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高三数学轨迹方程本讲稿第一页，共二十八页77圆锥曲线 轨迹方程 本讲稿第二页，共二十八页基本知识概要：基本知识概要：一、求轨迹的一般方法：一、求轨迹的一般方法：1直接法直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖挖”与与“补补”。2定义法：定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。本讲稿第三页，共二十八页3.代入法代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点的动点P(x,y)却随另一动点却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，的运动而有规律的运动，且动点且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为表示为x,y的式子，再代入的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代的轨迹方程，代入法也称相关点法。入法也称相关点法。4.参数法参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。的轨迹方程。本讲稿第四页，共二十八页5.交轨法交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6.几何法几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。点的轨迹方程。7.待定系数法待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求待定系数法求.8.点差法点差法：求：求圆锥圆锥曲曲线线中点弦中点弦轨轨迹迹问题时问题时，常把两个，常把两个 端点端点设为设为 并代入圆锥曲线方程，并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。然而作差求出曲线的轨迹方程。本讲稿第五页，共二十八页二、注意事项：二、注意事项：1直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式定义；代入法要设法找到关系式x=f(x,y),y=g(x,y);参数法参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。属性、找到等量关系。2要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。本讲稿第六页，共二十八页典型例题选讲典型例题选讲本讲稿第七页，共二十八页一、直接法题型：一、直接法题型：例例1 已知直角坐已知直角坐标标系中，点系中，点Q（2，0），），圆圆C的方程的方程为为 ，动点，动点M到圆到圆C的切线长与的切线长与 的的比等于常数比等于常数 ，求动点，求动点M的轨迹的轨迹。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。练习练习：（待定系数法：（待定系数法题题型）型）在在中，中，且，且的面的面积为积为1，建立适当的坐，建立适当的坐标标系，求以系，求以M，N为为焦点，焦点，且且过过点点P的的椭圆椭圆方程。方程。本讲稿第八页，共二十八页二、定二、定义义法法题题型：型：例例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到运到P处，其中处，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，问怎能样运，问怎能样运才能最省工？才能最省工？练习练习：已知圆已知圆O的方程为的方程为 x2+y2=100,点点A的坐标为的坐标为（-6，0），），M为圆为圆O上任一点，上任一点，AM的垂直平分线交的垂直平分线交OM于点于点P，求点，求点P的方程。的方程。本讲稿第九页，共二十八页三、代入法题型：三、代入法题型：例例3 如图，从双曲线如图，从双曲线x2-y2=1上一点上一点Q引直线引直线x+y=2的垂线，垂足为的垂线，垂足为N。求线段。求线段QN的中点的中点P的轨迹方程。的轨迹方程。练习练习：已知曲线方程：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关分别求此曲线关于原点，关于于x轴，关于轴，关于y轴，关于直线轴，关于直线y=x，关于直线，关于直线y=-x，关于直，关于直线线y=3对称的曲线方程。对称的曲线方程。本讲稿第十页，共二十八页四、参数法与点差法题型：四、参数法与点差法题型：例例4 经过抛物线经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点的顶点A作互相垂直的作互相垂直的两直线分别交抛物线于两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段两点，求线段BC的中点的中点M轨迹轨迹方程。方程。五、交轨法与几何法题型五、交轨法与几何法题型例例5 抛物抛物线线 的顶点作互相垂直的的顶点作互相垂直的两弦两弦OA、OB，求抛物线的顶点，求抛物线的顶点O在直线在直线AB上的射上的射影影M的轨迹。（考例的轨迹。