高中数学 直线平面垂直的判定及其性质精选文档.ppt

高中数学高中数学 直直线线平面平面垂直的判定及其性垂直的判定及其性质质本讲稿第一页，共五十二页1直线与平面垂直直线与平面垂直(1)定定义义：如如果果直直线线l与与平平面面内内的的_直直线线都都垂垂直，则直线直，则直线l与平面与平面垂直垂直(2)判判定定定定理理：一一条条直直线线与与一一个个平平面面内内的的两两条条_直直线都垂直，则该直线与此平面垂直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_任意一条任意一条相交相交平行平行本讲稿第二页，共五十二页2二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二二面面角角：从从一一条条直直线线出出发发的的_所所组组成成的的图形叫做二面角图形叫做二面角(2)二二面面角角的的平平面面角角：以以二二面面角角的的棱棱上上任任一一点点为为端端点点，在在两两个个半半平平面面内内分分别别作作_的的两两条条射射线线，这这两两条条射射线线所成的角叫做二面角的平面角所成的角叫做二面角的平面角3平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定定义义：如如果果两两个个平平面面所所成成的的二二面面角角是是_，就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直 两个半平面两个半平面垂直于棱垂直于棱直二面角直二面角本讲稿第三页，共五十二页(2)判判定定定定理理：一一个个平平面面过过另另一一个个平平面面的的_，则则这这两个平面垂直两个平面垂直(3)性性 质质 定定 理理：两两 个个 平平 面面 垂垂 直直，则则 一一 个个 平平 面面 内内_的直线与另一个平面垂直的直线与另一个平面垂直4直线和平面所成的角直线和平面所成的角(1)平平面面的的一一条条斜斜线线和和它它在在_所所成成的的锐锐角角叫叫做这条直线和这个平面所成的角做这条直线和这个平面所成的角(2)当当直直线线与与平平面面垂垂直直和和平平行行(或或直直线线在在平平面面内内)时时，规规定直线和平面所成的角分别为定直线和平面所成的角分别为_ 垂线垂线垂直于交线垂直于交线平面上的射影平面上的射影90和和0本讲稿第四页，共五十二页1一一条条直直线线和和一一个个平平面面内内的的无无数数条条直直线线都都垂垂直直，可可以以说这条直线和这个平面垂直吗？说这条直线和这个平面垂直吗？【提提示示】不不可可以以如如果果这这无无数数条条直直线线是是平平行行的的，则则这这条直线和这个平面的位置关系不确定条直线和这个平面的位置关系不确定2两两条条直直线线和和一一个个平平面面所所成成的的角角相相等等，这这两两条条直直线线有有什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？【提提示示】这这两两条条直直线线平平行行或或相相交交或或异异面面；垂垂直直于于同同一一个平面的两个平面可能平行，也可能相交个平面的两个平面可能平行，也可能相交 本讲稿第五页，共五十二页1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)给出下列四个命题：给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若若一一个个平平面面内内有有无无数数条条直直线线与与另另一一个个平平面面都都平平行行，那那么这两个平面相互平行；么这两个平面相互平行；若若一一条条直直线线垂垂直直于于一一个个平平面面内内的的任任一一直直线线，那那么么这这条条直线垂直于这个平面直线垂直于这个平面其中真命题的个数是其中真命题的个数是()A1B2C3D4本讲稿第六页，共五十二页【解解析析】由由线线面面垂垂直直的的性性质质定定理理知知正正确确；由由线线面面垂垂直的定义知直的定义知正确，故选正确，故选B.【答案】【答案】B本讲稿第七页，共五十二页2已已知知直直线线a，b和和平平面面，且且ab，a，则则b与与的的位置关系为位置关系为()Ab BbCb或或b Db与与相交相交【解解析析】由由ab，a知知b 或或b，但但直直线线b不不与与相交相交【答案】【答案】C本讲稿第八页，共五十二页【答案】【答案】D本讲稿第九页，共五十二页本讲稿第十页，共五十二页【解解析析】A显显然然正正确确，根根据据面面面面垂垂直直的的判判定定，B正正确确对对于于命命题题C，设设m，n，在在平平面面内内取取一一点点P不不在在l上上，过过P作作直直线线a，b，使使am，bn.