Ki=1。参数曲线基础（参数曲线基础（20/20）2022/10/2024本讲稿第二十四页，共八十六页第十章第十章 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/2025本讲稿第二十五页，共八十六页参数多项式曲线（参数多项式曲线（1/5）为什么采用参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线 表示最简单表示最简单表示最简单表示最简单理论和应用最成熟理论和应用最成熟定义定义-n次多项式曲线次多项式曲线2022/10/2026本讲稿第二十六页，共八十六页参数多项式曲线（参数多项式曲线（2/5）矢量表示形式矢量表示形式矢量表示形式矢量表示形式 加权和形式加权和形式加权和形式加权和形式 缺点缺点缺点缺点 没有明显的几何意义没有明显的几何意义没有明显的几何意义没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难2022/10/2027本讲稿第二十七页，共八十六页参数多项式曲线（参数多项式曲线（3/5）矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示 矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解 几何矩阵几何矩阵几何矩阵几何矩阵 控制顶点控制顶点控制顶点控制顶点 基矩阵基矩阵基矩阵基矩阵MM 确定了一组基函数确定了一组基函数确定了一组基函数确定了一组基函数2022/10/2028本讲稿第二十八页，共八十六页参数多项式曲线（参数多项式曲线（4/5）例子例子直线段的矩阵表示直线段的矩阵表示直线段的矩阵表示直线段的矩阵表示P0P1P0+P12022/10/2029本讲稿第二十九页，共八十六页参数多项式曲线（参数多项式曲线（5/5）参数多项式曲线的生成参数多项式曲线的生成 HornerHorner算法算法算法算法参数离散参数离散计算型值点计算型值点连接型值点连接型值点折线折线2022/10/2030本讲稿第三十页，共八十六页第十章第十章 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/2031本讲稿第三十一页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(1/7)定义定义 给定给定给定给定4 4个矢量个矢量 ，称满足条件的三次，称满足条件的三次多项式曲线多项式曲线P(t)为为Hermite曲线曲线曲线曲线P0P1R0R12022/10/2032本讲稿第三十二页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(2/7)矩阵表示矩阵表示 条件条件条件条件2022/10/2033本讲稿第三十三页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(3/7)合并合并合并合并 解（不唯一）解（不唯一）解（不唯一）解（不唯一）2022/10/2034本讲稿第三十四页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(4/7)基矩阵与基函数（调和函数）基矩阵与基函数（调和函数）2022/10/2035本讲稿第三十五页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(5/7)形状控制形状控制 改变端点位置矢量改变端点位置矢量改变端点位置矢量改变端点位置矢量 调节切矢量调节切矢量调节切矢量调节切矢量 的方向的方向的方向的方向2022/10/2036本讲稿第三十六页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(6/7)调节切矢量调节切矢量调节切矢量调节切矢量 的长度的长度的长度的长度 控制顶点控制顶点控制顶点控制顶点 几何变换几何变换几何变换几何变换 对曲线变换等价于对控制顶点变换对曲线变换等价于对控制顶点变换对曲线变换等价于对控制顶点变换对曲线变换等价于对控制顶点变换例子：例子：Photoshop2022/10/2037本讲稿第三十七页，共八十六页三次三次Hermite曲线曲线(7/7)三次参数样条曲线三次参数样条曲线 样条样条样条样条?曲线的定义曲线的定义曲线的定义曲线的定义 给定参数节点给定参数节点给定参数节点给定参数节点 ，型值点，型值点，型值点，型值点 ，求一条，求一条，求一条，求一条 的的的的分段三次参数曲线分段三次参数曲线分段三次参数曲线分段三次参数曲线 ，使，使，使，使 。P(t)P(t)称为三次参数样条曲线称为三次参数样条曲线称为三次参数样条曲线称为三次参数样条曲线 表达式求法？表达式求法？表达式求法？表达式求法？