（考例5）说明：说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。法实际上是参数法中的一种特殊情况。本讲稿第十一页，共二十八页六、点差法：六、点差法：例例6（2004年福建，年福建，22）如）如图图，P是抛物是抛物线线C：上一点，直上一点，直线线 过点过点P且与抛物线且与抛物线C交于另一点交于另一点Q。若直线若直线 与过点与过点P的切线垂直，求线段的切线垂直，求线段PQ中点中点M的的轨迹方程。（图见教材轨迹方程。（图见教材P129页例页例2）。）。说明：说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。本讲稿第十二页，共二十八页小结本讲稿第十三页，共二十八页一、求轨迹的一般方法：一、求轨迹的一般方法：1直接法，直接法，2定义法，定义法，3代入法，代入法，4参数法，参数法，5交轨法，交轨法，6几何法，几何法，7.待定系数法，待定系数法，8.点差法。点差法。二、注意事项：二、注意事项：1直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式动用定义；化入法要设法找到关系式x=f(x,y),y=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。法要挖掘几何属性、找到等量关系。2要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。出来后，要注意挖去或补上一些点等。本讲稿第十四页，共二十八页课 前 热 身本讲稿第十五页，共二十八页y=0(x1)1.动动点点P到到定定点点(-1，0)的的距距离离与与到到点点(1，0)距距离离之之差差为为2，则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.2.已已知知OP与与OQ是是关关于于y轴轴对对称称，且且2OPOQ=1，则则点点P(x、y)的轨迹方程是的轨迹方程是_3.与与圆圆x2+y2-4x=0外外切切，且且与与y轴轴相相切切的的动动圆圆圆圆心心的的轨轨迹迹方方程是程是_.-2x2+y2=1y2=8x(x0)或或y=0(x0)本讲稿第十六页，共二十八页4.ABC的的顶顶点点为为A(0，-2)，C(0，2)，三三边边长长a、b、c成成等等差数列，公差差数列，公差d0；则动点；则动点B的轨迹方程为的轨迹方程为_.5.动动点点M(x,y)满满足足 则则点点M轨轨迹迹是是()(A)圆圆 (B)双双曲曲线线 (C)椭椭圆圆 (D)抛抛物物线线返回返回D本讲稿第十七页，共二十八页 6.当当0,/2时时，抛抛物物线线y=x2-4xsin-cos 2的的顶顶点点的的轨轨迹方程是迹方程是_7.已已知知线线段段AB的的两两个个端端点点A、B分分别别在在x轴轴、y轴轴上上滑滑动动，|AB|=3，点点P是是AB上上 一一 点点，且且|AP|=1，则则 点点P的的轨迹方程是轨迹方程是_8.过过原原点点的的动动椭椭圆圆的的一一个个焦焦点点为为F(1，0)，长长轴轴长长为为4，则动椭圆中心的轨迹方程为，则动椭圆中心的轨迹方程为_X2=-2y-2本讲稿第十八页，共二十八页返回返回 9.9.已知已知A+B+C=0A+B+C=0，则直线，则直线Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A、B B、CR)CR)被抛物线被抛物线y2=2xy2=2x所截线段中点所截线段中点M M的轨迹方程是的轨迹方程是()()(A)y2+y-x+1=0(A)y2+y-x+1=0(B)y2-(B)y2-y-x+1=0y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0(C)y2+y+x+1=0(D)y2-y-x-1=0(D)y2-y-x-1=0B B本讲稿第十九页，共二十八页能力思维方法【解解题题回回顾顾】求求动动点点轨轨迹迹时时应应注注意意它它的的完完备备性性与与纯纯粹粹性性化化简简过过程程破破坏坏了了方方程程的的同同解解性性，要要注注意意补补上上遗遗漏漏的的点点或或者者要要挖挖去去多多余余的的点点.“轨轨迹迹”与与“轨轨迹迹方方程程”是是两两个个不不同同的的概概念念，前前者者要要指指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围包括范围)1.设设动动直直线线l垂垂直直于于x轴轴，且且与与椭椭圆圆x2+2y2=4交交于于A、B两两点点，P是是l 上满足上满足PAPB=1的点，求点的点，求点P的轨迹方程的轨迹方程本讲稿第二十页，共二十八页【解解解解题题题题回回回回顾顾顾顾】本本本本题题题题的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹方方方方程程程程是是是是利利利利用用用用直直直直接接接接法法法法求求求求得得得得，注注注注意意意意x x的的的的取取取取值值值值范范范范围围围围的求法的求法的求法的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值.2.2.已已已已知知知知两两两两点点点点，MM(-1(-1，0)0)，N N(1(1，0)0)，且且且且点点点点P P使使使使MPMP MNMN，PMPN PMPN,NMNPNMNP成成成成公公公公差差差差小小小小于于于于零零零零的的的的等等等等差差差差数数数数列列列列，(1)(1)求求求求点点点点P P的的的的转转转转迹迹迹迹方方方方程程程程.