，am，则则a，al，同同理理有有bl.又又abP，a，b，l.故命题故命题C正确正确对对于于命命题题D，设设l，则则l，且且l.故故在在内内存存在在直直线不垂直于平面线不垂直于平面，即命题，即命题D错误错误【答案】【答案】D本讲稿第十一页，共五十二页5(2012浙浙江江高高考考)设设l是是直直线线，是是两两个个不不同同的的平平面面()A若若l，l，则，则B若若l，l，则，则C若若，l，则，则lD若若，l，则，则l本讲稿第十二页，共五十二页【解解析析】设设a，若若直直线线la，且且l，l，则则l，l，因因此此不不一一定定平平行行于于，故故A错错误误；由由于于l，故故在在内内存存在在直直线线ll，又又因因为为l，所所以以l，故故，所所以以B正正确确；若若，在在内内作作交交线线的的垂垂线线l，则则l，此此时时l在在平平面面内内，因因此此C错错误误；已已知知，若若a，la，且且l不不在在平面平面，内，则内，则l且且l，因此，因此D错误错误【答案】【答案】B 本讲稿第十三页，共五十二页本讲稿第十四页，共五十二页本讲稿第十五页，共五十二页【尝尝试试解解答答】(1)因因为为AB平平面面PAD，PH平平面面PAD，所以所以PHAB.因为因为PH为为PAD中中AD边上的高，所以边上的高，所以PHAD.因因为为PH 平平面面ABCD，ABADA，AB，AD平平面面ABCD，所以所以PH平面平面ABCD.本讲稿第十六页，共五十二页本讲稿第十七页，共五十二页本讲稿第十八页，共五十二页1证证明明直直线线和和平平面面垂垂直直的的常常用用方方法法有有：(1)判判定定定定理理；(2)垂垂直直于于平平面面的的传传递递性性(ab，ab)；(3)面面面面平平行行的性质的性质(a，a)(4)面面垂直的性质面面垂直的性质2证证明明线线面面垂垂直直的的核核心心是是证证线线线线垂垂直直，而而证证明明线线线线垂垂直直则则需需借借助助线线面面垂垂直直的的性性质质因因此此，判判定定定定理理与与性性质质定定理理的的合理转化是证明线面垂直的基本思想合理转化是证明线面垂直的基本思想3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直线面垂直的性质，常用来证明线线垂直本讲稿第十九页，共五十二页【解解】(1)证证明明由由条条件件知知四四边边形形PDAQ为为直直角角梯梯形形因为因为QA平面平面ABCD，所以，所以QADC，又四边形又四边形ABCD为正方形，为正方形，DCAD，又，又QAADA，所以所以DC平面平面PDAQ，可得，可得PQDC.本讲稿第二十页，共五十二页本讲稿第二十一页，共五十二页【思路点拨】【思路点拨】(1)证明证明DC1平面平面BDC.(2)先先求求四四棱棱锥锥BDACC1的的体体积积，再再求求三三棱棱柱柱ABCA1B1C1的体积的体积本讲稿第二十二页，共五十二页【尝尝试试解解答答】(1)由由题题设设知知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以，所以BC平面平面ACC1A1.又又DC1平面平面ACC1A1，所以，所以DC1BC.由由题题设设知知A1DC1ADC45，所所以以CDC190，即即DC1DC.又又DCBCC，所以，所以DC1平面平面BDC.又又DC1平面平面BDC1，故平面，故平面BDC1平面平面BDC.本讲稿第二十三页，共五十二页本讲稿第二十四页，共五十二页1解解答答本本题题(1)的的关关键键是是通通过过证证明明BC平平面面ACC1A1来来证明证明DC1BC.2证证明明面面面面垂垂直直常常用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理或或定定义义法法(1)利利用用判判定定定定理理证证明明面面面面垂垂直直实实质质是是证证明明线线面面垂垂直直，与与其其中中一一个个平平面面垂垂直直的的直直线线的的选选取取至至关关重重要要，要要根根据据条条件件的的直直观观图图准准确确选选取取(2)利利用用定定义义证证明明面面面面垂垂直直实实质质是是证证明明线线线线垂垂直，即证明两平面形成的二面角是直角直，即证明两平面形成的二面角是直角本讲稿第二十五页，共五十二页(2013无锡模拟无锡模拟)如图如图754所示，在四所示，在四棱锥棱锥PABCD中，平面中，平面PAD平面平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是分别是AP，AD的中点的中点求证：求证：(1)直线直线EF平面平面PCD；(2)平面平面BEF平面平面PAD.