例子：例子：Photoshop2022/10/2038本讲稿第三十八页，共八十六页第十张第十张 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/2039本讲稿第三十九页，共八十六页Bezier曲线（曲线（1/24）Bezier基函数的定义 如下如下n n次多项式称为次多项式称为n n次BezierBezier基函数基函数2022/10/2040本讲稿第四十页，共八十六页Bezier曲线（曲线（2/24）Bezier基函数的性质 正性正性权性2022/10/2041本讲稿第四十一页，共八十六页Bezier曲线（曲线（3/24）对称性 降阶公式降阶公式2022/10/2042本讲稿第四十二页，共八十六页Bezier曲线（曲线（4/24）升阶公式升阶公式 导数导数2022/10/2043本讲稿第四十三页，共八十六页Bezier曲线（曲线（5/24）积分 最大值最大值 在在t=i/nt=i/n处取得最大值处取得最大值 线性无关性线性无关性 是是n n次多项式空间的一组基次多项式空间的一组基2022/10/2044本讲稿第四十四页，共八十六页Bezier曲线（曲线（6/24）Bezier曲线的定义曲线的定义 n n次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线P P（t t）称为）称为）称为）称为n n次次次次BezierBezier曲线曲线曲线曲线 控制顶点控制顶点控制顶点控制顶点控制多边形控制多边形2022/10/2045本讲稿第四十五页，共八十六页Bezier曲线（曲线（7/24）Bezier曲线的性质曲线的性质 端点位置端点位置端点位置端点位置2022/10/2046本讲稿第四十六页，共八十六页Bezier曲线（曲线（8/24）端点切矢量端点切矢量 导数曲线导数曲线2022/10/2047本讲稿第四十七页，共八十六页Bezier曲线（曲线（9/24）端点曲率端点曲率端点曲率端点曲率 曲率公式曲率公式曲率公式曲率公式2022/10/2048本讲稿第四十八页，共八十六页Bezier曲线（曲线（10/24）仿射不变性仿射不变性 表达式表达式表达式表达式 几何属性：形状，曲率等等几何属性：形状，曲率等等几何属性：形状，曲率等等几何属性：形状，曲率等等2022/10/2049本讲稿第四十九页，共八十六页Bezier曲线（曲线（11/24）凸包性凸包性凸包性凸包性 凸集凸集凸集凸集 凹集凹集凹集凹集 点集的凸包点集的凸包点集的凸包点集的凸包 包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集 BezierBezier曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内2022/10/2050本讲稿第五十页，共八十六页Bezier曲线（曲线（12/24）直线再生性直线再生性直线再生性直线再生性 平面曲线的保凸性平面曲线的保凸性平面曲线的保凸性平面曲线的保凸性平面曲线的变差缩减性平面曲线的变差缩减性2022/10/2051本讲稿第五十一页，共八十六页Bezier曲线（曲线（13/24）拟局部性拟局部性 形状的易控性形状的易控性形状的易控性形状的易控性2022/10/2052本讲稿第五十二页，共八十六页Bezier曲线（曲线（14/24）三次三次Bezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示2022/10/2053本讲稿第五十三页，共八十六页Bezier曲线（曲线（15/24）De Casteljau算法算法 问题问题问题问题给定参数给定参数给定参数给定参数 ，计算，计算，计算，计算tP(t)2022/10/2054本讲稿第五十四页，共八十六页Bezier曲线（曲线（16/24）算法算法 计算过程计算过程计算过程计算过程2022/10/2055本讲稿第五十五页，共八十六页Bezier曲线（曲线（17/24）几何解释几何解释2022/10/2056本讲稿第五十六页，共八十六页Bezier曲线（曲线（18/24）分割定理分割定理 问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达式如何？式如何？式如何？式如何？P=Q+R2022/10/2057本讲稿第五十七页，共八十六页Bezier曲线（曲线（19/24）几何解释几何解释几何解释几何解释2022/10/2058本讲稿第五十八页，共八十六页Bezier曲线（曲线（20/24）离散生成算法离散生成算法 想法想法想法想法2022/10/2059本讲稿第五十九页，共八十六页Bezier曲线（曲线（21/24）程序程序程序程序void DisplayBezierCurve(Vector P,int n,float DELTA)void DisplayBezierCurve(Vector P,int n,float DELTA)if(Distance(P,n)=DELTA)if(Distance(P,n)=DELTA)显示控制多边形显示控制多边形显示控制多边形显示控制多边形P P；elseelse BezierCurveSplitting(P,Q,R,n);BezierCurveSplitting(P,Q,R,n);DisplayBezierCurve(Q,n,DELTADisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）；）；）；）；DisplayBezierCurve(R,n,DELTADisplayBezierCurve(R,n,DELTA）；）；）；）；2022/10/2060本讲稿第六十页，共八十六页Bezier曲线（曲线（22/24）计算距离计算距离计算距离计算距离2022/10/2061本讲稿第六十一页，共八十六页Bezier曲线（曲线（23/24）曲线的拼接曲线的拼接2022/10/2062本讲稿第六十二页，共八十六页Bezier曲线（曲线（24/24）条件条件 条件条件条件条件 条件？