(2).(2)若点若点若点若点P P坐标为坐标为坐标为坐标为(x x0 0,y y0 0)，若，若，若，若 为为为为PMPM与与与与PNPN的夹角，求的夹角，求的夹角，求的夹角，求tantan.本讲稿第二十一页，共二十八页【解解题题分分析析】本本例例中中动动点点M的的几几何何特特征征并并不不是是直直接接给给定定的的，而而是是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的3.一一圆圆被被两两直直线线x+2y=0，x-2y=0截截得得的的弦弦长长分分别别为为8和和4，求求动动圆圆圆心的轨迹方程圆心的轨迹方程本讲稿第二十二页，共二十八页【解题回顾】此题中动点【解题回顾】此题中动点【解题回顾】此题中动点【解题回顾】此题中动点P P(x,y)(x,y)是随着动点是随着动点是随着动点是随着动点Q(xQ(x1 1 ,y,y1 1)的运动而运动的，而的运动而运动的，而的运动而运动的，而的运动而运动的，而Q Q点点点点在已知曲线在已知曲线在已知曲线在已知曲线C C上，因此只上，因此只上，因此只上，因此只要将要将要将要将x x1 1，y y1 1用用用用x x、y y表示后表示后表示后表示后代代代代入入入入曲曲曲曲线线线线C C方方方方程程程程中中中中，即即即即可可可可得得得得P P点点点点的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹方方方方程程程程.这这这这种种种种求求求求轨轨轨轨迹迹迹迹的方法称为相关点法的方法称为相关点法的方法称为相关点法的方法称为相关点法(又称代入法又称代入法又称代入法又称代入法).).4.点点Q为为双双曲曲线线x2-4y2=16上上任任意意一一点点，定定点点A(0，4)，求求内内分分AQ所成比所成比为为12的点的点P的的轨轨迹方程迹方程本讲稿第二十三页，共二十八页5.M是是抛抛物物线线y2=x上上一一动动点点，以以OM为为一一边边(O为为原原点点)，作作正方形正方形MNPO，求动点，求动点P的轨迹方程的轨迹方程.【解题回顾】再次体会相关【解题回顾】再次体会相关点求轨迹方程的实质，就是点求轨迹方程的实质，就是用所求动点用所求动点P的坐标表达式的坐标表达式(即含有即含有x、y的表达式的表达式)表示表示已知动点已知动点M的坐标的坐标(x0,y0)，即得到即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)，再再将将x0,y0的的表表达达式式代代入入点点M的的方方程程F(x0,y0)=0中中，即即得得所所求求.本讲稿第二十四页，共二十八页6.过过椭椭圆圆x2/9+y2/4=1内内一一定定点点(1，0)作作弦弦，求求诸诸弦弦中中点点的的轨迹方程轨迹方程【解题回顾】解一求出【解题回顾】解一求出 后不必求后不必求y0，直接，直接利利用用点点P(x0,y0)在在直直线线y=k(x-1)上上消消去去k.解解二二中中把把弦弦的的两两端端点点坐坐标标分分别别代代入入曲曲线线方方程程后后相相减减，则则弦弦的的斜斜率率可可用用中中点点坐坐标标来来表表示示，这这种种方方法法在在解解有有关关弦弦中中点点问问题题时时较为简便，但是要注意这样的弦的存在性较为简便，但是要注意这样的弦的存在性本讲稿第二十五页，共二十八页【解题回顾】本题由题设【解题回顾】本题由题设OMAB、OAOB及作差法求直线及作差法求直线AB的斜率，的斜率，来来寻寻找找各各参参数数间间关关系系，利利用用代代换换及及整整体体性性将将参参数数消消去去从从而而获获得得M点的轨迹方程点的轨迹方程.7.过过抛抛物物线线y2=4x的的顶顶点点O作作相相互互垂垂直直的的弦弦OA，OB，求求抛抛物物线顶点线顶点O在在AB上的射影上的射影M的轨迹方程的轨迹方程.返回返回本讲稿第二十六页，共二十八页延伸拓展【解题回顾】【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情况，本小题是由条件求出定值，由定值的取值情况，由定义法求得轨迹方程由定义法求得轨迹方程.(2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间的联系，本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得的范围的范围1.已已知知动动点点P与与双双曲曲线线x2/2-y2/3=1的的两两个个焦焦点点F1、F2的的距距离离之之和和为定值，且为定值，且cosF1PF2的最小值为的最小值为-1/9.(1)求动点求动点P的轨迹方程；的轨迹方程；(2)若已知若已知D(0，3)，M、N在动点在动点P的轨迹上且的轨迹上且DM=DN,求实数求实数的取值范围的取值范围.返回返回本讲稿第二十七页，共二十八页【解解题题回回顾顾】本本小小题题充充分分利利用用了了三三角角形形垂垂心心这这一一已已知知条条件件由由ADBC得得A、D坐坐标标相相同同.由由BHAC建建立立等等量量关关系系同同时时注意轨迹的横纯粹性与完备性。注意轨迹的横纯粹性与完备性。返回返回2.在在ABC中中，已已知知B(-3，0)，C(3，0)，ADBC于于D，ABC的垂心的垂心H分有向线段分有向线段AD所成的比为所成的比为1/8.(1)求点求点H的轨迹方程；的轨迹方程；(2)设设P(-1，0)，Q(1，0)那那么么 能能成成等等差差数列吗数列吗?为什么为什么?本讲稿第二十八页，共二十八页