【证明】【证明】(1)如图，在如图，在PAD中，因为中，因为E，F分别为分别为AP，AD的中点，所以的中点，所以EFPD.本讲稿第二十六页，共五十二页又因为又因为EF 平面平面PCD，PD平面平面PCD，所以直线所以直线EF平面平面PCD.(2)连接连接BD.因为因为ABAD，BAD60，所以，所以ABD为为正三角形正三角形因为因为F是是AD的中点，所以的中点，所以BFAD.因因为为平平面面PAD平平面面ABCD，BF平平面面ABCD，平平面面PAD平面平面ABCDAD，所以所以BF平面平面PAD.又因为又因为BF平面平面BEF.所以平面所以平面BEF平面平面PAD.本讲稿第二十七页，共五十二页 (2013哈尔滨模拟哈尔滨模拟)如图如图755所示，四棱锥所示，四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边形，为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面底面ABCD.(1)证明：证明：PABD；(2)设设PDAD1，求棱锥，求棱锥DPBC的高的高【思路点拨】【思路点拨】(1)证明证明BD平面平面PAD.(2)作作DEPB，证明，证明DE平面平面PBC，在，在PDB中计算中计算DE的长的长 本讲稿第二十八页，共五十二页本讲稿第二十九页，共五十二页本讲稿第三十页，共五十二页1解解答答本本题题的的关关键键是是通通过过计计算算证证明明ADBD，这这也也是是解解题中容易忽视的方法题中容易忽视的方法2面面面面垂垂直直的的性性质质是是用用来来推推证证线线面面垂垂直直的的重重要要依依据据，其其核核心心是是其其中中一一个个面面内内的的直直线线与与交交线线垂垂直直在在其其中中一一个个面面内内作交线的垂线，这是常作的辅助线作交线的垂线，这是常作的辅助线3空空间间的的直直线线与与直直线线、直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的垂垂直直或或平平行行问问题题常常常常互互相相转转化化，将将空空间间问问题题化化归归为为平平面面问问题题是是处理立体几何问题的重要思想处理立体几何问题的重要思想本讲稿第三十一页，共五十二页如图如图756所示，平行所示，平行四边形四边形ABCD中，中，DAB60，AB2，AD4，将将CBD沿沿BD折起到折起到EBD的位置，使平面的位置，使平面EDB平面平面ABD.(1)求证：求证：ABDE；(2)求三棱锥求三棱锥EABD的侧面积的侧面积本讲稿第三十二页，共五十二页本讲稿第三十三页，共五十二页本讲稿第三十四页，共五十二页垂直问题的转化关系垂直问题的转化关系 本讲稿第三十五页，共五十二页1.证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab.本讲稿第三十六页，共五十二页3证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法(1)利利用用定定义义：两两个个平平面面相相交交，所所成成的的二二面面角角是是直直二二面面角；角；(2)判定定理：判定定理：a，a.本讲稿第三十七页，共五十二页通通过过近近两两年年的的高高考考试试题题看看，线线线线、线线面面、面面面面垂垂直直的的判判定定与与性性质质的的应应用用是是考考查查的的重重点点和和热热点点，主主要要考考查查空空间间想想象象能能力力和和推推理理论论证证能能力力，以以及及转转化化思思想想的的应应用用题题型型全全面面，但但主主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要要以解答题的形式考查，规范解答至关重要本讲稿第三十八页，共五十二页规范解答之十立体几何中探索性问题的求解策略规范解答之十立体几何中探索性问题的求解策略(14分分)(2012北北 京京 高高 考考)如如 图图 7 5 7(1)，在在RtABC中中，C90，D，E分分别别为为AC，AB的的中中点点，点点F为为线线段段CD上上的的一一点点，将将ADE沿沿DE折折起起到到A1DE的的位位置置，使使A1FCD，如图，如图757(2)本讲稿第三十九页，共五十二页(1)求证：求证：DE平面平面A1CB.(2)求证：求证：A1FBE.(3)线线段段A1B上上是是否否存存在在点点Q，使使A1C平平面面DEQ？说说明明理由理由【规范解答】【规范解答】(1)因为因为D，E分别为分别为AC，AB的中点，的中点，所以所以DEBC.2分分又因为又因为DE 平面平面A1CB，所以所以DE平面平面A1CB.4分分本讲稿第四十页，共五十二页(2)由已知得由已知得ACBC且且DEBC，所以所以DEAC.