条件？条件？条件？Bezier曲线拼接的例子：曲线拼接的例子：PhotoShop2022/10/2063本讲稿第六十三页，共八十六页第十张第十张 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/2064本讲稿第六十四页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(1/7)曲面的表示形式曲面的表示形式 非参数表示非参数表示非参数表示非参数表示 显式表示显式表示显式表示显式表示 隐式表示隐式表示隐式表示隐式表示2022/10/2065本讲稿第六十五页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(2/7)参数表示参数表示参数表示参数表示2022/10/2066本讲稿第六十六页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(3/7)等参数曲线等参数曲线 一个参数固定，一个参数自由变化一个参数固定，一个参数自由变化一个参数固定，一个参数自由变化一个参数固定，一个参数自由变化 UU曲线曲线曲线曲线 VV曲线曲线曲线曲线切矢量切矢量切平面切平面法矢量法矢量2022/10/2067本讲稿第六十七页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(4/7)参数多项式曲面的定义参数多项式曲面的定义 系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵2022/10/2068本讲稿第六十八页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(5/7)矩阵表示2022/10/2069本讲稿第六十九页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(6/7)2022/10/2070本讲稿第七十页，共八十六页参数多项式曲面参数多项式曲面(7/7)参数多项式曲面的生成参数多项式曲面的生成2022/10/2071本讲稿第七十一页，共八十六页第十张第十张 曲线与曲面曲线与曲面参数曲线基础参数曲线基础参数多项式曲线参数多项式曲线三次三次Hermite曲线曲线Bezier曲线曲线参数多项式曲面参数多项式曲面Bezier曲面曲面2022/10/2072本讲稿第七十二页，共八十六页Bezier曲面曲面Bezier曲面的定义控制定点控制网格2022/10/2073本讲稿第七十三页，共八十六页Bezier曲面曲面Bezier曲面的性质边界线2022/10/2074本讲稿第七十四页，共八十六页Bezier曲面曲面角点位置2022/10/2075本讲稿第七十五页，共八十六页Bezier曲面曲面 角点切平面角点切平面 角点法矢量角点法矢量2022/10/2076本讲稿第七十六页，共八十六页Bezier曲面曲面凸包性 BezierBezier曲面包含在其控制顶点的凸包之内曲面包含在其控制顶点的凸包之内 平面再生性平面再生性 仿射不变性仿射不变性 拟局部性拟局部性2022/10/2077本讲稿第七十七页，共八十六页Bezier曲面曲面离散生成算法 De CasteljauDe Casteljau算法算法给定给定 ，计算型值点计算型值点uv2022/10/2078本讲稿第七十八页，共八十六页Bezier曲面曲面2022/10/2079本讲稿第七十九页，共八十六页Bezier曲面曲面计算过程2022/10/2080本讲稿第八十页，共八十六页Bezier曲面曲面2022/10/2081本讲稿第八十一页，共八十六页Bezier曲面曲面分割定理2022/10/2082本讲稿第八十二页，共八十六页Bezier曲面曲面2022/10/2083本讲稿第八十三页，共八十六页Bezier曲面曲面2022/10/2084本讲稿第八十四页，共八十六页习题习题8、将如下抛物线表示成、将如下抛物线表示成Hermite曲线的形曲线的形式。式。9、将下面的二次参数多项式曲线转换为、将下面的二次参数多项式曲线转换为Bezier曲线的表示形式。曲线的表示形式。2022/10/2085本讲稿第八十五页，共八十六页谢谢大家，下课了，谢谢大家，下课了，出去散散心吧出去散散心吧本讲稿第八十六页，共八十六页