所以所以DEA1D，DECD.所以所以DE平面平面A1DC.而而A1F平平面面A1DC，6分分所以所以DEA1F.又因为又因为A1FCD，CDDED，所以所以A1F平面平面BCDE，又又BE平面平面BCDE，所以所以A1FBE.9分分本讲稿第四十一页，共五十二页(3)线段线段A1B上存在点上存在点Q，使，使A1C平面平面DEQ.理由如下：理由如下：如图，分别取如图，分别取A1C，A1B的中点的中点P，Q，则则PQBC.又因为又因为DEBC，所以所以DEPQ.所以平面所以平面DEQ即为平面即为平面DEP.本讲稿第四十二页，共五十二页由由(2)知，知，DE平面平面A1DC，所以所以DEA1C.又因为又因为P是等腰三角形是等腰三角形DA1C底边底边A1C的中点，的中点，所以所以A1CDP.又又DPDED，所以所以A1C平面平面DEP.12分分从而从而A1C平面平面DEQ.故故线线段段A1B上上存存在在点点Q，使使得得A1C平平面面DEQ.14分分 本讲稿第四十三页，共五十二页【解解题题程程序序】第第一一步步：根根据据三三角角形形中中位位线线证证明明DEBC.从而证明从而证明DE平面平面A1CB；第第二二步步：利利用用线线面面垂垂直直的的判判定定定定理理证证明明DE平平面面A1DC；第三步：通过证明第三步：通过证明A1F平面平面BCDE来证明来证明A1FBE；第第四四步步：分分别别取取A1C，A1B的的中中点点P，Q，证证明明P、Q、D、E四点共面；四点共面；第五步：通过证明第五步：通过证明PDA1C来证明来证明A1C平面平面DEQ.本讲稿第四十四页，共五十二页易易错错提提示示：(1)想想不不到到或或不不会会利利用用DEA1D，导导致致无无法法求解求解(2)对对于于是是否否存存在在型型问问题题没没有有解解题题思思路路，从从而而无无法法作作出出辅助线，导致思路受阻辅助线，导致思路受阻防防范范措措施施：(1)对对于于平平面面图图形形的的折折叠叠问问题题，一一定定要要注注意意折折叠叠前前后后的的不不变变量量与与可可变变量量，要要有有意意识识地地注注意意折折叠叠前前后后不不变变的垂直性与平行性的垂直性与平行性(2)对对于于是是否否存存在在型型问问题题，首首先先要要分分析析条条件件，看看结结论论需需要要的的条条件件已已有有哪哪些些，分分析析欲欲使使结结论论成成立立，还还需需要要什什么么条条件件，结合所求，不难作出辅助线结合所求，不难作出辅助线本讲稿第四十五页，共五十二页1(2012安徽名校联考安徽名校联考)给出下列结论：给出下列结论：(1)在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设设l，m是不同的直线，是不同的直线，是一个平面，若是一个平面，若l，lm，则，则m；(3)已已知知，表表示示两两个个不不同同的的平平面面，m为为平平面面内内的的一一条条直直线线，则则“”是是“m”的充要条件；的充要条件；(4)已已知知a，b是是两两条条异异面面直直线线，P为为空空间间中中一一点点，过过点点P总总可可以以作作一一个个平面与直线平面与直线a，b之一垂直，与另一个平行之一垂直，与另一个平行其中正确的是其中正确的是_(请填上所有正确结论的序号请填上所有正确结论的序号)本讲稿第四十六页，共五十二页【解解析析】在在空空间间中中，垂垂直直于于同同一一平平面面的的两两个个平平面面可可以以平平行行，也也可可以以相相交交，故故(1)不不正正确确；易易知知(2)正正确确；因因为为m为为平平面面内内的的一一条条直直线线，所所以以当当时时，m与与可可能能平平行行或或相相交交，当当m时时，必必有有，故故“”是是“m”的的必必要要不不充充分分条条件件，故故(3)不不正正确确；a，b是是两两条条异异面面直直线线，P为为空空间间中中一一点点，若若ab，则则过过P可可以以作作一一个个平平面面与与a，b之之一一垂垂直直，与与另另一一个个平平行行，若若a，b不不垂垂直直，则则不不存存在在这这样样的的平平面面，故故(4)不正确故填不正确故填(2)【答案】【答案】(2)本讲稿第四十七页，共五十二页2(2012福福建建高高考考)如如图图7 5 8，在在 长长 方方 体体 ABCDA1B1C1D1中中，ABAD1，AA12，M为棱为棱DD1上的一点上的一点(1)求求三三棱棱锥锥AMCC1的的体体积；积；(2)当当A1MMC取取得得最最小小值值时，求证：时，求证：B1M平面平面MAC.本讲稿第四十八页，共五十二页本讲稿第四十九页，共五十二页本讲稿第五十页，共五十二页课后作业（四十四）课后作业（四十四）本讲稿第五十一页，共五十二页本讲稿第五十二页，共五十二页